まあ、このブログを見てるようなマニアックな人はいないと思うのですが・・・
年末は部活の遠征で４日間、アパートから離れていて、帰ってきたらその翌日から妹の家に行ったのですが・・・
遠征疲れからか、風邪をひいてしまいました・・・
そんな中、妹宅で食べた東洋水産の赤いきつね。
年末に、ドンペイキャンペーンをやっていたので、ファミマでどん兵衛を買って食べていたのですが・・・
赤いきつねって、どん兵衛よりもだいぶ塩っぱいんですね・・・
今年の元日に SNS に投稿した問題。
連続するいくつかの素数で, その平方の和が $2020$ となる組をすべて求めよ.
連続する素数とは, $2$, $3$, $5$, $7$, $\dots$ のように, 素数を並べたときに
連続するもののことをいう.
$n$ が偶数のとき $n^2\equiv0\pmod4$, $n$ が奇数のとき $n^2\equiv1\pmod4$ で
ある.
$2020\equiv0\pmod4$ より, 求める素数の組は,
$2$ を含む $4k+1$ 個または $2$ を含まない $4k$ 個である.
case.1 素数 $2$ を含むとき,
\begin{align*}
2^2+3^2+5^2+7^2+11^2 &= 208 \\
2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2 &= 1556 \\
2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+29^2 &= 2397
\end{align*}
より, 不適.
case.2 素数 $2$ を含まないとき,
case.2.1 素数 $4$ 個のとき,
\begin{align*}
4 \times 19^2 &= 1444 < 2020 \\
4 \times 23^2 &= 2116 > 2020
\end{align*}
であるので, $4$ 個の素数の最大値は $19$ より大きく, 最小値は $23$ より小さい.
これより, 候補は $(13, 17, 19, 23)$, $(17, 19, 23, 29)$, $(19, 23, 29, 31)$
の $3$ 組であるので,
\begin{align*}
13^2+17^2+19^2+23^2 &= 1348 \\
17^2+19^2+23^2+29^2 &= 2020 \\
19^2+23^2+29^2+31^2 &= 2692
\end{align*}
より, $(17, 19, 23, 29)$ を得る.
case.2.2 素数 $8$ 個のとき, 最小の候補は $(3, 5, \dots, 19, 23)$ であるが,
\begin{align*}
3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2 &= 1552
\end{align*}
より不適.
次の候補である $(5, 7, \dots, 23, 29)$ は前述の $2020$ になる組を含んでいるので不適.
case.2.3 素数 $12$ 個以上のとき, その最小の組は $(3, 5, \dots, 37, 41)$ であり, これは前述の $2020$ になる組を含んでいるので不適.
以上より, $(17, 19, 23, 29)$ のみである.
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