素数が無限個あることの証明3

さて、学校も無事に冬休みに入りました。

ですが、今日から３日間、冬期講習がありまして・・・
でも明後日から、部活の遠征があるので・・・

結局、講習の最終日は、他の先生に頼んで遠征に行くのですが・・・

だったら、講座か部活か、どっちかにしてもらいたい・・・


そんな事はどうでもよくて、最近、車を買い替えました。
今まで乗っていた Leaf を下取りに出して、新車を買いました。
買った新車というのは、そう、 Leaf e+ です。

色々と考えた結果、乗り換えることにしたのです。


きっかけは、日産リーフZESP2終了なんていう、恐ろしいニュースを聞いたことでした。

当初からの私の予定では、 2022 年くらいに Leaf を買い換える、って考えていました。
2020 年に自動運転搭載の日産車が発売（日産の予定だと）されるので、その初期不良が修正されたあたりで新車に買い換えて、って考えていたのですが・・・


で、ここで予定が変わってきたので、色々と計算してみました。

１．当初の予定通りに、2022 年くらいに買い換える。
この場合、私はZESP2を使って 3 年半くらいになるので、2021 年 6 月くらいに ZESP2 が終了する。それから ZESP3 で Leaf に乗りながら、適当なタイミングで最新の Leaf e+ に乗り換える。

２．前述の通りに ZESP2 が終わるまで Leaf に乗り続けて、ZESP3 になったタイミングで買い換える。

３．前述と同じタイミングで、Leaf をやめて NOTE e-POWER あたりに乗り換える。

４．今回、この勢いで買い換えて、ZESP2 を申し込む。

こんな感じで、色々と計算してみたのですが・・・ 2030 年くらいまで乗り続ければ、4 が一番安くなる、って結果が出たので、買い換えることにしました。
やはり、24kWh Leaf では限界がありますよね・・・寒くなってきた最近は、週に 3 回は充電をしなくてはならないですし・・・実家に帰るために、90% 以上にしないと県境を越えるのが不安で仕方ないですし・・・

って事で、Leaf e+ に買い替えました。甥っ子からは Leaf の叔父ちゃん、って言われてましたが、これからは Leaf e+ の叔父ちゃん、って言われ・・・ないか。





今日は最近連載していた、素数が無限個あることの証明の第 $3$ 回。

$2006$ 年に Filip Saidak が見つけた証明。

前回までの $2$ つの証明はどれも背理法による証明でしたが、Saidak は背理法を用いない証明を行った。私もこの証明を知ったとき、大いに感動したことを覚えている。


まず予備知識として, Euclidean Algorithm （ユークリッドの互除法）を確認する.

任意の自然数 $a$, $b$ に対し, $\gcd(a, b)$ を $a$ と $b$ の最大公約数とする.


Theorem.1.
$a$ を $b$ で割った商を $q$, 余りを $r$ とする. 即ち $a = bq+r$ ($0\le r<b$) とする. このとき,
\begin{align*}
\gcd(a, b) &= \gcd(b, r)
\end{align*}
が成り立つ.


Proof
$\gcd(a, b)=G_1$ とする. すると, $a=G_1a_1$, $b=G_1b_1$ ($\gcd(a_1, b_1)=1$, $a_1$, $b_1$ は整数) と表すことができる. これより,
\begin{align*}
a &= bq+r \\
G_1a_1 &=G_1b_1q+r \\
r &= G_1(a_1-b_1q)
\end{align*}
より, $r$ は $G_1$ の倍数である. よって, $\gcd(b, r)$ は $G_1$ の倍数であるので, $\gcd(a, b)\le\gcd(b, r)$ である.

同様に, $\gcd(b, r)=G_2$ とおくと, $a$ は $G_2$ の倍数である. よって, $\gcd(a, b)\ge\gcd(b, r)$ である.

よって, $\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$ である.

End of Proof 

Lemma.2.
任意の自然数 $N$ に対し, $N$ と $N+1$ は互いに素, 即ち $\gcd(N+1, N)=1$ が成り立つ.


Proof
\begin{align*}
\gcd(N+1, N) &= \gcd(N, 1) = 1
\end{align*}

End of Proof

Theorem.3.
素数は無限に存在する.


Proof
$2$ 以上の自然数 $N_1$ に対して, $N_1$ は $1$ 個以上の素数の積で表される.

$N_2=N_1(N_1+1)$ とすると, Lemma.2. より $N_1$, $N_1+1$ はそれぞれ $1$ 個以上の異なる素数の積で表されるので, $N_2$ は $2$ 個以上の素数の積で表される.

$N_3=N_2(N_2+1)$ とすると, Lemma.2. より $N_2$ は $2$ 個以上, $N_2+1$ は $1$ 個以上の異なる素数の積で表されるので, $N_3$ は $3$ 個以上の素数の積で表される.

同様に繰り返すと, $N_k$ は $k$ 個以上の異なる素数の積で表される.

この操作は無限に繰り返すことができるので, 素数は無限に存在する.

End of Proof