素数が無限個あることの証明2

先週末の出張から帰ってきて、どうやら風邪をひいたようです。
というか単純に、先々週東京へ行って、先週が仙台、っていうことで、疲れが出てきただけなのかもしれませんが・・・

なので、今週は年休を使いまくって昼で帰宅し、寝まくっていました。

そんな中、ネットで見て気になったニュースが・・・

大学入学共通テスト「記述式問題」見送りの方向で調整:NHK NEWS WEB

えっ、まあ、そうするべきだと思いましたし、そうなって良かったと思うのですが・・・

先週の出張、数研出版主催の数研セミナー、内容の半分以上は記述式の話で・・・

えっと、体調を崩してまで、何をしに行ってきたのか・・・





前回に続いて、素数が無限個あることの証明。



まず, 素数 $p$ に対して,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^k} &= 1+\frac1p+\frac1{p^2}+\frac1{p^3}+\cdots \\
&= \frac{1}{1-\frac1p} \\
&= \frac{p}{p-1} \\
&= 1+\frac1{p-1} < 2
\end{align*}
である.



前回と同様に, 素数が有限個しか存在しないと仮定する.

その素数を $p_1$, $p_2$, $p_3$, $\dots$, $p_n$ とする.
即ち, すべての自然数は $p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}\dots p_n^{k_n}$ ($k_i$ は非負整数) と表すことができる.

これより,
\begin{align*}
&\prod_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p_i^k} \\
&= \left(1+\frac1{p_1}+\frac1{p_1^2}+\cdots\right)\left(1+\frac1{p_2}+\frac1{p_2^2}+\cdots\right)\cdots\left(1+\frac1{p_n}+\frac1{p_n^2}+\cdots\right) \\
&= 1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}+\cdots
\end{align*}
である. ここで,
\begin{align*}
\frac13&>\frac14, & \frac15 &> \frac18, & \frac16 &> \frac18, & \frac17 &> \frac18, & \cdots
\end{align*}
であるので,
\begin{align*}
&1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}+\cdots \\
&> 1+\frac12+\frac14+\frac14+\frac18+\frac18+\frac18+\frac18+\frac1{16}+\frac1{16}+\cdots \\
&= 1+\frac12+\frac24+\frac48+\frac8{16}+\frac{16}{32}+\cdots \\
&= 1+\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots = \infty
\end{align*}
より, 前述の式は無限大に発散することが分かるが, 左辺は
\begin{align*}
\prod_{i=1}^n\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p_i^k} &= \prod_{i=1}^n\frac{p_i}{p_i-1} \\
&< 2^n
\end{align*}
より, 素数の個数 $n$ が有限であるので, 有限の値をとる.

よって, 等式の左辺が有限, 右辺が無限の値をとることになるので矛盾する.

以上より, 素数が無限に存在する.



ちなみに, $\prod$ は和をとる $\sum$ と同様に積をとる記号, 即ち
\begin{align*}
\prod_{i=1}^na_i &= a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n
\end{align*}
を意味する.