素数が無限個あることの証明

明日から、N潟県N岡市にて、部活の大会が。
なので、今日の１６時半に出発して、現地入り・・・


っていう予定で、部活の遠征だったのですが、私は行きません。

明日、仙台市への別な出張が入っていますので・・・


そもそも冷静に考えたら、今週あった後期中間考査の採点、
提出させたノートやワークのチェックが全然進んでいない。

なので、生徒が遠征に出発した後に、職員室でずっと・・・

校務で使うために新しく購入した、ノートＰＣのセットアップを。

チャイムを設定したりとか、色々と使ってたＰＣが、
最近になって起動すら怪しくなってきたので・・・

で、教務課長が購入した、“中古の”ノートＰＣを・・・

箱から出して、電源に繋いで、電源ボタンを押したのに・・・

起動しない・・・


バッテリーを外して、コンデンサを放電させて、
電源に繋いでそのまま起動をさせたり・・・

それと平行して、古い方のＰＣもなんとか起動させて、
必要そうなデータをネットワーク上に避難させたり・・・

確か私、教員だったような気がするんですが・・・

なんか、自分の仕事を全く進められず、
３時間くらい２台のポンコツＰＣと格闘してた・・・





今日は、素数が無限個あることの証明。

だいぶ有名な証明ですが、改めて書いておこうかと。


まずは最も古い、Euclid による証明を。背理法を用いた証明として、典型的な例です。
正確には、Euclid 自身は、背理法で証明したわけではないのだが、本質を変えずに背理法で記述する。


(Proof)
素数が有限個しか存在しないと仮定する.
その個数を $n$ 個とし, その素数を $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_n$ とする.

このとき, 整数
\[
P = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n + 1
\]
は, $p_k$ ($1 \le k \le n$) で割ったときの余りが $1$ であるので, どの素数でも割り切れない.
これは素数が $n$ 個であることに矛盾するので, 素数は無限個存在する.




これが、恐らくは最も簡単な証明であろう。