授業で出題した問題（週末課題 No.02）

休校になって、教員も在宅勤務になって、私も在宅勤務をして２日が経ちました。

そんなわけで、私の状態はどうなっているかというと・・・

在宅勤務　→　時間が余る　→　料理に時間をかけられる　→　美味いものができる
っていう因果律と、
在宅勤務　→　同じ場所に座ったままで問題を解いたり、Classroomいじったり　→　極度の運動不足
という因果律から・・・

絶対に、このままでは太りますよね・・・





今日も、授業の課題の解説を。

まずは週末課題の第１問。

$x+y=3$, $xy=-2$ のとき, 次の値を求めよ.
(1) $x^2+y^2$
(2) $(x-y)^2$
(3) $x^4+y^4$

---解答例---

(1)
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ より,
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
= 3^2-2\times(-2)
= 9+4 = 13$.

(2)
$(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy
= 13-2\times(-2)
= 13+4 = 17$.

(3)
(1) と同様に,
$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2-2x^2y^2
= 13^2-2\times(-2)^2
= 169-8 = 161$.

この (3) の別解として, 一応漸化式を使った別解もあるのですが, そこまでやるような問題でもないですかね...


続いて、週末課題の第２問。

$\sqrt{17}$ の小数部分を $a$ とするとき, 以下の値を求めよ.
(1) $a$
(2) $\dfrac1a$
(3) $a^2+8a$
(4) $a^3+9a^2+7a$

---解答例---

(1)
$4=\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$ より, $\sqrt{17}$ の整数部分は $4$ であるので, 小数部分は
$a = \sqrt{17}-4$.

(2)
$\dfrac1a = \dfrac1{\sqrt{17}-4}
= \dfrac{\sqrt{17}+4}{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}
= \dfrac{\sqrt{17}-4}{17-16} = \sqrt{17}+4$.

(3)
$a^2+8a = (\sqrt{17}-4)^2+8(\sqrt{17}-4)$
$= 17-8\sqrt{17}+16+8\sqrt{17}-32 = 1$.

(4)
$a^3+9a^2+7a = (\sqrt{17}-4)^3+9(\sqrt{17}-4)^2+7(\sqrt{17}-4)$
$= 17\sqrt{17}-204+48\sqrt{17}-64+153-72\sqrt{17}+144+7\sqrt{17}-28$
$= 1$.

なのですが...
こんな計算, 自分で回答するときはしませんね...

(3) の結果から,
$a^2+8a=1$
$a^2=-8a+1$
更に両辺に $a$ をかけて
$a^3=-8a^2+a$
が成り立つ.
これより,
$a^3+9a^2+7a = (-8a^2+a)+9a^2+7a$
$= a^2+8a$
$= (-8a+1)+8a$
$= 1$.

となります.
では, (3) がなかった場合, どうしたらいいのか.
それは, $a$ の最小多項式を求めることになります.

$a = \sqrt{17}-4$
$a+4 = \sqrt{17}$
$(a+4)^2 = 17$
$a^2+8a+16 = 17$
$a^2+8a-1=0$
を得る. (以下, 省略)

このとき, $P(x)=x^2+8x-1$ は $P(a)=0$ を満たす多項式の中で最小の次数である.
このような $P(x)$ を, $a$ の最小多項式という.

この最小多項式を理解できると, 数学 II で学ぶ多項式の割り算より
$a^3+9a^2+7a = (a^2+8a-1)(a+1)+1 = 1$
を得る.