授業で出題した問題（平日課題 No.02）

アパートに引き籠もって、ずっと自炊をしているのですが・・・
流石に、食材が底をついてきてしまいまして・・・


そんなわけで、５日振りに外に出ました。

まあ、外出と言っても、日産に行って、リーフを充電している間に徒歩でスーパーマーケットに行って買い物をしてきただけなのですが・・・

ただ、明日からはまた出勤します。
学校としてはまだ、在宅勤務期間なのですが、生徒への教科書の配布を行うので・・・

保護者送迎により来校し、正面玄関に車を停めて、車内で待機してもらう。教員がクラス・氏名を聞き、トランシーバーで連絡をし、校舎内で待機している教員がその生徒の分の教科書セットを持って玄関へ行き、車の窓越しに渡す。そんな方法で、教科書を渡します。

ただ、問題なのが・・・２学年の教室、校舎の３階なんですよね・・・

まあ、引き籠もり生活での運動不足を解消するために、と考えて、学年対応で半日×２回／人なのですが、毎日行こうかと考えています。




今日も、授業の課題の解説。

平日課題 No.02 です。
今回の問題は、2006 年のセンター試験の第 2 問です。

早くもセンター試験って、もうネタ切れか？と思われそうですが、自宅勤務をしていると、手元に程よい問題集がないんですよね・・・

問題文は、前述のリンク先にあっるので省略します。


まず, $y\le0$ より $2$ 次不等式 $6x^2+11x-10 \le 0$ となるので, 左辺を因数分解すると
$6x^2+11x-10 \le 0$
$(2x+5)(3x-2) \le 0$
であるので, 解は $-\dfrac52 \le x \le \dfrac23$ である.

関数 $y=f(x)$ のグラフを, $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したものをグラフにもつ関数の方程式は $y-b=f(x-a)$ である.

これより, $G$ のグラフを表す方程式は
$y-b = 6(x-a)^2+11(x-a)-10$
$y = 6x^2-12ax+6a^2+11x-11a-10+b$
$y = 6x^2-(12a-11)x+(6a^2-11a-10+b)$
である. これが原点 $(0, 0)$ を通るので,
$6a^2-11a-10+b = 0$
$b = -6a^2+11a+10$
である. また, これを代入すると,
$y = 6x^2-(12a-11)x$ ・・・②
である.

$x=-2$ と $x=3$ に対応する $2$ 次関数 ２ の値が等しくなるので,
$6 \times (-2)^2-(12a-11)\times(-2) = 6 \times 3^2-(12a-11) \times3$
$24+24a-22 = 54-36a+33$
$a = \dfrac{85}{60} = \dfrac{17}{12}$

$a$ に代入すると, $G$ は
$y = 6x^2-6x = 6\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac32$
となるので, 最小値は $-\dfrac32$ であり, 最大値は
$24a+2 = 24 \times \dfrac{17}{12}+2 = 36$
である.

②を求めた後の別解として, $2$ 次関数の対称性より, 軸は
$x=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac12$
であるので, 方程式は
$y = 6\left(x-\dfrac12\right)^2+q = 6x^2-6x+\left(\dfrac32+q\right)$
であるので,
$\begin{cases}
-(12a-11) = -6 \\
0 = \dfrac32+q
\end{cases}$
である. これより,
$a=\dfrac{17}{12}$, $q=-\dfrac32$ であるので, 最小値は $-\dfrac32$, 最大値は
$6 \times 3^2-6 \times 3 = 36$
である.