東京大学（理系・２０２１）第２問

 大型連休２日目。

今日も只管アパートに引きこもって・・・

暇だからか、ついに YouTube プレミアムに登録してしまいました・・・CM が流れないって、非常にストレスが無くていいですね。でも、今日はずっと Prime Video を観ていたのですが・・・

今日は東京大学の $2$ 問目。

複素数 $a$, $b$, $c$ に対して整式 $f(z)=az^2+bz+c$ を考える. $i$ を虚数単位とする. 

(1) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ を複素数とする. $f(0)=\alpha$, $f(1)=\beta$, $f(i)=\gamma$ が成り立つとき, $a$, $b$, $c$ をそれぞれ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ で表せ. 

(2) $f(0)$, $f(1)$, $f(i)$ がいずれも $1$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき, $f(2)$ の

とりうる範囲を複素平面上に図示せよ. 

(1) 題意より 

$f(0) = \alpha$ 

$c = \alpha$,

$f(1) = \beta$ 

$a+b+c = \beta$, 

$f(i) = \gamma$ 

$-a+bi+c = \gamma$. 

ここで, $c=\alpha$ を残り $2$ 式に代入し, 更に一方に $i$ をかけると, 

$a+b = -\alpha+\beta$ 

$-a+bi = -\alpha+\gamma$ 

$a+b = -\alpha+\beta$ 

$-ai-b = -\alpha i+\gamma i$ 

それぞれの $2$ 式の和をとると 

$(1+i)b = -2\alpha+\beta+\gamma$ 

$b = \dfrac{-2\alpha+\beta+\gamma}{1+i}$ 

$(1-i)a =(-1-i)\alpha+\beta+\gamma i$

$a = \dfrac{(-1-i)\alpha+\beta+\gamma i}{1-i}$ 

である. 

以上より, 

$a = \dfrac{(-1-i)\alpha+\beta+\gamma i}{1-i}$, $b = \dfrac{-2\alpha+\beta+\gamma}{1+i}$, $c = \alpha$ 

である. 

(2) (1) より, 

$a = \dfrac{(-1-i)\alpha+\beta+\gamma i}{1-i}$ 

$= \dfrac{\{(-\alpha+\beta)+(-\alpha+\gamma)i\}(1+i)}{(1-i)(1+i)}$ 

$= -i\alpha+\dfrac{1+i}{2}\beta+\dfrac{-1+i}{2}\gamma$, 

$b = \dfrac{-2\alpha+\beta+\gamma}{1+i}$

$= \dfrac{(-2\alpha+\beta+\gamma)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$ 

$= (-1+i)\alpha+\dfrac{1-i}{2}\beta+\dfrac{1-i}{2}\gamma$ 

である. これより, 

$f(2) = 4a+2b+c$ 

$= 4\times\left(-i\alpha+\dfrac{1+i}{2}\beta+\dfrac{-1+i}{2}\gamma\right)+2\times\left\{(-1+i)\alpha+\dfrac{1-i}{2}\beta+\dfrac{1-i}{2}\gamma\right\}+\alpha$ 

$= -4\alpha i+2(1+i)\beta+2(-1+i)\gamma+(-2+2i)\alpha+(1-i)\beta+(1-i)\gamma+\alpha$ 

$= (-1-2i)\alpha+(3+i)\beta+(-1+i)\gamma$

である.