東京大学（理系・２０２１）第１問

世間一般ではゴールデンウィークと呼ばれる、大型連休に入りました。

この「ゴールデンウィーク」っていう名前は、映画業界で使う用語であって、正しい名称としては「大型連休」なんですよね。

仕事は休みになるけど、出かける場所もお金もない、ってことで映画を見に来る人が増えるから、っていうのが理由なんですって。

ただ、去年に続き、今年も新型コロナの影響が国内各所で出ていまして・・・

私の勤務している高校でも、学校関係者に１名出ましたが、日常的に取り組んでいる対策が功を奏してか、他の人には感染者が出ませんでした。

ですが、同じ地区の高校でクラスターが発生し、その影響で本校も臨時休校になったり、大型連休の部活動も禁止になったり、連休明けの予定だった地区総体が中止になったり・・・

そんなわけで、大型連休は自由な時間が・・・出来たのですが・・・出かけられえない、って事で、ずっとアパートに引きこもってます。

そんな連休１日目、何をしていたかというと・・・

昨日買ってきて漬け込んでおいた鶏胸肉をロティサリーグリルで調理したり、安かったので大量に買ってきたきゅうりを漬け込んだり・・・

YouTube を観たり、Twitch を観たり、Prime Video を観たり・・・

気が向いたら掃除をしてみたり、昼寝をしてみたり・・・

そんなわけで、時間が出来たので、今頃になって入試問題を。

今年も、まずは東京大学からスタートです。

$a$, $b$ を実数とする. 

座標平面上の放物線 

$C : y = x^2+ax+b$ 

は放物線 $y=-x^2$ と $2$ つの共有点を持ち, 一方の共有点の $x$ 座標は $-1<x<0$ 

を満たし, 他方の共有点の $x$ 座標は $0<x<1$ を満たす. 

(1) 点 $(a, b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ. 

(2) 放物線 $C$ の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ. 

(1) $2$ つの放物線の共有点を求める方程式は 

$x^2+ax+b = -x^2$ 

$2x^2+ax+b = 0$ 

であり, これは $f(x) = 2x^2+ax+b$ とするとき, $2$ 次関数 $y=f(x)$ と $x$ 軸との

共有点を求めることと同義である. 

これより, 題意を満たすためには, 

$f(-1) > 0$ かつ $f(0) < 0$ かつ $f(1) > 0$ 

$-a+b+2 > 0$ かつ $b < 0$ かつ $a+b+2 > 0$ 

$b > a-2$ かつ $b < 0$ かつ $b > -a-2$ 

であるので, 点 $(a, b)$ のとりうる範囲は, 横軸を $a$ 軸, 縦軸を $b$ 軸としたとき, 以下の塗られた部分である (ただし, 境界線を含まない). 

(2) 放物線 $C$ は $ab$ 平面上では 

$y = x^2+ax+b$ 

$b = -xa + (y-x^2)$ 

という, 傾き $-x$ の直線である. 

これが (1) で求めた領域との共有点をもつときを考えればよい. 

(i) $-x>1$ 即ち $x<-1$ のとき, 

条件より $2x < y-x^2 < -2x$ 即ち 

$2x < y-x^2$ かつ $y-x^2 < -2x$ 

$y > x^2+2x$ かつ $y < x^2-2x$ 

である. 

(ii) $0\leqq -x \leqq 1$ 即ち $-1 \leqq x\leqq0$ のとき, 

条件より, $-2 < y-x^2 < -2x$ 即ち 

$-2 < y-x^2$ かつ $y-x^2 < -2x$ 

$y > x^2-2$ かつ $y < x^2-2x$ 

対称性より, $x\geqq0$ のときについては考察する必要はない. 

以上より, 下図の塗られた部分である. 

ただし, 放物線は左から順に $y=x^2+2x$, $y=x^2-2$, $y=x^2-2x$ である.