新年、あけましておめでとうございます。
今年も、気が向いたらこのブログを更新していきたいと思います。なんてったって、前回の更新が８月５日、という・・・基本的に、凝り性だけど飽きっぽいので、こんな感じでの更新になると思います。
寒くなってきて、雪も多くなってきて, 朝起きるのが辛くなってきた。
羽毛布団を使っているだけではなく、電気毛布もローズテクニーを使っているので、寝るときは５分前くらいに電源を入れるだけで温かくていいのですが・・・ローズテクニーは温かいだけではなく、温熱治療・電位治療もできる、ということですが、その効果の程はよく分かりません・・・まあ、寝てて体調が悪くなった、ってことは、寝違えたくらいしかないので大丈夫だと思いますが。
寝るときは温かくていいのだが、起きるときに布団から出るのが辛い・・・一応、枕元には Google Home Mini (現在は Google Nest Mini) があって、スマート家電リモコンとつながっているので、布団に入ったまま「OK, Google 暖房をつけて」とか言えば、エアコンが起動して暖かくなる・・・
はずなんですが、なぜかエアコンだけ、何度設定し直しても翌日にはつながらなくなってしまい・・・まだしばらくは、寒い朝を迎える必要がありそうですね。
各種 SNS に投稿した、 2021 の問題。
(1) $2021$ を素因数分解し, $2021$ が半素数 ($2$ つの素数の積) であることを確認せよ.
(2) (1) の結果を $2021 = pq$ ($p$, $q$ は素数で, $p \le q$ とする) としたとき, $p^q$ と $q^p$ の大小を比較せよ.
(1) $2021 = 43 \times 47$ であり, $43$, $47$ は素数であるので, $2021$ は半素数である.
さて, この時点で友人からのクレームが.
YouTube でも $2021$ を素因数分解する問題が出題されたが, 解説が納得いかない, と. 私は見てないのだが, おそらくその解説は
$2021 = 2025 - 4$
$= 45^2 - 2^2$
$= (45-2)(45+2)$
$= 43 \times 47$
というように, 因数分解の公式
$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$
を用いる方法であろう.
だが, そこで $2025$ とか $4$ なんてものが出てくる理由が分からん, ということ. なので, そこに辿り着いた流れを説明しておくと...
まず, 与えられた整数 $n$ が素数かどうかを判定するためには, $\sqrt{n}$ 以下の素数で割り切れるかどうかを調べればよい.
ということで, ざっくりと調べると,
$40^2 = 1600 < 2021 < 2500 = 50^2$
である. もう少し調べていくと,
$44^2 = 1936 < 2021 < 2025 = 45^2$
であることが分かる. ということは, $44$ 以下の素数で割れるかどうかを調べればよい, ということになる.
で, この不等式を見ていると気づくのが,
$2021 = 2025-4 = 45^2-4$
である, ということ. これで気づけば, 前述のような解答に辿り着ける.
(2)
(解法 1) 数学 III まで履修した人向けの解答
関数 $y = x^{\frac1x}$ ($x>0$) について,
$\log_ey = \log_ex^{\frac1x}$
$\log_ey = \dfrac1x\log_ex$
両辺を $x$ で微分すると,
$\dfrac{y'}{y} = -\dfrac1{x^2}\log_ex+\dfrac1x\times\dfrac1x$
$y' = \dfrac{y}{x^2}(1-\log_ex)$
$y' = x^{\frac1x-2}(1-\log_ex)$
である. $y'=0$ となるのは, $x>0$ のとき $x^{\frac1x-2}>0$ であるので,
$1-\log_ex = 0$
$\log_ex = 1$
$x = e$
である. これより, 増減表は以下の通り.
（Google blogger では表を作成できず、TeX を一部サポートしているが array 環境は使えなかったので、 Spreadsheet の表を挿入しているので、明らかに TeX とは違うフォントになっていますが気になさらぬように・・・）
これより, $x=e$ のときに最大となり, $x>e$ のときは減少することが分かる. よって,
$43^{\frac1{43}} > 47^{\frac1{47}}$
両辺を $43 \times 47$ 乗すると,
$43^{47} > 47^{43}$
である.
この解法自体は一昔前にみた, 「$e^{\pi}$ と $\pi^e$ はどっちが大きいか」という問題の解法 $+\alpha$ である.
(解法 2) 数学 II まで履修して, 更にあの表を暗記している人向けの解答
$43^{47}$ と $47^{43}$ の大小を調べる.
$\log_{10}43^{47} = 47\log_{10}43$
$= 47 \log_{10}(4.3 \times 10)$
$= 47(\log_{10}4.3 + 1)$
$= 47 \times (0.6335 + 1)$
$= 47 \times 1.6335$
$= 76.7745$
$\log_{10}47^{43} = 43\log_{10}43$
$= 43 \log_{10}(4.7 \times 10)$
$= 43(\log_{10}4.7 + 1)$
$= 43 \times (0.6721 + 1)$
$= 43 \times 1.6721$
$= 71.9003$
であるので,
$\log_{10}43^{47} > \log_{10}47^{43}$
$43^{47} > $47^{43}$
である.
えっ, $\log_{10}4.3$ と $\log_{10}4.7$ の値はどこから出てきたのかって ?? だから, この解法は, 教科書に載ってる, 常用対数表を暗記している人のための解法で... もちろん, 私はこんなやり方, してませんけど...
(解法 3) 数学 I まで履修した人向けの解法（厳密さに欠ける？？）
$\dfrac{47}{43} = 1.093$
より,
$43^{47} \gtrless 47^{43}$
$43^{43} \times 43^4 \gtrless (43 \times 1.093)^{43}$
$43^{43} \times 43^4 \gtrless 43^{43} \times 1.093^{43}$
$43^4 \gtrless 1.093^{43}$
であり, 近似式より
$(1+0.093)^{43} \doteqdot 1 + 0.093 \times 43$
$= 4.999$
であるので,
$43^4 > 4.999$
$43^4 > 1.093^{43}$
$43^{43} \times 43^4 > 43^{43} \times 1.093^{43}$
$43^{43} \times 43^4 > (43 \times 1.093)^{43}$
$43^{47} > 47^{43}$
である (厳密さに欠けるが, $43^4$ と $5$ の比較なら約 $680000$ 倍も違うので, 有効数字を考慮していけば十分な気もするが... )
翌日追記
近似式
$(1+x)^n \simeq 1+nx$
を使うためには, $|x| \ll 1$ である必要があったのだが, この解答では“十分に小さい”とは言えない, ということに気がついた.
実際, この式の元（導出方法は色々あるが, 今回は二項定理とする）を考えると, (計算は Google Spreadsheet を使っているので, 有効数字は小数第 9 位まで)
$(1+0.093)^{43} = 1 + 3.999 + 7.810047 + 9.926569737 + 93231709855 + \cdots$
というように, 近似するためには項数が少なすぎる.
| n | 項 | 和 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 3.999 | 4.999 |
| 2 | 7.810047 | 12.809047 |
| 3 | 9.926569737 | 22.73561674 |
| 4 | 9.231709855 | 31.96732659 |
| 5 | 6.696682329 | 38.66400892 |
| 6 | 3.944345892 | 42.60835481 |
| 7 | 1.938927745 | 44.54728256 |
| 8 | 0.8114412612 | 45.35872382 |
| 9 | 0.2934712561 | 45.65219508 |
| 10 | 0.09279561119 | 45.74499069 |
| 11 | 0.02588997552 | 45.77088066 |
| 12 | 0.00642071393 | 45.77730138 |
| 13 | 0.001423916789 | 45.77872529 |
| 14 | 0.0002837662744 | 45.77900906 |
| 15 | 0.00005102117614 | 45.77906008 |
| 16 | 0.000008303696417 | 45.77906838 |
| 17 | 0.000001226504806 | 45.77906961 |
| 18 | 0.0000001647604789 | 45.77906978 |
| 19 | 0.00000002016147966 | 45.7790698 |
| 20 | 0.00000000225002113 | 45.7790698 |
整数部分まで確定するためには, $n=9$ のときまで求める必要があるので, これでは手計算で求めるには, やはり難しすぎると考えられる. まあ, ここまで求めることができれば, あとは有効数字を考慮していけば, なんとかなる気も...
(解法 4) 数学 II・数学 B まで履修した人向けの解法（激ムズ）
二項定理より, ($\binom{n}{r}$ は二項係数であり, 日本の高校数学では ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ と表す)
$47^{43} = (43+4)^{43}$
$= \displaystyle\sum_{k=0}^{43}\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k = (*)$
ここで, $B(k)=\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k$ とおき, $B(k)$ の最大値を調べる. $0 \le k \le 42$ のうち, $B(k)$ が増加する $k$ の範囲を調べる.
$B(k) < B(k+1)$
$\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k < \binom{43}{k+1} \times 43^{43-(k+1)} \times 4^{k+1}$
$\dfrac{43!}{k!(43-k)!} \times 43^{43-k} \times 4^k < \dfrac{43!}{(k+1)!(42-k)!} \times 43^{42-k} \times 4^{k+1}$
$\dfrac{43}{43-k} < \dfrac{4}{k+1}$
$43(k+1) < 4(43-k)$
$43k+43 < 172-4k$
$47k < 129$
$k < \dfrac{129}{47} = 2+\dfrac{35}{47}$
であるので,
$B(0)<B(1)<B(2)<B(3)>B(4)>B(5)>\dots>B(43)$,
即ち $B(k)\le B(3)$ であることが分かる.
これより,
$(*) \le \displaystyle\sum_{k=0}^{43}\binom{43}{3} \times 43^{40} \times 4^3$
$= 44 \times \dfrac{43 \times 42 \times 41}{3 \times 2 \times 1} \times 43^{40} \times 4^3$
$= 43^{41} \times 41 \times 7 \times 4^4 \times 11$
$= 43^{41} \times 41 \times 7 \times 4^2 \times 4^2 \times 11$
$< 43^{41} \times 43 \times 43 \times 43 \times 43 \times 43$
$= 43^{46} < 43^{47}$
であるので,
$47^{43}<43^{47}$ が成り立つ.
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