授業で出題した問題（週末課題 Season.2 No.01）

8 月になって、三者面談をしています。

8 月 3 日（月）に 8 人、 4 日（火）に 5 人、 5 日に 8 人、というハイペースで。

何故、こんなにハイペースで行っているのかというと・・・


日程が、この 3 日間しかないんですよね・・・

まあ、それでも急な日程にも関わらず 21 人も来てくれるってのはありがたいですね。


そんな三者面談でも、最近（私とその周辺で流行っている）Google Docs をフル活用しています。

面談の案内は（紙でも配布しているが） ドキュメントを使い、日時の希望調査は Google form で回答してもらい、日程表は Spreadsheet で送って、面談の資料は Spreadsheet で作成し、聞き取った内容も Spreadsheet に記入していく・・・

なんか、 Google Docs がないと、もう仕事を出来ないのではないでしょうか？？





授業で出題した課題。週末課題 Season.2 です。何故、 Season.2 になったのかというと・・・単純に、前期中間考査が終わって、気分転換です。
今回の問題は、第 357 回実用数学技能検定 (2020.07.11 実施) の 2 次試験の第 4 問と第 7 問です。




第 1 問
箱の中に, 赤球 $4$ 個, 白球 $3$ 個, 青球 $2$ 個の合計 $9$ 個の球が入っています. この中から無作為に選んだ $2$ 個の球を同時に取り出すとき, 次の問いに答えなさい.
(1) $2$ 個とも青球である確率を求めなさい.
(2) $2$ 個とも同じ色である確率を求めなさい.

第 2 問
$X$ を $0$ から $9$ までの数字とするとき,
$10X1$, $10X3$, $106X$, $109X$ (いずれも $4$ 桁の整数を表します. )
がすべて素数となる $X$ が $1$ つだけあります.
この $X$ を求めなさい.





解答例
第 1 問
(1) 全事象は $9$ 個の中から $2$ 個を選ぶので ${}_{9}\mathrm{C}_{2}$ 通り,
確率を求める事象は $2$ 個の中から $2$ 個を選ぶので ${}_{2}\mathrm{C}_{2}$ 通り,
よって求める確率は
$\dfrac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{9}\mathrm{C}_{2}} = \dfrac{1}{36}$.

(2)
同様に $2$ 個とも赤球, $2$ 個とも白球である組み合わせは ${}_{4}\mathrm{C}_{2}$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるので, 求める確率は
$\dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{9}\mathrm{C}_{2}} = \dfrac{6+3+1}{36} = \dfrac{5}{18}$.

第 2 問
倍数の判定法のうち,
「$2$ の倍数 $\iff$ 下 $1$ 桁が $2$ の倍数」
「$3$ の倍数 $\iff$ 各位の数の和が $3$ の倍数」
は, 比較的簡単に倍数かどうかが分かる. これより,
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
\pmod2 & \times & & \times & & \times & & \times & & \times & \\
\hline
\pmod3 & & \times & \times & & \times & \times & & \times & \times &
\end{array}
$

ここまでくると, $X$ の候補は $3$ と $9$ のみに絞られる.
あとはどちらかで合成数になるものを見つければ, 答えが分かる.

考える数は...
$
\begin{array}{cccccc}
X=3 & \longrightarrow & 1031 & 1033 & 1063 & 1093 \\
X=9 & \longrightarrow & 1091 & 1093 & 1069 & 1099
\end{array}
$
であるが, $1093$ は両方に含まれているので, これは素数である（はずである）.

あとは, 残りの $6$ つの整数の中で合成数になっているものを探せばよい.


どれも $5$ の倍数でないことは明らかである.

次に $7$ の倍数になっているかを確認すると,
$1099 = 7 \times 157$
であるので, $X=9$ のときは不適である.


以上より, $X=3$ である.