授業で出題した問題（平日課題 No.09）

８月になって、勤務校も夏休みになりました。


三者面談をしたいと思っていたのだが、このタイミングで、（変な言い方ですが）保護者を学校に呼び出すのはどうなのか、って事で、三者面談をしてもいいかの返事が遅くなりまして・・・

実施の２週間前になって、やっと許可がおりまして・・・


で、ここ最近、今まで以上に Google Docs を使いまくっています。今回の三者面談のお知らせも、紙で配布する前に４連休に突入してしまったので、生徒に Gmail で実施のお知らせを送り、 Google form で日程アンケートを行い、その結果を Spreadsheets で作成し、 Gmail で共有して知らせる。

なんか、私の仕事はもう、 Google なしでは出来ない・・・って事ではないんですが、使えるものはどんどん使っています。


前期中間考査の点数も、別ファイルに全員分の一覧を作成し、 vlookup と importrange で生徒それぞれのファイルに引用させる形で成績表を見れるようにして、そのファイルを閲覧のみでその生徒と共有する。編集権限を与えると、他の生徒の成績まで見えてしまうので・・・（正確には元ファイルへのアクセス権限がないので見れないのですが、例えば出席番号から vlookup で拾うようになっている場合、勝手に書き換えても #N/A というエラーが出る。それを担任に知らせて直させる際に、担任のアカウントで開いた瞬間に、アクセス出来てしまうので、違う生徒の成績が表示されてしまうので・・・）


そんなわけで、これからも Google Docs を使いまくっていきたいと思います。





授業で出題した課題。なんか、忙しくなったから、１ヶ月も前の課題なのですが・・・

不定方程式の問題で、 2016 年のセンター試験追試の問題。


$a=407$, $b=481$ とする.
(1) $a$, と $b$ の最大公約数は $[アイ]$ であり, 最小公倍数は $[ウエオカ]$ である.
$\sqrt{abc}$ が整数となる正の整数 $c$ の中で, 最小のものは $[キクケ]$ である.
(2) $a$ と $b$ の最大公約数が $[アイ]$ であることに注意すると, 不定方程式
$ax=-by$
の整数解は, $x= [コサシ]k$, $y= [スセ]k$ ($k$ は整数) である.
(3) 不定方程式
$ax+by=40700$
を満たす $0$ 以上の整数 $x$, $y$ の組は $[ソ]$ 組あり, その中で $x$ が最も小さいものは $x= [タ]$, $y= [チツ]$ である. また,
$ax+by = 40700+ [アイ]$
を満たす $0$ 以上の整数 $x$, $y$ の組は $[テ]$ 組あり, その中で $x$ が最も小さいものは $x= [ト]$, $y= [ナニ]$ である.




(1)
$481 = 407+74$
$407 = 74 \times 5 + 37$
$407 = 37 \times 11$
であるので, ユークリッドの互除法より最大公約数は $37$ である.

最大公約数と最小公倍数の関係より, 最小公倍数は
$\dfrac{407 \times 481}{37} = 5291$
である.

これより,
$ab = 407 \times 481 = (37 \times 11) \times (37 \times 13)$
であるので, 求める最小の $c$ は
$c=11 \times 13 = 143$
である.

(2)
$ax = -by$
$407x = -481y$
$11x = -13y$
ここで, $11$ と $13$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x=-13k$, $y=11k$
を得る.

(3)
$407 x + 481 y = 40700$
$407(x-100) = -481$
$11(x-100) = -13y$
(2) と同様に
$x-100=-13k$, $y=11k$
$x=100-13k$
これより, $x$, $y$ がともに $0$ 以上となるのは
$100-13k \ge 0$
$-13k \ge -100$
$k \le \dfrac{100}{13} = 7 + \dfrac{9}{13}$,
$11k \ge 0$
$k \ge 0$
より,
$0 \le k \le 7+\dfrac{9}{13}$
であるので, $k=0, \dots, 7$ の $8$ 組あり, その中で $x$ が最小となるのは $k=7$ のときであり,
$x = 100-13 \times 7 = 9$,
$y = 11 \times 7 = 77$
である.

同様に,
$407x + 481y = 40700+37$
$407(x-100)+481y = 37$
$11(x-100)+13y = 1$
であり,
$11 \times 6 + 13 \times (-5) = 1$
であるので, この $2$ 式の差をとると
$11(x-106) + 13(y+5) = 0$
$11(x-106) = -13(y+5)$,
であり,
$x-106 = -13k$, $y+5 = 11k$
$x=106-13k$, $y=11k-5$
と表すことができる.
これらが $0$ 以上となるのは
$106-13k \ge 0$
$-13k \ge -106$
$k \le \dfrac{106}{13} = 8+\dfrac{2}{13}$
$11k-5 \ge 0$
$11k \ge 5$
$k \ge \dfrac{5}{11}$
より,
$\dfrac{5}{11} \le k \le 8+\dfrac{2}{13}$
であるので, $k=1, \dots, 8$ の $8$ 組あり, その中で $x$ が最小となるのは $k=8$ のときであり,
$x = 106 - 13 \times 8 = 2$,
$y = 11 \times 8 - 5 = 83$
である.