授業で出題した問題（週末課題 No.09）

Classroom の使い方を再考察しなければならない。

今期の私の授業のレポートは、全て Classroom で提出としているのですが・・・

テスト前になって、一気に提出が増えてきまして、もうチェックが間に合わなくなってきていて・・・土日に一気に処理しないと、全く追いつかないんですよね・・・採点に関しては、 Classroom で Google フォームと連携した「テスト付きの課題」を利用して確認する、なんて方法くらいしか・・・穴埋めにして回答させて、自動採点で確認する、というくらいしか・・・まあ、問題に応じて写真で提出と、フォームによる自動採点とを使い分けていくしかないですかね・・・






(1) は 2018 年の杏林大の、 (2) は 2019 年の日本工大の入試問題です。


次の問に答えよ.
(1) 一辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{OABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{OC}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ をとる. 頂点 $\mathrm{O}$ から $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ の順番で $3$ 点を通り, 頂点 $\mathrm{A}$ に至る最短経路の長さを求めよ.
(2) $a$, $b$ は実数とする. 放物線 $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動し, さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線と $x$ 軸の共有点は $(1, 0)$, $(5, 0)$ であった. このとき, $a=[~~~]$, $b=[~~~]$ である. また, この $a$, $b$ の値に対して, $x$ の方程式 $|x^2+ax+b|=k$ が異なる $4$ つの実数解をもつとき, 定数 $k$ の値の範囲は $[~~~]$ である.




(1) 展開図を考える.


この図より, この経路が最短となるのは $5$ 点$\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{A}$ が一直線上になるときである. これより, 最短経路の長さを $L$ とすると, 余弦定理より
$L^2=\mathrm{OO}'^2+\mathrm{O}'\mathrm{A}'^2-2 \times \mathrm{OO}' \times \mathrm{O}'\mathrm{A}' \times \cos\angle\mathrm{OO}'\mathrm{A}'$
$= 2^2+1^2-2 \times 2 \times 1 \times \left(-\dfrac12\right)$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.




余弦定理を用いずに, $\mathrm{A}'$ から直線 $\mathrm{OO}'$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると, $\mathrm{A}'\mathrm{H}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるので,
$L^2 = \mathrm{OH}^2+\mathrm{HA}'^2$
$= \left(\dfrac52\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$= \dfrac{25}{4}+\dfrac{3}{2}$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.



(2) $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動したものは
$-y=x^2+2ax+b$
$y=-x^2-2ax-b$
である. これをさらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものは
$y+1=-(x-1)^2-2a(x-1)-b$
$y=-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)$
である. これと $x$ 軸との共有点を調べると,
$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
$x=(1-a)\pm\sqrt{a^2-b-1}$
である. 共有点が $(1, 0)$, $(5, 0)$ であるので,
$
\begin{cases}
(1-a)+\sqrt{a^2-b-1} = 5 \\
(1-a)-\sqrt{a^2-b-1} = 1
\end{cases}
$
である. これより
$a=-2$, $b=-1$
を得る.

$|x^2-2x-1|=k$ の実数解の個数と対応する $y=|x^2-2x-1|$ のグラフと $y=k$ のグラフの共有点の個数を考える.

$y=x^2-2x-1$
$= (x-1)^2-2$
より, グラフは以下の通り.



これより, $0<k<2$ を得る.


$2$ 次方程式を求めたところからの, 数学 II で学ぶ内容を用いた別解.

$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
解と係数の関係より,
$
\begin{cases}
1+5=-\dfrac{2(1-a)}{-1} \\
1\times5=\dfrac{2a-b-2}{-1}
\end{cases}
$
これを解いて $a=-2$, $b=-1$ を得る.


最初からの別解.
$x$ 軸に関して対称移動すると $y=-x^2+O(x)$, 更に平行移動すると $y=-x^+O(x)$ である（$O(x)$ は最高次が $x$ である整式）ので, これと $(1, 0)$, $(5, 0)$ を通るの事より
$y=-(x-1)(x-5)$
$=-x^2+6x-5$
である. これを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものは
$y-1=-(x+1)^2+6(x+1)-5$
$y=-x^2+4x+1$
であり, これを更に $x$ 軸に関して対称移動すると
$-y=-x^2+4x+1$
$y=x^2-4x-1$
であるので, $a=-2$, $b=-1$ を得る.