授業で出題した問題（平日課題 No.08）

無茶なルール。


ここ２週間くらい、昼休みは教室に行ってます。密にならない為に、とか色々と理由はあるのですが、毎日担任は昼休みに教室に行く、という事で・・・

なんか、ひたすら担任にばかり負担を増やしているんですね・・・


今日の午前最後の授業は別棟の３階で３年生の授業。それが終わって、本校舎の３階のホームルーム教室へダッシュして戻り、昼休みを教室で過ごす。昼休み終了の５分前の予鈴が鳴ったら職員室へ戻り、道具を持ち替えて再び別棟の３階へ。そのまま２時間授業を行い、終わったら再びダッシュで本校舎の職員室へ戻り、帰りのショートホームルームへ。１５時を過ぎて、ようやくランチを食べることが出来たのですが・・・

明日は、昼前２時間授業をして、昼休みにホームルーム、午後からまたもや２時間の授業、帰りのショートホームルーム、更には主顧問が休みの為、副顧問として部活動で体育館に２時間半ほどいることに・・・この時点で、既に１７時を過ぎているのですが、ランチって、いつ食べるのでしょうか？？





今日も、授業で出題した問題。以前出題した確率の問題で、なんとも正解率の低かったところを復習するためのチョイスです。2018 年の名城大の問題です。





次の問いに答えよ.
(1) $x+y+z=10$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ ($x>0$, $y>0$, $z>0$) の個数を求めよ.
(2) $x+y+z=100$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$) の個数を求めよ.
(3) $x+y+z+w=n$ ($n\ge0$) を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z, w)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$, $w\ge0$) の個数を求めよ.



(1) 具体的にいくつか例を考えてみる.

$(x, y, z)=(1, 2, 7)$ は条件を満たす解の $1$ つである. これを,
○|○○|○○○○○○○
と表すことにする. ○ $10$ 個の間 $9$ 箇所の中から $2$ 箇所を選んで区切りを入れると, このような表記ができる.
このような表し方をすると, $(x, y, z)$ の組とこの並べ方が一対一の対応をしていることが分かる. よって, 求める組の個数は
${}_{9}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$
より $36$ 個.


(2) 同様に考える.

単純に (1) と同様と考えると ${}_{99}\mathrm{C}_{2}$ 個となるのだが, これでは $(0, 0, 100)$ といった組み合わせはできない.

(1) と違い,
||○○○○○○○○○○
というような並べ方も考えなくてはならない (面倒なので○は $10$ 個しか書いてない). この並べ方はどのようなルールになっているか考えると, ○ $100$ 個と | $2$ 個の合計 $102$ 個を並べることになる. よって,
${}_{102}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{102 \times 101}{2 \times 1} = 5151$
より $5151$ 個.


(3) (2) と同様に,
${}_{n+3}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac16(n+3)(n+2)(n+1)$.