授業で出題した問題（平日課題 No.06）

運動不足が予想以上に・・・


今日の部活も自主練だったので、走路を走りに行きたい、という部員についていって、見ていました。中身としては、走路を走ってたり、フットワークの練習をしたり、それぞれだったのですが・・・

３年生部員から声をかけられて・・・
「センセーも一緒に走りましょう」
そんなわけで、仕方なく走ることになったのですが・・・


筋肉とか、心臓とか、肺とかが限界、ではないのですが、１周半くらいで力尽きました。

もうなんか、脛が限界を迎えてしまいまして・・・ちょっと汗をかきましたけど、全然“体力”的には余裕だったんですが・・・

恐ろしい、３ヶ月に渡る、運動不足・・・半日過ぎた今（２２時）になっても、筋肉痛とか全然ないのに、脛が痛い・・・






今日も、授業で出題した問題。
なんか、見返していたら、何故か見逃していた、平日課題 No.06 の解説。結構有名な問題なので、知っている人も多いはず。詳しくは覚えていませんが、どっかの大学の入試問題だった気がする。

本論とはずれますが、この手の整数（自然数）問題を出題されると、「自然数に $0$ を含むのか含まないのかを明示しないなんて、問題の不備だ」とか言い出す“自称・数学が分かっている人”がいるんですよね。日本で高校数学を学ぶと、自然数には $0$ は含まれないのですが、海外では $0$ を含むことが多かったり、大学で初等整数論を学ぶと自然数を定義する為に、空集合 $\emptyset$ を $0$ に対応させて定義するので、自然数に $0$ を含むので、「俺はそういった学識の高い人間だぜ」アピールをしているのだと思うのですが・・・問題を見れば、 $\dfrac1p$ とか、分母にきているのを見れば、どっちで定義していても $0$ は解にならない事は直ぐに分かると思うのですが・・・





以下の等式を満たす自然数 $p$, $q$, $r$ の組 $(p, q, r)$ の総数を求めよ.
$\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r=1$




$p \le q \le r$ と仮定する. すると, $\dfrac1p \ge \dfrac1q \ge \dfrac1r$ である. これより,
$1=\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1p+\dfrac1p+\dfrac1p=\dfrac3p$
即ち $p\le3$ である.

(i) $p=1$ とすると,
$\dfrac11+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $q$, $r$ は存在しない.

(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
ここで,
$\dfrac12=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 4$ である. $p \le q$ であるので $2 \le q \le 4$ である.

(ii-i) $q=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $r$ は存在しない.

(ii-ii) $q=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac16$
$r=6$
であるので, $(p, q, r)=(2, 3, 6)$ を得る.

(ii-iii) $q=4$ とすると,
$\dfrac14+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac14$
$r=4$
であるので, $(p, q, r)=(2, 4, 4)$ を得る.

(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
ここで,
$\dfrac23=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 3$ である. $p \le q$ であるので $q=3$ である.
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac23$
$\dfrac1r=\dfrac13$
$r=3$
であるので, $(p, q, r)=(3, 3, 3)$ を得る.

以上より, $(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$ である. $p \le q \le r$ の仮定を外すと, それぞれ $3!$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{1}$ 通り, $1$ 通りであるので,
$3!+{}_{3}\mathrm{C}_{1}+1=10$
より $10$ 通りである.



$p$ の値を仮定したあとの別解がある.

(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
$2r+2q=qr$
$qr-2q-2r=0$
$(q-2)(r-2)=4$
$p \le q \le r$ より $0 \le q-2 \le r-2$ であるので,
$(q-2, r-2) = (1, 4), (2, 2)$
$(q, r) = (3, 6), (4, 4)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4)$
を得る.

(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
$3r+3q=2qr$
$4qr-6q-6r=0$
$(2q-3)(2r-3)=9$
$p \le q \le r$ より $3 \le 2q-3 \le 2r-3$ であるので,
$(2q-3, 2r-3) = (3, 3)$
$(q, r) = (3, 3)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (3, 3, 3)$
を得る.

以下, 省略.