授業で出題した問題（週末課題 No.08）

土日の部活も（自主練ですが）始まりました。まあ、それでも半日のみなので、午後からは帰宅してゆっくりと・・・力尽きて昼寝をしていました。


授業で、演習のクラスの生徒から課題を Classroom で提出させているのですが、体育館に行くと、学校の Wi-Fi が入らないので、全然チェックが出来ませんでした。なので、帰宅して、力尽きる前になんとか提出されていたものを全部チェックし、返却しました。

Rakuten UN-LIMIT にして、色々と実験していたところで、まだ今月になってから 6 日なのに、今月の通信容量がなくなる直前となっています。特に普段からは見るつもりもないのに、外出先で YouTube を観てみたり、Prime Video を観てみたり、色々と実験をしていたら、あっという間に容量がなくなりました。

ただ、実験をしていった結果、Prime Video はデータ節約モードでは観れないようです。公式に、 SD（標準画質）コンテンツの場合は1MB/s以上が必要だと出ていますし、節約モードや低速モードでは 1Mbps が上限なので、ここから不可能であることは分かるわけです。YouTube は画質が色々とあって、自動設定になっていれば、通信速度に合わせて画質が変更されるので、前述の 1Mbps のままでも快適に観れるような画質になります。なので、問題なく観ることができました。まあ、外で観ることも、ほとんどないんでしょうけど・・・


しかし、 Classroom はどれだけの速度がないと難しいのか？？普通にアクセスしたりするにはそんなに速度は必要ないと思うのですが、困ったのは提出されたレポートの確認のとき。恐らく、生徒が撮った写真の画質そのままの状態でダウンロードしているので・・・

って思って、調べてみたんですが、どの写真も、大きくても 1.7MB 程度。当然ですが、スマホで撮った程度の写真なので、そんなもんですよね。

でも、問題はそこではないんですよ。受信した画像を編集（赤ペンで採点、コメント入れ）をする際に、編集状態で開くことができないんですよ・・・これがどういう仕様になっているのか分かりませんが、まさか編集機能自体を毎回ダウンロードしている、なんて事は・・・流石にないと思いますが、だとしたら、何故開けないのでしょうか？？







今日も授業で出題した問題。(1), (2) は藤田医大、 (3) は甲南大の入試問題です。





次の問いに答えよ.
(1) 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある. $\mathrm{AB}=1$, $\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{CD}=12$, $\mathrm{DA}=9$ のとき, この四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ.
(2) $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ の $7$ 個の数字から, 異なる $4$ 個を選び出して並べ, $4$ 桁の整数を作るとき, $3600$ より大きい奇数の個数を求めよ.
(3) $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りを求めよ.





(1) 一般的な解法としては, 余弦定理, 相互関係の順に用いて面積を求める.

$\angle\mathrm{ABC}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{AC}^2=1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta$
$\mathrm{AC}^2=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
$65-16\cos\theta=225+216\cos\theta$
$-232\cos\theta=160$
$\cos\theta=-\dfrac{160}{232}=-\dfrac{20}{29}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2}=\dfrac{21}{29}$
であるので, $\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ とおくと,
$S=S_{ABC}+S_{CDA}$
$= \dfrac12 \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} \times \sin\theta + \dfrac12 \times \mathrm{CD} \times \mathrm{DA} \times \sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 1 \times 8 \times \dfrac{21}{29} + \dfrac12 \times 12 \times 9 \times \dfrac{21}{29}
= \dfrac{84+1134}{29}
= \dfrac{1218}{29}
= 42$.


もちろん, $\angle\mathrm{BCD}=\theta$ としても同様に解くことができる.

（別解）$\angle\mathrm{BCD}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{BD}^2=8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta$
$\mathrm{BD}^2=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
$208-192\cos\theta=82+18\cos\theta$
$-210\cos\theta=-126$
$\cos\theta=\dfrac{126}{210}=\dfrac{3}{5}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2} = \dfrac45$
であるので,
$S=S_{BCD}+S_{DAB}$
 $= \dfrac12\times\mathrm{BC}\times\mathrm{CD}\times\sin\theta + \dfrac12\times\mathrm{DA}\times\mathrm{AB}\times\sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 8 \times 12 \times \dfrac45 + \dfrac12 \times 9 \times 1 \times \dfrac45 = \dfrac{192+18}{5} = \dfrac{210}{5} = 42$.


更に別解として, 一発で面積を求めることのできる公式がある.


Brahmagupta's formula (ブラーマグプタの公式)
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.


これを用いると,
$s=\dfrac{1+8+12+9}{2}=\dfrac{30}{2}=15$,
$S=\sqrt{(15-1)(15-8)(15-12)(15-9)}=\sqrt{14 \times 7 \times 3 \times 6}
= \sqrt{(2 \times 7) \times 3 \times (2 \times 3)} = 2 \times 3 \times 7 = 42$.



この公式自体は, 三角形の面積を求める Heron's formula (ヘロンの公式) の拡張であると考えることができる. 更に拡張して, 任意の四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求める Bretschneider's formula (ブレートシュナイダーの公式) が知られている.


Bretschneider's formula
四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.


この証明に関しては, なかなか (難しい, ではなく) 面倒なので, 機会があれば別のときに.





(2) この問題は, 場合分けをして考えていけば問題ない.

千の位が $4$ または $6$ のとき ($2$ 通り), 一の位は $1$, $3$, $5$ の $3$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.

千の位が $5$ のとき, 一の位は $1$, $3$ の $2$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.

千の位が $3$ のとき, 百の位は $6$, 一の位は $1$ または $5$ の $2$ 通り, 十の位は残りの $4$ 個があるので $4$ 通り.

以上より,
$2 \times 3 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 2 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 1 \times 2 \times 4 = 120 + 40 + 8 = 168$
より $168$ 通り.





(3) 私が想定した解法としては, 以下の通り.
$9^1\equiv9\pmod{100}$
$9^2\equiv81\pmod{100}$
$9^3\equiv81\times9=729\equiv29\pmod{100}$
$9^4\equiv29\times9=261\equiv61\pmod{100}$
$9^5\equiv61\times9=549\equiv49\pmod{100}$
$9^6\equiv49\times9=441\equiv41\pmod{100}$
$9^7\equiv41\times9=369\equiv69\pmod{100}$
$9^8\equiv69\times9=621\equiv21\pmod{100}$
$9^9\equiv21\times9=189\equiv89\pmod{100}$
$9^{10}\equiv89\times9=801\equiv1\pmod{100}$
より,
$9^{100} = (9^{10})^{10} \equiv 1^{10} = 1\pmod{100}$
であるので, 求める余りは $1$ である.




別解として, 数学 II で学んだ二項定理を用いる方法もある (出題した授業自体は数学 I・A を範囲としているのに, こっちで解いてきた生徒が非常に多かった).

$9^{100}=(10-1)^{100}=\displaystyle\sum_{r=0}^{100}{}_{100}\mathrm{C}_{r} \times 10^r \times (-1)^{100-r}$
ここで, $r\ge2$ のとき
$10^r=100\times10^{r-2}\equiv0\pmod{100}$
より $100$ の倍数, $r=1$ のとき
${}_{100}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{100}{1}=100$
より $100$ の倍数であるので, $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りは
$9^{100}\equiv{}_{100}\mathrm{C}_{0}\times10^0\times(-1)^{100}=1\pmod{100}$
であるので $1$ である.