授業で出題した問題（平日課題 No.07)

６時間授業の１週間が終わりました。

約３ヶ月間も授業をしていなかったからか、やはりペースが戻らない。ペースが分からないのか、授業をする体力が無くなっているのか・・・５０分の授業をすると、それだけでもうぐったりとしてしまう・・・


そして、来週からは３学年、即ち全校生徒が登校してくる・・・それでも、昼休みにはクラスの生徒の行動を見張る為に、昼食も食べずに教室に行かなくてはならないし、放課後には生徒に清掃をさせられないということで、担任が１人で掃除をするという・・・

そりゃ、感染対策とか、三密を避けるとか、分かりますけど、それによる担任への負担増が過ぎませんか？？





今回も授業で出題した問題。 2020 年の大阪学院大の入試問題で、絶対値を含む方程式の問題。絶対値記号の外し方をちゃんと分かっているかが問われるところ。


次の問いに答えよ.
(1) $x+|x+1|+|x-1|=6$ を解け.
(2) $|x-|x-1||=1$ を解け.
(3) $|x-|x-1||=\dfrac14x+a$ が異なる $3$ つの解をもつとき, 定数 $a$ がとる範囲を求めよ.



(1) 絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値は $x=-1$, $1$ である.

(i) $x<-1$ のとき, $x+1<0$, $x-1<0$ であるので,
$x-(x+1)-(x-1) = 6$
$-x = 6$
$x = -6$
これは $x<-1$ を満たす.

(ii) $-1\le x<1$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1<0$ であるので,
$x+(x+1)-(x-1) = 6$
$x+2 = 6$
$x = 4$
これは $-1\le x<1$ を満たさない.

(iii) $1\le x$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1\ge0$ であるので,
$x+(x+1)+(x-1) = 6$
$3x = 6$
$x = 2$
これは $1\le x$ を満たす.

(i), (ii), (iii) より, $x=-6, 2$ である.


(2) それぞれの絶対値で順に場合分けをしていく.

(i) $x-1\ge0$ 即ち $x\ge1$ のとき
$|x-(x-1)|=1$
$|1|=1$
これはすべての実数で成り立つので, $x\ge1$ である.

(ii) $x-1<0$ 即ち $x<1$ のとき
$|x+(x-1)|=1$
$|2x-1|=1$

(ii-i) $2x-1\ge0$ 即ち $x\ge\dfrac12$ のとき
$2x-1=1$
$x=1$
であるが, これは $\dfrac12\le x<1$ であるので不適.

(ii-ii) $2x-1<0$ 即ち $x<\dfrac12$ のとき
$-(2x-1)=1$
$x=0$
であり, これは $x<\dfrac12$ を満たす.

以上より, $x=0$, $x\ge1$ である.


(3) (2) と同様に場合分けをして考える.

(i) $x<\dfrac12$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$-(2x-1)=\dfrac14x+a$
$-2x+1=\dfrac14x+a$
$-\dfrac94x=a-1$
$x=-\dfrac49(a-1)$

(ii) $\dfrac12\le x<1$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$2x-1=\dfrac14x+a$
$\dfrac74x=a+1$
$x=\dfrac47(a+1)$

(iii) $1\le x$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x-(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|1|=\dfrac14x+a$
$-\dfrac14x=a-1$
$x=-4(a-1)$

これより, 異なる $3$ つの解をもつためには, (i), (ii), (iii) それぞれが解をもつときである. よって,
$
\begin{cases}
-\dfrac49(a-1)<\dfrac12 \\
\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1 \\
1 \le -4(a-1)
\end{cases}
$
を同時に満たす.

第 $1$ 式より
$-\dfrac49(a-1)<\dfrac12$
$a-1>-\dfrac98$
$a>-\dfrac18$

第 $2$ 式より
$\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1$
$\dfrac78 \le a+1 < \dfrac74$
$-\dfrac18 \le a < \dfrac34$

第 $3$ 式より
$1 \le -4(a-1)$
$-\dfrac14 \ge a-1$
$\dfrac34 \ge a$

以上より, $-\dfrac18<a<\dfrac34$ である.



これが, 「絶対値は場合分け」という考え方に基づく一般的な解法である. が, もっと分かりやすい解法が, 「関数のグラフを考える」である.


(2) $f(x)=|x-|x-1||$ とおく.

先程の解法と同様に場合分けをすると,
$
f(x)=
\begin{cases}
-2x+1 & (x<\frac12) \\
2x-1 & (\frac12 \le x < 1) \\
1 & (1 \le x)
\end{cases}
$
である. これより, グラフは以下の通りである.



これより, $y=1$ との共有点は...



グラフより, $x=0$, $x\ge1$ である.

(3) 同様に, $g(x)=\dfrac14x+1$ とおくと, 方程式の解は $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点である.



このグラフより, 傾き $\dfrac14$ の直線と $3$ つの共有点をもつための必要十分条件は, $\dfrac12 < x < 1$ の範囲で共有点をもつときである.

これらの条件を満たすための必要十分条件は, $g\left(\frac12\right)>0$ かつ $g(1)<1$ が成り立つことである.



$g\left(\frac12\right) > 0$
$\dfrac14 \times \dfrac12 + a > 0$
$a > -\dfrac18$,

$g(1) < 1$
$\dfrac14 \times 1 + a < 1$
$a < \dfrac34$

以上より, $-\dfrac18 < a < \dfrac34$.