正 n 角形の対角線の積

本日から、部活動が再開されました。とはいえ、まだ分散登校中なので、登校している学年のみの部活なのですが・・・


１年生を、初めて見ました。だって、今年は１年生の授業をもっていないものでして・・・

正確に言えば、１学年の登校日とかに、サポートで特定のクラスに行ったときに見ているのですが、その中のどの子が部員なのかは分かりませんでしたから・・・


３年生が９人、２年生が１８人、１年生が１２人と、合計で３９人に・・・


世間ではインターハイがなくなり、３年生の最後の大会がなくなり、というように話題になっていますが、この人数で大会に行ってたら、もう大変だったんでしょうね・・・





先日、インターネットで見つけた面白い問題。幾何学的な性質です。なんとなく、正六角形のときについては聞いたことがありましたが、一般の正 $n$ 角形でも成り立っていたんですね。




半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の $1$ 点からそれ以外の点への線分（辺および対角線）を引く. このとき, これら $n-1$ 本の線分の長さの積は $n$ である.


ちょっと分かりにくい内容なので, 具体的に確認してみる.

$n=3$ のとき, 正三角形になる. $1$ 辺の長さは $\sqrt3$ であるので,
$\sqrt3 \times \sqrt3 = 3$
である.




$n=4$ のとき, 正方形になる. $1$ 辺の長さは $\sqrt2$ であるので,
$\sqrt2 \times 2 \times \sqrt2 = 4$
である.



では, 一般の場合を考えて, 証明していく.


Definition 1.
$3$ 以上の整数 $n$ に対し, $\omega$ を $1$ の $n$ 乗根のうち, 偏角が正で最小のものとする.


Theorem 2.
$1$, $\omega$, $\omega^2$, ... , $\omega^{n-1}$
はすべて $1$ の $n$ 乗根である.

(Proof)
$(\omega^k)^n = \omega^{kn} = (\omega^n)^k = 1^k = 1$
より成り立つ${}_{\square}$


Definition 3.
$z$ についての多項式 $P(z)$ を
$P(z) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}z^k$
と定義する.


Theorem 4.
$P(z)$ を因数分解すると
$P(z) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$
である.

(Proof)
定義より
$P(z) = 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\dots+\omega^{n-1} = \dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}$
である. これと Theorem 2. より $k=1, 2, \dots, n-1$ のとき
$P(\omega^k) = \dfrac{1-1}{1-\omega} = 0$
である. 因数定理より, $P(z)$ は $z-\omega^k$ ($k=1, 2, ..., n-1$) を因数にもつことが分かる. 即ち $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$ を因数にもつ.

定義より, $\deg(P(z)) = n-1$ であり, 積の個数より $\deg\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)\right)=n-1$ であるので, $P(z)$ は $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$ の定数倍である.

最高次係数を比較すると, どちらも $1$ であるので,
$P(z) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$
である${}_{\square}$


$1$, $\omega$, $\omega^2$, ..., $\omega^{n-1}$ は複素数平面上の単位円上の $n$ 個の点である. これより, 証明すべき式は,
$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|=n$
である.



$T=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|$ とおくと,
$T^2=\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|\right)^2$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|^2$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)(\overline{\omega^k-1})$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)(\omega^{n-k}-1)$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1) \times \prod_{k=1}^{n-1}(\omega^{n-k}-1)$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1) \times \prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)$
$= P(1) \times P(1)$
$= \left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}1^k\right)^2$
$= n^2$
$T$ は絶対値の積なので正であるから
$T = n$
が成り立つ${}_{\square}$