東京大学（理系・２０２０）第３問

目指せ、YouTuber！！

ではないですが、ちょっと YouTube に動画を挙げてみようかと考えています。


警察を挑発して・・・とかはやりませんし、ゲーム実況をするわけでもありません。


私の数少ない趣味の１つに、パズルがあります。パズルの中には、ルービックキューブも含まれています。ルービックキューブ自体はハンガリーの建築学者の Rubik Erno が作った立体パズルです。そのパズルの解法自体は色々と知られていますが、基本的には数学、特に群論と呼ばれる分野で考えることができます・・・

っていう理屈は理解していたのですが、実際にはどうやって解くんだろうか・・・と考えたのが、大学院修了後の、大学職員時代。で、色々と考えた結果、自分で解法を見つけることができたのですが・・・

如何せん、独自の解法なので、どこにも載っていません。世に溢れる解法の殆どは、購入時についてくる解説のツクダ式か、大会でのスタンダードになってる LBL くらいです。

それに対して、私の解法は $2 \times 2 \times 2$ のポケットキューブの解法から始まっているので、所謂、 CF(Corner First) 法に分類されるものだと思われる。そこから、ポケットキューブはルービックキューブの部分群になっている、という考え方でルービックキューブの解法を見つけ、次に $4 \times 4 \times 4$ のルービックリベンジ, $5 \times 5 \times 5$ のプロフェッサーキューブというように解法を確立し、最終的には $6 \times 6 \times 6$ の V-Cube 6 も解けるようになりました。

何故, $6 \times 6 \times 6$ で終わっているのか？？実は、数学的にはこの $6 \times 6 \times 6$ とその前の $5 \times 5 \times 5$ が解けるようになると、（時間はかかるが）解けることが分かるので、これ以上は新しい解法は必要ないのである。

そういった意味でも、私は普段から触れる場所には $7 \times 7 \times 7$ までを置いている（$6 \times 6 \times 6$ などの偶数のものは中心がないので（物理的に）やりにくいので $7 \times 7 \times 7$ をやってます）。


で、ちょくちょく人から聞かれるのが、どうやって揃えるのか、と。理屈を説明しても、なかなか分かってもらえないので、実際にやりながら説明をするのですが、それでもなかなか覚えられない。ということで、動画にしてまとめてみようかと思いました。そのためには・・・まずは撮影機材を揃える必要があるんですよね・・・目線カメラとかがあれば、簡単にできそうなのですが・・・




今日は、東京大学の第３問。


$-1 \le t \le 1$ を満たす実数 $t$ に対して,
\begin{align*}
x(t) &= (1+t)\sqrt{1+t} \\
y(t) &= 3(1+t)\sqrt{1-t}
\end{align*}
とする. 座標平面上の点 $P(x(t), y(t))$ を考える.
(1) $-1 < t \le 1$ における $t$ の関数 $\dfrac{y(t)}{x(t)}$ は単調に減少することを示せ.
(2) 原点と $P$ の距離を $f(t)$ とする. $-1 \le t \le 1$ における $t$ の関数 $f(t)$ の増減を調べ, 最大値を求めよ.
(3) $t$ が $-1 \le t \le 1$ を動くときの $P$ の軌跡を $C$ とし, $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $D$ とする. 原点を中心として $D$ を時計回りに $90^\circ$ 回転させるとき, $D$ が通過する領域の面積を求めよ.




(1) $-1 < t < 1$ のとき,
$\dfrac{y(t)}{x(t)} = \dfrac{3(1+t)\sqrt{1-t}}{(1+t)\sqrt{1+t}}$
$= \dfrac{3\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}}$
である. ここで,
$\dfrac{d}{dx}\dfrac{y(t)}{x(t)} = \dfrac{-\frac{3\sqrt{1+t}}{2\sqrt{1-t}}-\frac{3\sqrt{1-t}}{2\sqrt{1+t}}}{1+t}$
$= -\dfrac{3}{(1+t)\sqrt{(1-t)(1+t)}}$
であり, $-1<t<1$ より $1+t>0$, $\sqrt{1+t} > 0$, $\sqrt{1-t} > 0$ であるので $\dfrac{d}{dx}\dfrac{y(t)}{x(t)} < 0$ である, 即ち $\dfrac{y(t)}{x(t)}$ は単調に減少する${}_{\square}$


(2) 定義より
$f(t) = \sqrt{(x(t))^2+(y(t))^2}$
$= \sqrt{(1+t)^3+9(1+t)^2(1-t)}$
$= (1+t)\sqrt{(1+t)+9(1-t)}$
$= (1+t)\sqrt{10-8t}$
であるので,
$\dfrac{d}{dt}f(t) = (1+t)'\sqrt{10-8t}+(1+t)(\sqrt{10-8t})'$
$= \sqrt{10-8t}-8 \times (1+t) \times \dfrac{1}{2\sqrt{10-8t}}$
$= \sqrt{10-8t}-\dfrac{4(1+t)}{\sqrt{10-8t}}$
$= \dfrac{(10-8t)-4(1+t)}{\sqrt{10-8t}}$
$= \dfrac{6-12t}{\sqrt{10-8t}}$
であるので, $\dfrac{d}{dt}f(t)=0$ となるのは $t=\dfrac12$ のときのみである.

増減表は以下の通り.
$
\begin{array}{c|ccccc}
t & -1 & \cdots & \frac12 & \cdots & 1 \\
\hline
\frac{d}{dt}f(t) & + & + & 0 & - & -  \\
\hline
f(t) & 0 & \nearrow & \frac32\sqrt{6} & \searrow & 2\sqrt2
\end{array}
$
これより, $-1 \le t < \dfrac12$ のとき増加, $\dfrac12 < t < 1$ のとき減少し, 最大値 $f(\frac12)=\dfrac32\sqrt6$ である.




(3) $D$ が通過する領域は下図の通り.



この領域を, $2$ つに分けて考える.


上図の領域の面積は, $x$ 軸の下側の部分を $90^\circ$ 回転させるとちょうど中心角 $90^\circ$ の扇形になるので,
$\dfrac14 \times \left(\dfrac32\sqrt6\right)^2 \times \pi = \dfrac{27}{8}\pi$
である.




それ以外の領域について, 上図のような楕円のような図形を半分にしたような図になる.
この図の面積は,
$\displaystyle\int_{0}^{2\sqrt2}ydx = \int_{-1}^{1}3(1+t)\sqrt{1-t} \times \dfrac32\sqrt{1+t}dt$
$= \dfrac92\displaystyle\int_{-1}^{1}(1+t)\sqrt{1-t^2}dt$
$= \dfrac92\left(\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}dt+\int_{-1}^{1}t\sqrt{1-t^2}dt\right) = (*)$
ここで, $-t\sqrt{1-(-t)^2}=-t\sqrt{1-t^2}$ より, $t\sqrt{1-t^2}$ は奇関数であるので $\displaystyle_{-1}^{1}t\sqrt{1-t^2}dt=0$ である. よって,
$(*) = \dfrac92\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}dt$
$= \dfrac92\displaystyle\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2\theta}\times\cos\theta d\theta$
$= \dfrac92 \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta$
$= \dfrac94\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos2\theta+1)d\theta$
$= \dfrac94\left[\dfrac12\sin2\theta+\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$
$= \dfrac94\pi$
である.


以上より, 求める面積は
$\dfrac{27}{8}\pi+\dfrac94\pi = \dfrac{45}{8}\pi$
である.