授業で出題した問題（週末課題 No.07)

今日、スマホを注文しました。 SAMSUNG の Galaxy A7 です。以前書いた通り、楽天モバイルの Rakuten UN-LIMIT にしたので、それで使うスマホを・・・ではありません。使うつもりは全くないので・・・

では何故、注文したのか？？答えは簡単です。安かったので。


通常、31,500 円の端末が 17,000 円（税抜、税込みだと 18,700 円）で買えて、更に楽天ポイントで 15,000 ポイント還元になるので、端末料金が実質 3,700 円、という事に。まあ、ポイント付与は約 3 ヶ月後になるのが気になりますが、届き次第、ゲオに持ち込むか、若しくはメルカリか・・・または、誰か使いたい人がいれば、譲ってあげなくもないのですが・・・





今日も、授業で出題した問題。内容は、確率です。

どれも基本となる内容なので、しっかりと理解して欲しいところ。

(1) は千葉工大の, (2) は高知工科大の, (3) は岐阜聖徳学園大の, (4) は明海大の $2019$ 年の入試問題です.





次の問いに答えよ.
(1) $5$ 人で $1$ 回じゃんけんをする. 各人はグー, チョキ, パーをそれぞれ $\dfrac13$ の確率で出すものとする. このとき, ちょうど $2$ 人が勝つ確率を求めよ.
(2) $4$ 個のサイコロを同時に投げるとき, 出る目の最小値が $2$ である確率を求めよ.
(3) サイコロを $3$ 回投げて, 出た目を順に $a$, $b$, $c$ とする. $a<b<c$ となる確率は [ア] であり, $a+b+c=7$ となる確率は [イ] である.
(4) $4$ 個のさいころを同時に投げたとき, 少なくとも $2$ 個のさいころの目が同じになる確率を求めよ.





(1)
勝つ $2$ 人の組み合わせは ${}_{5}\mathrm{C}_{2}$ 通り, 勝敗のつき方は
(グー, グー, チョキ, チョキ, チョキ), (チョキ, チョキ, パー, パー, パー), (パー, パー, グー, グー, グー) の $3$ 通りであるので,
$\dfrac{{}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 3}{3^5} = \dfrac{10}{81}$.

(別解)
考え方を変えて, 積事象として考える. $5$ 人ぞれぞれがどの手を出すかは独立である.
勝つ $2$ 人のうち $1$ 人目はどの手を出してもいいので $1$, $2$ 人目は同じ手を出さなくてはいけないので $\dfrac13$, 負ける $3$ 人はそれぞれ負ける手を出さなくてはいけないのでそれぞれ $\dfrac13$ である. よって, 求める確率は
${}_{5}\mathrm{C}_{3} \times 1 \times \dfrac13 \times \left(\dfrac13\right)^3 = \dfrac{10}{81}$.

(2)
解法を知っている人にはなにも難しくないのだが, 知らないと戸惑うもところ. そういうときは, 個数を減らして考える.

サイコロ $2$ 個とし, 表で考える.
$
\begin{array}{c|cccccc}
最小値 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\
4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\
6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array}
$
この表より, 最小値が $2$ になるのは $9$ 通り... なのだが, 数えては意味がない. サイコロ $2$ 個だから $2$ 次元の表にまとめられたのであり, サイコロ $4$ 個のときは $4$ 次元の表にまとめる... なんですか, $4$ 次元の表って... まあ, $4$ 次元の表も作れるのですが...

ということで, 表で数えるのではなく, 計算で求める, という方針で.

表を見れば分かる通り, $6$ は $1 \times 1$ の正方形に, $5$ と $6$ を合わせると $2 \times 2$ の正方形に, $4$ と $5$ と $6$ を合わせると $3 \times 3$ の正方形に, というように並んでいる. これより, $2$ の個数は $5^2-4^2$ 個であることが分かる.

これをサイコロ $4$ 個で考えれば, $5^4-4^4$ 個である.

よって, 求める確率は
$\dfrac{5^4-4^4}{6^4} = \dfrac{(5^2+4^2)(5^2-4^2)}{6^4}$
$= \dfrac{41 \times 9}{2^4 \times 3^4}$
$= \dfrac{41}{2^4 \times 3^2}$
$= \dfrac{41}{144}$.

この分子の計算は, $4^4$ とか $5^4$ はよく出てくるので暗算で問題ないが, 引き算なんて面倒なので（私は）したくない. なので, こういうときは因数分解で計算を簡単に済ませるのが得策である.

(3)
具体的にいくつか例を考えてみる. 題意を満たす例としては,
$(1, 2, 3)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 2, 5)$, ... , $(4, 5, 6)$
がある. これを見ていると, $6$ 個の数字の中から $3$ 個を選んでいることが分かるので, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}}{6^3} = \dfrac{5}{54}$.

後半も, 具体的に考えてみる.
$(1, 1, 5)$, $(1, 2, 4)$, $(1, 3, 3)$, ...

ここからは色々と考えつく.

(考え方 1) まず, 一般的な考え方としては, 合計が $7$ なので, $7$ をどう分けるかの問題である. という事なので,
○○○○○○○
のような, $7$ 個の○を分ける. 分ける為には境目を $2$ つ入れればいいのだが, 入れられる候補は $7$ 個の○の間なので $6$ 箇所ある. つまり, $6$ 箇所から $2$ 箇所を選んで境目を入れればいいので, ${}_{6}\mathrm{C}_{2}$ 通りである. よって, 求める確率は
$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.

(考え方 2)  これはサイコロを投げるのが $3$ 回だから出来る問題であり, $4$ 回になったらちょっと厳しい解法である. $a+b$ の値が $7$ 未満であれば, $c$ の値は一意に決まる. 例えば, $a+b=5$ であれば $c=2$ である. これより,
$
\begin{array}{ccc}
a+b & & 組み合わせ \\
a+b=2 & \Longrightarrow & 1 \\
a+b=3 & \Longrightarrow & 2 \\
a+b=4 & \Longrightarrow & 3 \\
a+b=5 & \Longrightarrow & 4 \\
a+b=6 & \Longrightarrow & 5
\end{array}
$
であるので, 求める確率は
$\dfrac{1+2+3+4+5}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.

(考え方 3) もっと具体的に考えて, 全部数える解法. 題意を満たす組み合わせは,
$(1, 1, 5)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(1, 2, 4)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3!$ 通り
$(1, 3, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
$(2, 2, 3)$ およびそれを並び替えたもの $\Longrightarrow$ $3$ 通り
であるので, 求める確率は
$\dfrac{3+3!+3+3}{6^3} = \dfrac{5}{72}$.

(4) 「少なくとも」って言われたら, もちろん余事象を考えましょう. 「少なくとも $2$ 個が同じ」の余事象は「すべて異なる」である. 全て異なる目になるには, $6$ 個の数字から $4$ 個を選んで並べればよいので, 求める確率は
$1-\dfrac{{}_{6}\mathrm{P}_{4}}{6^4} = \dfrac{13}{18}$.



何で問題文で, (2), (3) は「サイコロ」なのに, (4) だけ「さいころ」なのか... だって, 入試問題なので, そのまま書き写しただけですから...