東京大学（理系・２０２０）第２問

最近、 Classroom を使ってどこまで出来るか考えています。

使い方によってはどこまでも出来るんでしょうけど、とりあえず今の授業でプラスになることをしたい、と思いまして・・・


基本的に、提出物とか嫌いな人なので、それをなんとか減らしたい、と思っています。回収しなければいい、っていう事はダメなんですよね・・・成績評価に入れないといけないので。テストでは点数取れなかったけど、授業はちゃんと聞いて、問題もちゃんと解いてるよ、だから成績なんとかして、っていうやつですね。

別に、そんな成績評価が嫌だとか、そういうことではないんですよ。単純に、モノを集めるのが嫌なんですよね。特に、真面目なクラスの授業をしていると、９割くらいの生徒がちゃんと提出してくるので、職員室に持ち帰るのも大変だし、それをチェックするのはもっと大変。特に、机の上を片付けるのが下手くそな私としては、モノを増やしたくない・・・

そんなわけで、考えました。現在、３年生の演習の授業でやっている、週末課題と同じ方法でいけるのではないか、と。


で、考えました。

現在、授業での問題演習は控えています。なので、教科書の練習問題を解いて、それを写真に撮って、Classroom で提出させる、その際に、授業ノートも一緒に写真に撮って提出。そうすれば、テスト後に提出する必要もなくなるし、私としてもいつでもノートチェックを出来るので、いいことですね。

その為にも、２学年だけでも、 Gmail の導入と Classroom への設定を積極的にやらせないといけないので、ここ数日、そのマニュアルを作ったり、生徒のアドレスを連絡先にインポートするためのファイルを作成したりと、色々と裏で動いていました。来週のホームルームの時間で、なんとか設定できればいいのですが・・・






今日は、先日の続きで、東京大学の第２問。２次関数の問題ですね。


平面上の点 $P$, $Q$, $R$ が同一直線上にないとき, それらを $3$ 頂点とする三角形の面積を $\triangle PQR$ で表す. また, $P$, $Q$, $R$ が同一直線上にあるときは, $\triangle PQR=0$ とする.
$A$, $B$, $C$ を平面上の $3$ 点とし, $\triangle ABC=1$ とする. この平面上の点 $X$ が
$2 \le \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX \le 3$
を満たしながら動くとき, $X$ の動きうる範囲の面積を求めよ.





(i) 点 $X$ が $\triangle ABC$ の内部または周上にあるとすると,



$2 \le \triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 1$
より, 不適.


(ii) 線分 $AX$ と線分 $BC$ が交わるとすると,



$\triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 1 + 2 \triangle BCX$
であるので,
$2 \le 1+2\triangle BCX \le 3$
$1 \le 2\triangle BCX \le 2$
$\dfrac12 \le \triangle BCX \le 1$
である. よって, 底辺を $BC$ として考えると, 点 $A$ までの距離の $1.5$ 倍から $2$ 倍の範囲となる. 対称性より, 下記の青線で囲われた部分である.




(iii) $3$ つの線分 $XA$, $XB$, $XC$ のどれも $3$ 辺と交わらないとき,



この図のような位置だとすると,
$\triangle ABX+\triangle BCX + \triangle CAX = 2 \triangle ABX - 1$
であるので,
$2 \le 2\triangle ABX-1 \le 3$
$3 \le 2\triangle ABX \le 4$
$\dfrac32 \le \triangle ABX \le 2$
である. よって, 底辺を $AB$ として考えると, 点 $C$ までの距離の $1.5$ 倍から $2$ 倍の距離となる. 対称性より, 下記の青線で囲われた部分である.



(ii) のときの面積はそれぞれ $\triangle ABC$ の $2$ 倍の図形から $1.5$ 倍の図形を除いたものであるので,
$2^2-\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac74$
である.

(iii) のときの面積はそれぞれ $\triangle ABC$ の $1$ 倍の図形から $0.5$ 倍の図形を除いたものであるので,
$1^2-\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac34$
である.


以上より, 求める面積は
$\dfrac74 \times 3 + \dfrac34 \times 3 = \dfrac{15}2$
である.