大型連休が終わっても、まだこの土日までは部活動も活動停止となっています。そんなわけで、私は今日も・・・
５連休の４日目まではブログを更新したのに、最終日は更新しなかったのは何故か？？Nintendo Switch の話をしたら、無性にゲームがしたくなってきたので・・・
５月５日はほぼ丸一日、 Switch をして過ごしてました。
とりあえずやったのが、先日も書いた HUMAN fall flat です。３年以上前のソフトなので、すごーく今更感が強いのですが、私としては新しいゲームなんです。
で、せっかくゲームをするので、YouTube で配信してみました。まあ、配信と言っても、ゲーム実況をしたわけではなく、自分でやったゲームのアーカイブとして、なのですが。
その流れで、昨日も今日もゲームをして、YouTube にアーカイブを残しておきました。多分、明日もゲーム三昧な１日になるんでしょうね。
そんなわけで、東京大学の５問目、いきましょう。高校数学では微分は通常２回までしかしませんが、今回は３回しました。微分して増減を調べる、ということが分かっていると、導関数の増減を調べるためにはもう１回微分、ってことが分かってくると思います。
$\alpha$ を正の実数とする. $0\leqq\theta\leqq\pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を, 座標平面上の $2$ 点 $A(-\alpha, -3)$, $P(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離 $AP$ の $2$ 乗として定める.
(1) $0<\theta<\pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ $1$ つ存在することを示せ.
(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ.
$0\leqq\theta\leqq\pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は, 区間 $0<\theta<\dfrac{\pi}2$ のある点において最大になる.
(1) (Proof)
$f(\theta) = (\theta+\sin\theta+\alpha)^2+(\cos\theta+3)^2$
$f'(\theta) = 2(\theta+\sin\theta+\alpha)(1+\cos\theta)+2(\cos\theta+3)(-\sin\theta)$
$= 2\theta+2\theta\cos\theta+2\sin\theta+2\sin\theta\cos\theta+2\alpha+2\alpha\cos\theta-2\sin\theta\cos\theta-6\sin\theta$
$= 2\theta+2\theta\cos\theta+2\alpha+2\alpha\cos\theta-4\sin\theta$
$f''(\theta) = 2-2\theta\sin\theta-2\alpha\sin\theta-2\cos\theta$
$f'''(\theta) = -2\theta\cos\theta-2\alpha\cos\theta$
$= -2(\theta+\alpha)\cos\theta$
$\alpha>0$ より, $f''(\theta)$ の増減表は以下の通り.
これと中間値の定理より, $f''(\beta)=0$ を満たす $0<\beta<\pi$
がただ $1$ つ存在する.
よって, $f'(\theta)$ の増減表は以下の通り.
この表より,
$f'(\beta) < f'(\pi) = 0$
であるので, これと $\alpha>0$ であることから中間値の定理より $f'(\gamma)=0$
を満たす $0<\gamma<\beta$ がただ $1$ つ存在する${}_{\square}$
(2) $f(\theta)$ の増減表は以下の通り.
これより, $0\leqq\theta\leqq\pi$ における $f(\theta)$ の最大値は $x=\gamma$ のときである.
題意より, $\gamma<\dfrac{\pi}2$ であればよい. この必要十分条件は $f'(\frac{\pi}2)<0$ であるので,
$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) < 0$
$2\alpha+\pi-4 < 0$
$\alpha < \dfrac{4-\pi}2$
である.
よって, $0<\alpha<\dfrac{4-\pi}2$ である.
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