コロナ対応の最終日。部活動もない土日って、本当は何を過ごしていたのか、全く分からなくなっていますね。
考えてみたら、前の学校に勤務してたときはゴルフ部の第３顧問だったので、大会とかはほとんど（私は）無かったのですが、冬場には勤務校のそばのゴルフ場が閉まってしまうので、土日はマイクロバスで片道３０分かけて送迎していたりしましたが、冬季間以外はけっこう時間がありましたからね。その前年の、県立で非常勤講師をしていたときは、あまりの時間のありすぎから、道の駅のスタンプラリーをやってみたりとかしましたし・・・
そんなわけで、この土日もゲームをしていました。昨日の土曜日はスーパーファミコン Nintendo Switch Onlineで、２０２１年２月に配信された「マリオのスーパーピクロス」をやってみました。
発売された当時、国内で一大ブームとなっていたイラストロジックをゲーム機で行う、ピクロスシリーズの第３弾のソフトですが、問題の約半数は前作のサテラビュー用の「タモリのピクロス」と同じだったとか・・・
まあ、そんなことは別にいいとして、このスーパーピクロスをほぼ１日、やっていました。基本的に、ペンシルパズル自体は大好きなので、集中していたら時間が経つのを忘れてしまいまして・・・
今日は、ダウンロードしてから１回しか起動していなかった、スーパーマリオパーティをやっていました。そうです、外出も出来ないので、アパートで１人でパーティを・・・先日調べた際に、オンライン対応になった、ってことを初めて知ったので・・・
オンラインで妹家族とやる、なんてことになってもいいように、遊び方の確認と、ついでに隠し要素を全部出す為に・・・と思ってやっていたのですが、なかなか時間がかかりますね・・・すごろくも１０ターンで１時間かかるし、川下りもなかなかの時間がかかってしまう・・・ゲームの内容量としては満足なのですが、後半には単純に「隠し要素を出す」ための作業だったので、けっこう苦痛なときが・・・
今日もほぼ１日をスーパーマリオパーティに費やしましたが、隠しキャラがまだ出揃ってないんですよね・・・
出揃う、って言うか、やっと１人出ただけで、あと３人は、どうやって出るんだろうか・・・まあ、ネットで調べれば直ぐに分かるんだろうけど、そんなことはしませんよ。
今日も東京大学の問題。６問目なので、今日で最後です。マリオパーティーをして、お昼休憩で食事をして、その後に解いた感じです。
実数 $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ に対し,
$x^4+bx+c = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$
が $x$ についての恒等式であるとする.
(1) $p\neq0$ であるとき, $q$, $r$ を $p$, $b$ で表せ.
(2) $p\neq0$ とする. $b$, $c$ が定数 $a$ を用いて
$b = (a^2+1)(a+2)$,
$c = -\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1)$
と表されているとき, 有理数を係数とする $t$ についての整式 $f(t)$ と $g(t)$ で
$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\} = 0$
を満たすものを $1$ 組求めよ.
(3) $a$ を整数とする. $x$ の $4$ 次式
$x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1)$
が有理数を係数とする $2$ 次式の積に因数分解できるような $a$ をすべて求めよ.
(1) 与式より,
$x^4+bx+c = x^4+(-p^2+q+r)x^2+p(-q+r)x+qr$
であり, これが $x$ についての恒等式であるので,
$-p^2+q+r = 0$
$p(-q+r) = b$
$qr = c$
$\Longrightarrow$
$q+r = p^2$
$-q+r = \dfrac{b}{p}$
$qr = c$
が成り立つ. これより,
$2q = p^2-\dfrac{b}{p}$
$q = \dfrac{p^3-b}{2p}$
$2r = p^2+\dfrac{b}{p}$
$r = \dfrac{p^3+b}{2p}$
を得る.
(2) (1) より,
$c = qr = \dfrac{(p^3+b)(p^3-b)}{4p^2}$
である. これより,
$-4p^2\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = \{p^3+(a^2+1)(a+2)\}\{p^3-(a^2+1)(a+2)\}$
$-p^2(4a+3)(a^2+1) = \{p^3+(a^2+1)(a+2)\}\{p^3-(a^2+1)(a+2)\}$
$-p^2(4a+3)(a^2+1) = p^6-(a^2+1)^2(a+2)^2$
$p^6+(4a+3)(a^2+1)p^2-(a^2+1)^2(a+2)^2 = 0$
$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2\} = 0$
であるので, 求める整式 $f(t)$, $g(t)$ の $1$ 組として
$f(t) = t^2+1$, $g(t) = (t^2+1)(t+2)^2$
を得る.
(3) 題意を満たすとすると,
$x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = (x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2)$
を満たす有理数 $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$ が存在する. 右辺を展開すると,
$(x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2) = x^4+(p_1+p_2)x^3+(p_1p_2+q_1+q_2)x^2+(p_1q_2+q_1p_2)x+q_1q_2$
であるので, $x^3$ の係数を比較することで, $p_1 + p_2 = 0$ であることが分かる. これより, $p_1=-p_2=p$, $q_1=q$, $q_2=r$ とおくと, 最初に出てきた恒等式になる.
$x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$
(i) $p=0$ のとき,
$x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = (x^2+q)(x^2+r)$
より,
$(a^2+1)(a+2) = 0$
$-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = qr$
が成り立つ. $a$ は実数より $a^2+1>0$ であるから, $a+2=0$ 即ち $a=-2$ である.
これを第 $2$ 式に代入すると
$-\left(-2+\dfrac34\right)\{(-2)^2+1\} = qr$
$\dfrac{25}4 = qr$
であり, また $p=0$ より $q+r=p^2=0$ であるので, $r=-q$ である. よって $q^2 = -\dfrac{25}4$ を得るが, これを満たす実数 $q$ は存在しないので不適である.
(ii) $p\neq0$ のとき, (2) より求める $p$ は
$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2\} = 0$
を満たす値である. ここで $p^4\geqq0$, $a^2+1>0$, $(a+2)^2\geqq0$ であるので, $p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2 > 0$ である. これより,
$p^2-(a^2+1) = 0$
$p^2 = a^2+1$
であり, $a$ は整数であるので, $p^2$ は整数である. $p$ は有理数でもあったので, $p$ は整数である.
$p^2-a^2 = 1$
$(p+a)(p-a) = 1$
$p+a = \dfrac{1}{p-a}$
と $a$, $p$ が整数であるので
$p+a = 1$
$p-a = 1$
である. これより, $p=1$, $a=0$ を得る.
(i), (ii) より, $a=0$ である.
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