数学オリンピック日本予選２０１２

最近、テスト期間中ということもあったので・・・

先日の土日、思いっきり遊びに出かけてやりました。


本当は来週の予定だった、私の所属している地域活動団体の収穫祭が、先週の水曜日に連絡があり、１週前倒しになった、と言われまして・・・

色々とやることがあって、本当はこの土日も予定が入っていたのですが、残念ながら優先順位というものを考えると・・・
来週末の予定でしたけど、それに向けて少しずつ用意していたものですから・・・


そんなわけで、土日に入っていた２件の用事をキャンセルし、収穫祭に行ってきました。
収穫祭なので、餅をついてそれを食べる、というのがメインなのですが、ここ数年は私が何か料理していたからか、他に何も用意されていないので・・・

で、今年もたこ焼き、餃子を焼いて、更にはかき氷も作ってみました。
特に餃子に関しては、毎年購入している某精肉店の手作り餃子で、県内一の美味しさ（当社比）です。

ただ、たこ焼きの準備の際に、一緒に行った人から言われた一言が・・・
キャベツを千切りにし、その後に短くなるように切り直すのですが、千切りの包丁音を聞いて「料理が出来ないストレスが溜まってる音ですね」と。
確かに、寮監をしている為、普段料理を全くしない生活になってしまいましたからね・・・
言われてみれば、料理をしている時間が、とても楽しかったような・・・
翌日の日曜日、炭焼き窯でのピザ焼きの際も、隣で焼きそばを作っていましたが、鉄板で合計２１玉分の焼きそばを焼いて、大変だったし熱かったですが、楽しかった・・・

日常的に、料理がしたいな・・・





今日は、先日の某高校の学園祭に行った際に話題になった、昔の数学オリンピック日本予選の問題。
整数の問題としては、典型的な問題ですね。
ただ、因数分解をしてから場合分けをして、更にそれぞれについて解いていく、というのは、数オリらしく、大学入試よりは遥かに高いレベルの問題です。





A 君と B 君が黒板に 2 つずつ正の整数を書いた. A 君の書いた数の積は B 君の書いた数の和の $2$ 倍, B 君の書いた数の積は A 君の書いた数の和の $2$ 倍であり, A 君の書いた数の和は B 君の書いた数の和以上であった. このとき, B 君の書いた数の和として考えられるものをすべて求めよ. ただし, 書かれた 4 つの数は相異なるとは限らない.





---解答例---

A 君が書いた正の整数を $a$, $b$ ($a\le b$), B 君が書いた正の整数を $c$, $d$ ($c \le d$) とする.
条件より,
$
\begin{cases}
ab = 2(c+d) & \cdots (1) \\
cd = 2(a+b) & \cdots (2) \\
a+b \ge c+d & \cdots (3)
\end{cases}
$
が成り立つ.

$(1)$, $(3)$ より,
$2(a+b) \ge ab$
$ab-2a-2b \le 0$
$(a-2)(b-2) \le 4$
を得る.
これと, $a$, $b$ が正の整数であることより,
(i) $a-2=-1$, $b-2\ge-2$
(ii) $a-2=-1$, $b-2\ge-1$
(iii) $a-2=1$, $b-2\ge0$
(iv) $a-2=2$, $b-2=2$
であることが分かる.

(i) $a=1$ のとき, $(1)$, $(2)$ より
$b = 2(c+d)$
$cd = 2(1+b)$
であるので,
$cd = 2+4(c+d)$
$cd-4c-4d = 2$
$(c-4)(d-4) = 18$
より,
$(c-4, d-4) = (1, 18), (2, 9), (3, 6)$
即ち
$(c, d) = (5, 22), (6, 13), (7, 10)$
を得る.
実際に,
$(a, b, c, d) = (1, 54, 5, 22), (1, 38, 6, 13), (1, 34, 7, 10)$
が, 題意を満たす.

(ii) $a=2$ のとき,
$cd = 4+2(c+d)$
$(c-2)(d-2) = 8$
より,
$(c-2, d-2) = (1, 8), (2, 4)$
即ち
$(c, d) = (3, 10), (4, 6)$
を得る.
実際に,
$(a, b, c, d) = (2, 13, 3, 10), (2, 10, 4, 6)$
が題意を満たす.

(iii) $a=3$ のとき, $(1)$ より
$3cd=18+4c+4d$
$3cd-4c-4d=18$
$c(3d-4)-4d=18$
$3c(3d-4)-4\times3d=54$
$(3c-4)(3d-4)=70$
より
$(3c-4, 3d-4) = (1, 70), (2, 35), (5, 14), (7, 10)$
即ち
$(c, d) = \left(\frac53, \frac{74}3\right), (2, 13), (3, 6), \left(\frac{11}3, \frac{14}3\right)$
を $4$ 組を得るが, 自然数であることに反するので $2$ 組は不適である.
よって
$(a, b, c, d)=(3, 10, 2, 13), (3, 6, 3, 6)$
を得るが, $(1, b, c, d)=(3, 10, 2, 13)$ は条件式 (3) を満たさないので不適.
よって
$(a, b, c, d)=(3, 6, 3, 6)$.

(iv) $a=4$ のとき, $(1)$, $(2)$ より
$cd = c+d+8$
$cd-c-d = 8$
$(c-1)(d-1) = 9$
より
$(c-1, d-1) = (3, 3)$
即ち
$(c, d) = (4, 4)$
を得る.
実際に,
$(a, b, c, d) = (4, 4, 4, 4)$
が題意を満たす.

以上より,
\[
8, 9, 10, 13, 17, 19, 27
\]
である.