北海道大学・理系（２０１７年）

勤務校は２期制をとっていて、昨日から前期の期末考査となっています。
当然、テスト前になったら、部活動の禁止期間があるのですが・・・
大会が近いから、っていう理由で、多くの部活が活動してるんですよね・・・

いや、大会なんかどうでもいい、なんて言うつもりはありませんが、そうなる事は予想できるのだから、最初から試験の日程を考えて設定すればいいのではないのでしょうか？？
むしろ、こんな日程になることが分かっているのだから、２期制にしている意味はあるのでしょうか？？

まだまだ出来て日が浅い学校であるけど、その学校を作る際に持ってきたシステムが、姉妹校の定時制、っていうのがそもそもの間違い。
なのに、それを決めた上層部が過ちを認めたくないから（私の勝手な予想）、このシステムの変更（教務規定とかも含めて）をしたくても、上層部がOKを出さないという・・・

私は別にいいんですけど、そんなに生徒を苦しめて、何かいい事があるのでしょうか？？

３年生の、前期中間の成績は非常に重要です。
３学期制の学校の場合は、１学期の成績です。
通常は、１学期の中間と期末が終わって、その点数を元に調整をして点数を付け、その点数を元に仮評定が出て、それを含む３年間の評定平均値が進学先や就職先に送られる数字になるのです。

なのに、この学校のシステムは、前期中間の“素点”を成績として出す、と。
調整は年度末に行うので、年間の途中には一切しない、と。
１年や２年だったらそれでもいいのですが、３年生は・・・

もし中間考査が難しくし過ぎて、平均２０点なんてなってしまったら、殆どの生徒が赤点になってしまうわけで・・・
そんな成績が、調整もされずに進学先・就職先に送られてしまう、ってのは大丈夫なのか？？


って話を教員の間でしていたら、昨日の管理職の会議で、３学期制とか、成績評価の方法とか、話が出たみたいでした。
これで少しは、まともなシステムになる・・・のかな？？

北海道大学の第５問。
なかなか旧帝大では見かけない（気がする）、図形と方程式単体の問題。
多くはここに、平面幾何やら三角比やらをかぶせてくるのですが、珍しく単体の問題。





座標平面上の $3$ 点 $A(1, 0)$, $B(3, 1)$, $C(2, 2)$ を頂点とする
$\triangle ABC$ の内部および境界を $T$ とおく.
実数 $a$ に対して, 条件
\[
AP^2+BP^2+CP^2\le a
\]
を満たす座標平面上の点 $P$ の全体を $D$ とする.
ただし, $AP$ は点 $A$ と点 $P$ の距離を表す.

(1) $D$ が少なくとも $1$ つの点 $P$ を含むような $a$ の値の範囲を求めよ.

(2) $D$ が $T$ を含むような $a$ の値の範囲を求めよ.

(3) (1) のもとで, $D$ が $T$ に含まれるような $a$ の値の範囲を求めよ.





---解答例---

(1)
$P(x, y)$ とおくと,
$AP^2 = (x-1)^2+y^2$
$BP^2 = (x-3)^2+(y-1)^2$
$CP^2 = (x-2)^2+(y-2)^2$
より,
$AP^2+BP^2+CP^2 = 3x^2-12x+3y^2-6y+19$
$= 3(x^2-4x)+3(y^2-2y)+19$
$= 3(x-2)^2+3(y-1)^2+4$,
これより
$3(x-2)^2+3(y-1)^2+4 \le a$
$(x-2)^2+(y-1)^2 \le \frac{a-4}3$
であるので, $D$ は点 $(2, 1)$ を中心とする半径 $\frac{\sqrt{3(a-4)}}3$ の円
(境界線を含む) であるので,
$\frac{\sqrt{3(a-4)}}{3} \ge 0$
$a-4 \ge 0$
$a \ge 4$.

(2)
$PA^2 = (2-1)^2+1^2 = 2$,
$PB^2 = (2-3)^2+(1-1)^2 = 1$,
$PC^2 = (2-2)^2+(1-2)^2 = 1$
より, 点 $A$ が $D$ に含まれるとき, $D$ が $T$ を含む. よって,
$\frac{\sqrt{3(a-4)}}{3} \ge \sqrt2$
$\frac{a-4}3 \ge 2$
$a \ge 10$.

(3)
点 $(2, 1)$ と直線 $AB$ との距離を $d_{AB}$ とすると, 直線 $AB$ の方程式は
$y = \frac12(x-1)$
$2y = x-1$
$x-2y-1 = 0$
であるので,
$d_{AB} = \frac{|2-2\times1-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac1{\sqrt5}$
である. 対称性から $d_{CA}=\frac1{\sqrt5}$, $d_{BC}=\frac1{\sqrt2}$ であるので,
$\frac{\sqrt{3(a-4)}}3 \le \frac1{\sqrt5}$
$\frac{a-4}3 \le \frac15$
$a-4 \le \frac35$
$a \le \frac{23}5$
であるので, $4\le a\le\frac{23}5$.