北海道大学・理系（２０１７年）

３連休を終えての本日。
ここ１週間で、何回病院に行ったことやら・・・

先週の月曜日に、生徒を連れて夜間の外来へ。
水曜日は別の生徒を連れて、夕方に学校医へ行ったのですが、午後休診で、別な医者へ。
木曜日には、月曜日に連れて行った生徒を連れて学校医へ、そこでマイコプラズマが発覚し、別な病院へと入院させる。

入院させた際に、顧問３人が病室に揃ったのですが・・・
第１「とりあえず、担任するまで毎日、誰かが御見舞に来よう」
第２「そうですね、そうした方がいいと思います」
っていうことで、私（第３）は何も言ってないのですが、３連休は毎日、御見舞に行きました。


そこで入院している生徒に聞いたのですが・・・
私「この３連休、誰か御見舞に来た？」
生「Ｉ先生（私）だけです」

えっと・・・
言い出したのなら、責任をもってくださいよ・・・





北海道大学の第４問。
確率の問題で、 $p_n$ とか書いてあるから、数列も絡んでくるのかな、なんて思ったりもしたのですが、完全に確率だけの問題でした。





さいころを続けて投げて, 数直線上の点 $P$ を移動させるゲームを行う. 初め点 $P$ は原点 $0$ にいる. さいころを投げるたびに, 出た目の数だけ, 点 $P$ の現在の位置から正の向きに移動させる. この試行を続けて行い, 点 $P$ が $10$ に達するか越えた時点でゲームを終了する. $n$ 回目の試行でゲームが終了する確率を $p_n$ とする.

(1) $p_{10}=\left(\frac16\right)^9$ となることを示せ.

(2) $p_9$ の値を求めよ.

(3) $p_3$ の値を求めよ.





---解答例---

(1)
$10$ 回目でゲームが終了する為には, $1$ 回目から $9$ 回目までは $1$ の目が出て,
$10$ 回目は任意の目が出ることになる. これより,
$p_{10} = \left(\frac16\right)^9 \times \frac66 = \left(\frac16\right)^9$.

(2)
$9$ 回目で終了する為には, $8$ 回が終わった時点で $8$ または $9$ にいて, $8$ にいるときは $9$ 回目に $2$ 以上の目が, $9$ にいるときは $9$ 回目に任意の目が出る.

case.1.
$8$ 回が終わった時点で $8$ にいるとき
$\left(\frac16\right)^8 \times \frac56 = \frac{5}{6^9}$.

case.2.
$8$ 回が終わった時点で $9$ にいるとき
${}_8\mathrm{C}_1 \times \frac16 \times \left(\frac16\right)^7 \times \frac66 = \frac{48}{6^9}$.

よって,
$p_9 = \frac5{6^9}+\frac{48}{6^9} = \frac{53}{6^9}$.

(3)
$2$ 回目が終わった時点で点 $P$ がいる座標を $x$ とする.

case.1.
$x=4$ のとき, $1$, $2$ 回目の出方は $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$ の $3$ 通り, よって
$\frac3{6^2} \times \frac16 = \frac3{6^3}$.

case.2.
$x=5$ のとき, $1$, $2$ 回目の出方は $(1, 4)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$ の $4$ 通り, よって
$\frac4{6^2} \times \frac26 = \frac8{6^3}$.

case.3.
$x=6$ のとき, $1$, $2$ 回目の出方は $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$, $(5, 1)$ の $5$ 通り, よって
$\frac5{6^2} \times \frac36 = \frac{15}{6^3}$.

case.4.
$x=7$ のとき, $1$, $2$ 回目の出方は $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, $(6, 1)$ の $6$ 通り, よって
$\frac6{6^2} \times \frac46 = \frac{24}{6^3}$.

case.5.
$x=8$ のとき, $1$, $2$ 回目の出方は $(2, 6)$, $(3, 5)$, $(4, 4)$, $(5, 3)$, $(6, 2)$ の $5$ 通り, よって
$\frac5{6^2} \times \frac56 = \frac{25}{6^3}$.

case.6.
$x=9$ のとき, $1$, $2$ 回目の出方は $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 3)$ の $4$ 通り, よって
$\frac4{6^2} \times \frac66 = \frac{24}{6^3}$.

以上より,
$p_3 = \frac{3}{6^3}+\frac{8}{6^3}+\frac{15}{6^3}+\frac{24}{6^3}+\frac{25}{6^3}+\frac{24}{6^3} = \frac{99}{6^3} = \frac{11}{24}$.