４次正方行列の逆行列などなど

昨日は月曜日だったのですが、土曜日に出勤だったのでその分の代休でした。
最近、疲れが溜まっていたので、気分転換にドライブに行ってきました。

特にどこに行こうとか決めてなかったのですが、
気がついたら一昨年まで住んでいた土地に・・・

そこで知り合いの店に挨拶に行ったら、すぐ目の前のラーメン屋に一緒に行ったり、
一昨年までいた職場に挨拶に行って、その後にあの宮城県ではお馴染みの
半田屋が出来てたので、そこで夕食を食べたり・・・


さて、今日も知恵袋。
線形代数の問題ですね。





$k$ を整数とし,
$A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-k\end{array}\right)$, $x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)$, $j=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)$
とおく.
以下の各問に答えよ.

(1) $A$ が正則であるための $k$ の条件を求めよ.
(2) $k=1$ のとき, 連立一次方程式 $Ax=j$ の解を求めよ.
(3) $A$ が正則行列であるとき, $A$ の逆行列の成分がすべて整数となるための必要十分条件は $k=1$ であることを示せ.





(1)
$\mathrm{det}(A)$ $=\left|\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-k\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\0&1&1&0\\0&3&3&-k\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{ccc}k&2&-1\\1&1&0\\3&3&-k\end{array}\right|$ $=-\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\k&2&-1\\3&3&-k\end{array}\right|$ $=-\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&2-k&-1\\0&0&-k\end{array}\right|$
$=-\left|\begin{array}{cc}2-k&-1\\0&-k\end{array}\right|$ $=k(2-k)$
であるので, $A$ が正則であるためには $k\neq0, 2$ である.

(2)
$k=1$ とすると,
$A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&1&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-1\end{array}\right)$
であるので, 拡大係数行列を用いて計算すると,
$\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\-2&1&3&0&0\\3&3&0&-1&0\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&1&1&0&2\\0&3&3&-1&-3\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&0&-1&1&2\\0&0&-3&2&-3\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&0&1&-1&-2\\0&0&-3&2&-3\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&-1&-1\\0&1&0&1&4\\0&0&1&-1&-2\\0&0&0&-1&-9\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&0&8\\0&1&0&0&-5\\0&0&1&0&7\\0&0&0&1&9\end{array}\right)$
より, 解は $\left(\begin{array}{c}8\\-5\\7\\9\end{array}\right)$.

(3)
$k\neq0$, $2$ のとき,
$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
-2&1&3&0&0&0&1&0\\
3&3&0&-k&0&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&3&3&-k&-3&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
0&3&3&-k&-3&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&0&2-k&-1&-2k&1&-k&0\\
0&0&0&-k&-9&0&-3&1
\end{array}\right)$

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&-\frac{1}{2-k}&1-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&1&0&\frac{1}{2-k}&2+\frac{2k}{2-k}&-\frac{1}{2-k}&1+\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&-\frac{1}{2-k}&\frac{2-3k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&1&0&\frac{1}{2-k}&\frac{6-2k}{2-k}&-\frac{1}{2-k}&\frac{2}{2-k}&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&0&1-\frac{2k}{2-k}+\frac{9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k}{2-k}+\frac{3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&1&0&0&2+\frac{2k}{2-k}-\frac{9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&1+\frac{k}{2-k}-\frac{3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
0&0&1&0&\frac{-2k}{2-k}+\frac{9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k}{2-k}+\frac{3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&0&\frac{-3k^2+2k+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&1&0&0&\frac{4k-9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&\frac{2k-3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
0&0&1&0&\frac{-2k^2+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

であるので, 逆行列は 

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{-3k^2+2k+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
\frac{4k-9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&\frac{2k-3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
\frac{-2k^2+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

である. 

この成分がすべて整数となる為には, $\frac{1}{k(2-k)}$ が整数であることが必要である.
これより, $k(2-k)=\pm1$ である.

$k(2-k)=1$ のとき
$k^2-2k+1=0$
$(k-1)^2=0$
$k=1$,

$k(2-k)=-1$ のとき
$k^2-2k-1=0$
$k=1\pm\sqrt2$

である.
$k$ は整数であるので $k=1$ であることが必要条件である.

$k=1$ とすると,
$k(2-k)=1$, $2-k=1$, $k=1$ となり, 全ての成分の分母が $1$ となるので全ての成分が整数となるので十分条件であることが分かる.

以上より, $k=1$ が必要十分条件である. 

この問題は、同じ計算を何度もしているので終わってから気がつくと思うが、(3) の計算を最初にやってから、分母を見れば (1) が得られるし、5 番目の成分だけを見て $k=1$ と代入すれば (2) が得られる。

線形写像

今日も、某質問サイトで見つけた問題。

(a) 任意の線型写像 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ に対して次を示せ. 

$f$ : 全射 $\iff$ $f$ : 単射

(b) 任意の線型写像$f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ に対して次を示せ.
$f$ : 全射 $\iff$ $f$ : 単射





(a) について, まずは以下の補題を証明する.

Lemma.1
$f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が線型写像のとき,
$f(\alpha)=0$ ならば $\alpha=0$ または $f(x)=0$ (恒等写像)である.

Proof of Lemma.1
$\forall\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ に対し, $f(\alpha)=0$ であるとすると,
$\forall\beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\exists k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, s.t. $\beta=k\alpha$ が成り立つ.
これより
$f(\beta)=f(k\alpha)=kf(\alpha)=0$
を得るので, $f(x)=0$ となる.


これを用いて (a) を証明する.

$f$ が全射であると仮定する.
このとき, $x_1$, $x_2 \in \mathbb{R}$ に対して $f(x_1)=f(x_2)$ であると仮定すると, $f$ は線型写像なので
$f(x_1) = f(x_2)$
$f(x_1)-f(x_2)=0$
$f(x_1-x_2)=0$
$f$ は全射であるので恒等写像ではない, よって
$x_1-x_2=0$
$x_1=x_2$
となるので $f$ は単射である.

$f$ が単射であると仮定する.
線型写像であるので, $f(0)=0$ である.
ここで, $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ とすると $f$ は単射であるので $f(x)\neq0$ である.
$f(x)=\alpha$ とすると, $\forall \beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ に対し $\exists k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ が存在し, $\beta=k\alpha$ となる.
これより, $\forall y\in\mathbb{R}$ に対し $\exists x\in\mathbb{R}$ が存在し, $f(x)=y$ が成り立つ.
よって $f$ は全射である.


(b) を証明する.

まず, $f$ が単射かつ線型写像のとき, $<\alpha_1, \alpha_2>=\mathbb{R}^2$  ならば $<f(\alpha_1), f(\alpha_2)>=\mathbb{R}^2$ である事を示す.

$f(\alpha_1)$, $f(\alpha_2) \in \mathbb{R}^2$ であるので, これらが一次独立であることを示す.
$k_1f(\alpha_1)+k_2f(\alpha_2)=0$ とすると, $f$ は線型写像なので
$f(k_1\alpha_1)+f(k_2\alpha_2)=0$
$f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)=0$
であり, $f$ は単射なので
$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0$,
$\alpha_1$, $\alpha_2$ は $\mathbb{R}^2$ の基底であるので一次独立, よって $k_1=k_2=0$ となるので $f(\alpha_1)$ と $f(\alpha_2)$ は一次独立である.
よって $f(\alpha_1)$, $f(\alpha_2)$ は基底である.

$\forall y\in\mathbb{R}^2=<f(\alpha_1), f(\alpha2)>$ とすると,
$\exists k_1$, $k_2\in\mathbb{R}$ が存在し,
$y=k_1f(\alpha_1)+k_2f(\alpha_2)$
と表すことができる.
$f$ は線型写像なので
$y=k_1f(\alpha_1)+k_2f(\alpha_2)$
$=f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)$
が成り立つ.
ここで $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\in<\alpha_1, \alpha_2>$ となるので, $f$ は全射である.


$f$ が全射であると仮定する.
すると, $(1, 0), (0, 1)\in\mathbb{R}^2$ に対し $f(\beta_1)=(1, 0)$, $f(\beta_2)=(0, 1)$ となる $\beta_1$, $\beta_2\in\mathbb{R}^2$ が存在する.
このとき, $<\beta_1, \beta_2>=\mathbb{R}^2$ であることを示す.

$k_1\beta_1+k_2\beta_2=0$ とすると, $f$ は線型写像なので
$f(k_1\beta_1+k_2\beta_2)=f(0)=0$
$k_1f(\beta_1)+k_2f(\beta_2)=0$
$(k_1, k_2)=(0, 0)$
であるので, $k_1=k_2=0$ を得るので, $\beta_1$, $\beta_2$ は一次独立である,
即ち $<\beta_1, \beta_2>=\mathbb{R}^2$ である.


Lemma.2
$f(\alpha)=0$ のとき, $\alpha=0$ である.

Proof of Lemma.2
$\alpha\in\mathbb{R}^2$ に対し, $f(\alpha)=0$ とする.
ある $k_1$, $k_2\in\mathbb{R}$ に対し $\alpha=k_1\beta_1+k_2\beta_2$ と表すことができる.
これより
$f(k_1\beta_1+k_2\beta_2)=0$
$k_1f(\beta_1)+k_2f(\beta_2)=0$
$(k_1, k_2)=(0, 0)$
となるので, $k_1=k_2=0$ である.
よって, $\alpha=0$ である.


$\alpha_1$, $\alpha_2\in\mathbb{R}^2$ に対し, $f(\alpha_1)=f(\alpha_2)$ が成り立つとすると,
$f(\alpha_1)-f(\alpha_2)=0$
$f(\alpha_1-\alpha_2)=0$
Lemma.2 より
$\alpha_1-\alpha_2=0$
$\alpha_1=\alpha_2$
を得る.
よって, $f$ は単射である.





なんか、大学生のときはコレくらいの証明はサラッとできてた気がするんだけど・・・
時間が経つと、忘れるものですね・・・

でも、久しぶりに線形代数とかやってみて、楽しかった。

ベクトルの内積とは

再度、某知恵袋で見つけた質問に対する私なりの解答。




ベクトルの内積の概念がわかりません、、、、
教えてください





確かに、ベクトルを学んでいるときに、突然内積が登場し、ただただ計算だけをしているような印象を受け、内積の正体が分かりにくい。
分かりにくいというよりも、大した説明が存在していない。

そこで、私なりの考えをまとめてみた。



まず、数学的な意味について。

高校数学において, 内積の定義は $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ とすると,
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$
と定義される.
ここから導かれる定理として, $\overrightarrow{a}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\overrightarrow{b}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ に対して
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\sum_{i=1}^na_ib_i$
が成り立つことが分かる.

ただし, 数学では実際には逆に考えることが多い.
凡人には想像しにくい $n$ 次元空間を考えるとき, その空間内の $2$ つのベクトルのなす角 $\theta$ を求める為に用いる.


$4$ 次元以上の空間なんて, 基本的には分かる人はほとんどいない...
超一流の研究者の中には $6$ 次元空間くらいまでは理解できる, って人もいるみたいですが...

$4$ 次元目は縦, 横, 高さの次は何ですか ?
なんて質問も飛んできそうですが, そもそもそんな考え方をしている時点で $4$ 次元空間を見ることができない.


あまり深い考え方をしないで, $n$ 次元空間というのは, 数学では座標の個数が $n$ 個ある, というだけである.
この高次元のベクトルに対して, なす角 $\theta$ を
$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$
で定義する.


このように定義することで, Kissing Number Problem などの高次元空間に関する問題を扱うことができるようになる.



また, 平面図形では三角比で学んだ余弦定理を, 計算のみで証明することができる.
$a^2= \mathrm{BC}^2$
$=(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})^2$
$=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}$
$= |\overrightarrow{c}|^2-2|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|\cos A+|\overrightarrow{b}|^2$
$=c^2-2bc\cos A+b^2$




数学的な意味というといろいろと考えられるが, 物理学的な意味合いも少し触れておく.

床に置かれた物体に $F$ (N) の力を加えて $s$ (m) 移動させたとき, その仕事 $W$ (J) は
$W=Fs$
で得られる.
だが, この``移動方向''と``力''の向きが異なるとき, 内積を用いて``向きを揃える''ことができるので, 計算が簡単になる.

数年ぶりの知恵袋

久しぶりにブログの更新をしたと思ったら、理由があり・・・

某質問サイトを久しぶりに見てたら、久しぶりに問題を解いてしまったので・・・

昔は $\LaTeX$ で解答を作成し、PDF に変換して fc2 の無料サーバにファイルを置いていたのですが、残念ながら、パスワードを忘れてしまったので、更新できず・・・
テキストで解答を書いても、なかなか見難い（醜い？？）解答になってしまうので、 $\LaTeX$ で解答を作っていたのに・・・

と思ったとき、このブログを思い出しました。
そういえば、 $\LaTeX$ のコマンドをそのまま使えるんだった！！


って事で、入試問題に飽きて放置していたこのブログを、久しぶりに使ってみようかと思います。





正の整数 $p$ に対し, $n=2014^p$ とおく. このとき, $n$ が「桁数 $20$ 以下で, 一の位の数が $4$」となるような $p$ を全て求めよ. なお, $\log_{10}2=0.30$, $\log_{10}19=1.28$, $\log_{10}53=1.72$ として計算せよ.





$2014^p$ について,
$2014^1 \equiv 4 \pmod{10}$
$2014^2 \equiv 6 \pmod{10}$
$2014^3 \equiv 4 \pmod{10}$
であるので,
$2014^p = \begin{cases}4 & (p \equiv 1\pmod2) \\6 & (p \equiv 0\pmod2) \end{cases}$
である.
これより, 題意を満たす $p$ は奇数である.

また, 題意より
$2014^p < 10^{20}$
両辺の常用対数を取ると
$\log_{10}2014^p < \log_{10}10^{20}$
$p < \frac{20}{\log_{10}2014} = \frac{20}{0.30+1.28+1.72} = \frac{20}{3.30} \doteqdot 6.0$
である.

以上より, $p=1, 3, 5$.





追記

この解答を作ってブログに投稿して、URL を貼ろうとしたら、質問が取り消されていた・・・