最小多項式

部活で使う団扇がある。
何の競技かは言わないが、タイムアウトをとったときに、選手を扇いだり、それ以外の時間でも暑いときは私が扇いだり・・・

って事で使ってるチームの団扇があるのだが、それがそろそろ限界になってるモノが多くて・・・

チームロゴを印刷した紙を貼ってるので、オリジナルの団扇なのだが、仰ぐ度にパカパカ音が鳴ったり、プラスチックの取手がそろそろ折れるのではないかと思えるものもあったり。


そんなわけで、最近になって作り変える為に動き出しました。
無料で貰ってきた団扇の紙を剥いで骨組みのみにして、そこに新しく貼り直して・・・

って考えていたのですが、そもそも団扇がない・・・


以前は家電量販店なんかに行けばいくらでも団扇を貰えたものなのですが、最近って、全然おいてないんですね・・・

って事で、部活の保護者に相談していたら、前保護者会長から「うち（の会社）にいっぱいあるよ」と。

そんな事で、大量に貰いました。

まだまだ普通に使えそうな、ちゃんとした団扇だったのですが、これは使えない、と。
某自動車メーカーの営業所長なのですが、昔に配っていた団扇なのですが、とあるタレントさんを起用していた時代のもので、そのタレントさんとの契約が切れた現在では、そのタレントさんの顔が写ってるこの団扇はもう配れない、とのこと。

そんなわけで、数えてみたら、５１枚の団扇をいただきました。
とりあえずは１５枚くらい作ってみて、残りは年々作っていくようにしようかな。

それにしても、団扇の紙を剥がす作業がメンドクサイ。
なんて思いながら、部活中に暇があったので、私も剥がしていたのですが・・・

なんか、他に使うことのない技術を覚えて、だいぶキレイに、効率的に剥がせるようになってしまいました。
ポイントは、表面（１枚目）は隙間にカッターナイフの刃を入れて、グリグリと捻りながら剥がしていく、裏面（２枚目）はカッターナイフで端っこを剥がしたら、あとは指で骨を押し下げて剥がしていく、という感じですね。

みなさんも、やるときがあったらお試しください。





話は変わって、今日は最小多項式の話。

Wikipedia:最小多項式_(体論)あたりを見るとちゃんと定義されているのだが、体論の話になっているので、ハッキリ言うと非常に分かりにくい・・・

って事で、高校レベルでも分かるように説明すると・・・

代数的数（有理数と、有理数に累乗根がついたものを足したりしたもの） $\alpha$ を代入して $0$ になる多項式のうち、最小次数で最高次係数が $1$ の多項式のことを $\alpha$ の最小多項式という。


こんなことを言われても・・・
って思うところなので、具体例で考えてみる。


$3$ の最小多項式は $x-3$ である。

$\frac35$ の最小多項式は $x-\frac35$ である。

$\sqrt2$ の最小多項式は $x^2-2$ である。


それで何なんだ、と言われそうであるが、以下の問題をみてみる。



$a=\frac{3-\sqrt5}{2}$ のとき, $a^3$, $a^4-2a^3-2a^2+5a+1$ の値を求めよ.
(2018 近畿大・理工, 薬, 工)



この問題を解く際に、最小多項式のことを知らないと、

$a^3=\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\right)^3$
$=\frac{(3-\sqrt5)^3}{8}$
$=\frac{27-27\sqrt5+45-5\sqrt5}{8}$
$=\frac{72-32\sqrt5}{8}$
$=9-4\sqrt5$

という力技で計算をし、更には

$a^4-2a^3-2a^2+5a+1$
$=\left(\frac{3-\sqrt5}2\right)^4-2\times\left(\frac{3-\sqrt5}2\right)^3-2\times\left(\frac{3-\sqrt5}2\right)^2+5\times\frac{3-\sqrt5}2+1$

となって、これを計算していくのだが・・・

ちょっと面倒くさいことになっている・・・

そこで、$a$ の最小多項式を求めてみる。

$a=\frac{3-\sqrt5}2$
$2a=3-\sqrt5$
$2a-3=-\sqrt5$
$(2a-3)^2=(-\sqrt5)^2$
$4a^2-12a+9=5$
$4a^2-12a+4=0$
$a^2-3a+1=0$

より、$a$ の最小多項式は $x^2-3x+1$ である。

今回、最小多項式自体は必要ないのだが、その手前で出てきた

$a^2-3a+1=0$

が非常に重要な式である。

この式から、

$a^2-3a+1=0$
$a^2=3a-1$
$a^3=3a^2-a$
$a^4=3a^3-a^2$

を得る。
これより,

$a^3=3a^2-a$
$=3(3a-1)-a$
$=8a-3$
$=8\times\frac{3-\sqrt5}{2}-3$
$= 12-4\sqrt3-3$
$= 9-4\sqrt3$

$a^4-2a^3-2a^2+5a+1$
$= 3a^3-a^2-2a^3-2a^2+5a+1$
$= a^3-3a^2+5a+1$
$= 3a^2-a-3a^2+5a+1$
$= 4a+1$
$= 4\times\frac{3-\sqrt5}2+1$
$= 6-2\sqrt5+1$
$= 7-2\sqrt5$

である。

もしくは、数学IIで学んだ割り算の筆算

\[
\begin{array}{rcrrrrr}
 & & a^2 & +a & & & \\
a^2-3a+1 & ) & a^4 & -2a^3 & -2a^2 & +5a & +1 \\
 & & a^4 & -3a^3 & +a^2 & & \\
 & & & a^3 & -3a^2 & +5a & \\
 & & & a^3 & -3a^2 & +a & \\
 & & & & & 4a & +1
\end{array}
\]
（Blogのシステムの都合上、部分的な横線が引けないので省略しています）

より、

$a^4-2a^3-2a^2+5a+1=(a^2-3a+1)(a^2+a)+4a+1$

である。
ここで、$a^2-3a+1=0$ であったので、

$a^4-2a^3-2a^2+5a+1=4a+1$
$= 4\times\frac{3-\sqrt5}2+1$
$= 7-2\sqrt5$

である。