指数の階乗と階乗の指数

夏休みも終わり、本日は全校集会。
そして４校時からは課題テストを３教科。
しかも、普段の授業の担当者をほぼそのまま試験監督に当ててるので、
私は午後の５、６校時に連続で試験監督になってました。


そんな試験が終わって、放課後はエクセルとにらめっこ。
本校は全国的にも珍しい、授業も２期制でやってます。
全国的にも、２期制の学校は多くなってきましたが、
それは３学期制のときと何が違うかというと、
「テストと始業式・終業式」が少なくなるだけ。
授業時間数を確保するために２期制にする、という学校も多いが、
本校は本当の２期制となっているのです。
つまり、前期だけの授業とか、後期だけの授業とかもあるのです。


って事で、教務としては色々と大変なのですが、
私が最も困っていることというと・・・


教務の担当なのですが、時間割を年２回も組む・・・


ただ組むだけでも面倒なのに、本校は普通科と工業科があり、
さらに科を跨っての習熟度で国数英の授業がありまして・・・

縦にまとめて入る習熟度の授業と、
横にまとめて入る工業科の実習系の授業があって・・・

もう、このパズルを年に２回もやるなんて・・・
しかも、後期の時間割を組むのは、休み期間中ではない・・・

って事で最近は、空き時間はずっとエクセルと、
カリキュラム表とのにらめっこです・・・




さて、今日は某質問サイトで見つけた問題について。
今回は知恵袋ではなく、quoraで見つけた問題です。


$2^{100!}$ と $2^{100}!$ の大小を判別せよ。


これを最初にみたとき、まず考えたのが、指数になっている問題なので、対数をとれば・・・

\begin{align*}
\log_a2^{100!} &= 100!\log_a2 & \log_a2^{100}! &= \cdots
\end{align*}

ところが、対数をとっても、そんなに簡単にはならなかった。
指数をとってからの階乗なので、対数をとっても・・・

って事で対数をとらずに調べてみることにした。



$2^{100}! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times \cdots \times (2^{100}-2) \times (2^{100}-1) \times 2^{100}$
$< 1 \times 2 \times 4 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 16 \times \cdots \times 2^{100} \times 2^{100} \times 2^{100}$
$= 1 \times 2^1 \times 4^2 \times 8^4 \times 16^8 \times \cdots \times (2^{99})^{2^{98}} \times (2^{100})^{2^{99}}$
$= 1 \times 2^{1\times2^0} \times 2^{2\times2^1} \times 2^{3\times2^2} \times 2^{4\times2^3} \times \cdots \times 2^{99\times2^{98}} \times 2^{100\times2^{99}}$
$= 2^{1 \times 2^0 + 2 \times 2^1 + 3 \times 2^2 + 4 \times 2^3 + \cdots + 99 \times 2^{98} + 100 \times 2^{99}} = (*)$

ここで,
$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k2^{k-1}$
とおくと,
$
\begin{array}{rcrrrrrrr}
S & = & 1 \times 2^0 & + 2 \times 2^1 & + 3 \times 2^2 & + \cdots & + 99 \times 2^{98} & + 100 \times 2^{99} & \\
-) 2S & = & & 1 \times 2^1 & + 2 \times 2^2 & + \cdots & + 98 \times 2^{98} & + 99 \times 2^{99} & + 100 \times 2^{100} \\
\hline
-S & = & 2^0 & + 2^1 & + 2^2 & +\cdots & + 2^{98} & + 2^{99} & -100 \times 2^{100}
\end{array}
$
$-S = 2^{100}-1 - 100\times2^{100}$
$S = 99 \times 2^{100}+1$
であるので,
$(*) = 2^{99 \times 2^{100}+1}$
$< 2^{128 \times 2^{100}}$
$= 2^{2^7 \times 2^{100}}$
$= 2^{2^{107}}$.


同様に,
$100! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times \cdots \times 63 \times 64 \times \cdots \times 100$
$> 1 \times 2 \times 2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^3 \times 2^3 \times \cdots \times 2^5 \times 2^6 \times \cdots \times 2^6$
$= 1 \times 2^{1\times2^1} \times 2^{2\times2^2} \times 2^{3\times2^3} \times 2^{4\times2^4} \times 2^{5\times2^5} \times 2^{6\times37}$
$= 2^{480}$
である.

以上より,
$2^{100}! < 2^{2^{107}} < 2^{2^{480}} < 2^{100!}$
である.