東京大学（理系・２０２０）第１問

休校が明けて、授業が始まりました。

そんなわけで、今までの堕落した生活リズムが崩れていたところから無理やり戻したためか、とんでもないことに・・・



休校期間に作った糠床を最近混ぜ忘れて・・・



御臨終となってしまいました・・・



こんなに早い期間で糠床をやっちまったのは、流石にショックで・・・



仕方がないので、じゃがいもと玉ねぎを丸のまま圧力鍋で煮付けてやりました。

それはいいとして、もう一度、糠床を作り直しますか・・・





久しぶりに、入試問題。

まずは、やるとしたらここでしょう。

東京大学、そう、私の母校・・・でも何でもないですが、とりあえずは例年通り、東京大学の入試問題の第 1 問から。





$a$, $b$, $c$, $p$ を実数とする. 不等式
$ax^2+bx+c>0$
$bx^2+cx+a>0$
$cx^2+ax+b>0$
をすべて満たす実数 $x$ の集合と, $x>p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする.
(1) $a$, $b$, $c$ はすべて $0$ 以上であることを示せ.
(2) $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ 個は $0$ であることを示せ.
(3) $p=0$であることを示せ.




(1) $a<0$ であると仮定すると, $y=ax^2+bx+c$ のグラフは上に凸の放物線となる. すると,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(ax^2+bx+c)=-\infty$
であるので, どのような実数 $p$ に対しても $x>p$ を満たすような範囲で十分大きな $x$ に対して $ax^2+bx+c>0$ が成り立たない. 故に $a\ge0$ である.
同様に, $b\ge0$, $c\ge0$ が成り立つ${}_{\square}$

(2) $a>0$, $b>0$, $c>0$ と仮定する. $ax^2+bx+c>0$ の解は, $b^2-4ac\ge0$ のときは $x<\alpha_1$, $\beta_1<x$ ($\alpha_1\le\beta_1$)と表すことができ, $b^2-4ac<0$ のときはすべての実数である.
同様に, $bx^2+cx+a>0$ の解は $x<\alpha_2$, $\beta_2<x$ またはすべての実数, $cx^2+ax+b>0$ の解は $x<\alpha_3$, $\beta_3<x$ またはすべての実数である.

$3$ つの $2$ 次不等式すべての解が“すべての実数”であるとき, $3$ つの不等式をすべて満たす実数 $x$ の集合は実数全体となるので不適.
$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ の中で存在するものの最小値を $\alpha$ とすると, $x<\alpha$ でも全ての不等式を満たすので不適.

以上より, $a>0$, $b>0$, $c>0$ ではないことが分かる. (1) より $a$, $b$, $c$ はすべて $0$ 以上であるので, $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ 個は $0$ である${}_{\square}$

(3) (2) より, $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも $1$ つは $0$ である. $a$, $b$, $c$ には対象性があるので, $c=0$ としても一般性を失わない.
$c=0$ とすると, $3$ つの不等式は
$ax^2+bx>0$
$bx^2+a>0$
$ax+b>0$
と表される.

第 $1$ 式より
$ax^2+bx>0$
$ax\left(x+\dfrac{b}{a}\right)>0$
$x<-\dfrac{b}{a}$, $0<x$.

第 $2$ 式より
$bx^2+a>0$
$bx^2>-a$
$x^2>-\dfrac{a}{b}$
$-\dfrac{a}{b}<0$ より, 解はすべての実数.

第 $3$ 式より
$ax+b>0$
$ax>-b$
$x>-\dfrac{b}{a}$

以上より, 共通解は $x>0$ であるので, $p=0$ である${}_{\square}$