授業で出題した問題（平日課題 No.05）

前回書いた通り、 Yodobashi さんで SIM フリーの iPhone SE を購入し、Rakuten UN-LIMIT に申し込みをしました。

最初に au の携帯電話から、 MNP 予約番号受付窓口の 0077-75470 に電話をかけて、予約番号を発行してもらう・・・のですが、全然つながらない・・・

新型コロナの関係でショップの窓口での受付を減らして、コールセンターへの出勤も減らしているからか、非常に繋がりにくい状況になっていました。電話をかけて、１０分を超えても繋がらない・・・

そんな状態で、問題が発生しました。前回も書いた通り、使っているガラケーは１０年以上前に発売された、 CA004 です。当然もう、バッテリーは限界になっています。そんな状態で、 Bluetooth でヘッドセットを繋いで（保留中に流れる）音楽を聞いていたら、そりゃあバッテリーも切れますよ。

そんなわけで、急遽枕元から電源コードを持ってきて繋いだ・・・のだが、もう既に手遅れ、電源が落ちていました。保留状態で、２０分くらい待ってたのに・・・


改めて電源を入れてからもう一度電話をする。結局、３０分待ってようやく電話が繋がりました。で、本人確認をしてから、 MNP 予約番号発行の担当に繋いぐ為に・・・また、保留音楽が・・・

まあ、今度は５分くらいで繋がりました。で、発行された 10 桁の予約番号を電話越しに聞いて、それをメモする。聞き間違えて、１回書き直す。そんな苦労をしたのに・・・電話の後で届いた C メールに、全部しっかりと書いてあったんですが・・・


そんな苦労（？）も乗り越えて、 Rakuten UN-LIMIT の申し込みも無事に完了しました。ということで、（詳しく分かりませんが）数時間なのか数日なのか、 au （090 から始まる方）の番号が繋がらなくなりますが・・・気にしないでください。







今回は不定方程式の別パターンの問題。ノーヒントで、しかも初見でこれを解けるかといえば恐らく無理なので、穴埋めにして、たいぶ丁寧な誘導をつけての出題。




不定方程式 $3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める.
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4$ を因数分解しようとしても, 上手くいかない. そこで, 定数項を調整して, 因数分解することを考える.
(1) $3x^2+5xy+2y^2=(x+y)([ア]x+[イ]y)$ である.
これより, 因数分解をした結果が $(x+y+m)([ア]x+[イ]y+n)$ であるとすると, 展開式の $x$, $y$ の係数より, 連立方程式
$\begin{cases}
[ア]m+n=[ウ] \\
[イ]m+n=[エ]
\end{cases}$
が成り立つ. これを解いて $m$, $n$ の値を求めることで,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])-[キ]$
である.

(2) (1) より, 与えられた不定方程式は
$(x+y+[オ])([ア]x+[イ]y-[カ])=[キ]$

である. $[キ]$ は素数であるので, 

$x+y+[オ]=1$ 

$[ア]x+[イ]y-[カ]=[キ]$ 

$x+y+[オ]=[キ]$ 

$[ア]x+[イ]y-[カ]=1$ 

$x+y+[オ]=-1$ 

$[ア]x+[イ]y-[カ]=-[キ]$ 

$x+y+[オ]=-[キ]$ 

$[ア]x+[イ]y-[カ]=-1$ 

の $4$ パターンが考えられる. それぞれを解いて, $4$ 組の解が得られ, $y$ の値が大きい順に並べると,
$(x, y)=([ク], [ケコ]), ([サ], [シス]), ([セ], [ソタ]), ([チ], [ツテト])$
である.

（何故かシステムの都合上, $4$ パターンの連立方程式がちゃんと表記できなくなったので, $2$ 本の式を並べただけになっている）





因数分解は特に問題ないと思う.
$3x^2+5xy+2y^2 = (x+y)(3x+2y)$
これより,
$(x+y+m)(3x+2y+n) = 3x^2+5xy+2y^2+(3m+n)x+(2m+n)y+mn$
であるので, $x$, $y$ の係数より連立方程式
$3m+n=5$
$2m+n=3$
た成り立つ. これを解いて, $m=2$, $n=-1$ を得る. よって,
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-4=0$
$3x^2+5xy+2y^2+5x+3y-2=2$
$(x+y+2)(3x+2y-1)=2$
である. この右辺の $2$ は素数であるので,

$x+y+2=1$
$3x+2y-1=2$

$x+y+2=2$
$3x+2y-1=1$

$x+y+2=-1$
$3x+2y-1=-2$

$x+y+2=-2$
$3x+2y-1=-1$

の $4$ パターンがあり得る.
これらそれぞれを解くと,
$(x, y)=(5, -6)$, $(2, -2)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
であるので, $y$ の値が大きい順に並べると
$(x, y)=(2, -2)$, $(5, -6)$, $(5, -8)$, $(8, -12)$
である.