先週、 iPhone SE(2020) を注文しました。
またぁ、直ぐにそんな新しいモノを買ってる・・・
なんて思われそうですが、そもそも iPhone の新品を買うのは初めてです。
約 4 年前、リーフを購入した際に、NissanConnect EVアプリを使うためにはスマホが必要になりました。でも、当時使っていたのは、２台ともガラケーでした。
で、どっちかをスマホにしようかと思ったのですが・・当時使っていた au にしても Y!mobile にしっても、スマホにすると月額料金がとっても高くなってしまう。そんなわけで、色々と調べたり、周囲に相談した結果、 mineo にしてみるのが良さそう、って事で・・・
ガラケー２台はそのまま保持し、 mineo のデータ専用プランで、 iPhone を使おう、と。
そんなわけで、次に iPhone 探しを。目的とするアプリは前述の EV アプリのみなので、まあ何でもいいや、という考えが基準ですので・・・オフハウスで、 iPhone5c を購入しました。mineo の SIM が届いてから、設定は自分でしなくてはなりませんでしたが、それでも問題なく使っていました。
それから１年半後、困ったことが起こりました。
NPO の活動で埼玉県に行く前日に、 iPhone が SIM カードを認識しなくなりました。行った先で、 LINE や Facebook などの連絡手段が使えない、という困った事態に。そんなわけで、仕方ないので帰ってきてからオフハウス巡りを。３軒廻ったところで、 iPhone 6 を発見、購入。 SIM カードを挿し替えて、無事に復活しました。因みに、 LINE 等の引き継ぎも、端末事態が壊れたわけではなかったので、無事に出来ました。
そんな中古で購入した 2 台目の iPhone も、使い始めて 2 年 3 ヶ月を越えました。まあ、まだまだ問題なく使えているのですが、何で iPhone を新しく購入したのかと言うと・・・
au のガラケーが、そろそろ限界を迎えそうで・・・
今使っている au のガラケーは、 2009 年発売の CA004 です。つまり、もう使い始めて 10 年を超えているのです。ここ 1 年くらいはバッテリーの持ちが悪くなってきたのですが、最近はそれ以上に気になるのが、気がついたら起動画面になっている・・・
で、機種変を考えて何度か au ショップに行ったのですが、どの機種に変更しても、月額料金が 5,000 円超えになってしまうという・・・
ところが、 iPhone SE(2020) が発売されることになり、端末料金が格安に。これなら、あまりお金をかけずに機種変出来るのではないか、ということで・・・
で、色々と調べたりしてみました。前提として、 au で使っている番号をそのまま使い続けます。
プラン 1
au で iPhone SE に機種変をする。現在、ガラケーを使っていることもあり、 2022 年に 3G の電波が停波してしまうので、機種変を促すための割引もある。だが、それにしても機種変後の月額料金が高い・・・
プラン 2
たまに家電量販店でやっている、ガラケーからの MNP での割引キャンペーンを利用する。と言っても、何もやっていないときだったので、これは無理でした。
そんなとき、新しい条件が追加されました。そう、 Rakuten UN-LIMIT です。もちろん、田舎に住んでいるので、楽天回線なんて縁もありませんが、それでも au の回線を 1 Mbps で使い放題というのは美味しいですよね。しかも、 300 万名対象で、 1 年間無料になる、ということ。 MNP で、楽天に乗り換えちゃいましょう。
プラン 3
au で iPhone SE に機種変し、 SIM ロック解除し、楽天に MNP をする。次のプラン 4 と比較してもこれがだいぶ安く済みそうだったのですが、問題が 1 つありまして・・・ au ショップで聞いたら、端末が取り寄せで、どれくらいかかるかも分からない、と。
プラン 4
もう仕方ないので SIM フリーの iPhone SE を購入し、ガラケーの番号を MNP して楽天の SIM を iPhone SE で使う。
そんなわけで、困ったときの Yodobashi さんで、 SIM フリー版を購入しました。お金が心配だったので、全額をポイントで支払いましたが。
今回も授業で出題した、週末課題 No.05 の解説。ユークリッドの互除法を使う問題ですが、本質をちゃんと理解しているのかを問う問題。
次の問に答えよ.
(1) $4403$ と $5291$ の最大公約数を求めよ.
(2) $n$ を自然数とする. $n^3+n^2+3$ と $n^2-1$ の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ.
(3) $a$, $b$ を互いに素な整数とする. このとき, $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ が既約分数であることを示せ.
(1) は普通にユークリッドの互除法を使う問題.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 4 + 851$
$888 = 851 \times 1 + 37$
$851 = 37 \times 23$
より, 最大公約数は $37$.
特に必要ではないが, 週末課題 No.04 の解説でも書いた通り, 余りをマイナスまで含めて半分の範囲で抑える, 高速ユークリッドの互除法を使うこともできる.
$5291 = 4403 \times 1 + 888$
$4403 = 888 \times 5 - 37$
$888 = 37 \times 24$
より, 最大公約数は $37$.
(2) の前に, ユークリッドの互除法とは何をしているのかを復習する.
Theorem.1
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $\gcd(a, b)=\gcd(b, b-a)$ が成り立つ.
(Proof)
$\gcd(a, b)=d_1$ とすると, 互いに素な整数 $a_1$, $b_1$ が存在し,
$a=a_1d_1$, $b=b_1d_1$
と表すことができる. これより,
$b-a = b_1d_1-a_1d_1 = d_1(b_1-a_1)$
が成り立つ. $b_1-a_1$ は整数なので, $\gcd(b, b-a)$ は $d_1$ の倍数である.
$\gcd(b, b-a)=d_2$ とすると, 互いに素な整数 $a_2$, $b_2$ が存在し,
$b=b_2d_2$, $b-a=a_2d_2$
と表すことができる. これより,
$a = b-(b-a) = b_2d_2-a_2d_2 = d_2(b_2-a_2)$
が成り立つ. $b_2-a_2$ は整数なので, $\gcd(a, b)$ は $d_2$ の倍数である.
以上より, $\gcd(a, b)$ と $\gcd(b, b-a)$ は互いに倍数になっているので, 等しい${}_{\square}$
この Theorem.1 から即座に得られるものとして, 次の Corollary がある.
Corollary.2
任意の整数 $a$, $b$ に対し, $a$ を $b$ で割ったときの商を $q$, 余りを $r$ ($0\le r<b$) とすると, $\gcd(a, b)=\gcd(b, r)$ が成り立つ.
(Proof)
定義より $\gcd(x, y)=\gcd(y, x)$, $\gcd(x, y)=\gcd(x, -y)$ であることは明らかであろう. これと Theorem.1 より,
$\gcd(x, y)=\gcd(y, x)=\gcd(x, x-y)=\gcd(x, y-x)$
が成り立つ. これを繰り返し用いることで,
$\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$
$=\gcd(b, a-b)$
$=\gcd(b, a-2b)$
$=\cdots$
$=\gcd(b, a-bq)$
$=\gcd(b, r)$
より成り立つ${}_{\square}$
この Corollary.2 を繰り返し用いて,
$\gcd(5291, 4403) = \gcd(4403, 888) = \gcd(888, 851) = \gcd(851, 37)$
であり, $852$ は $37$ の倍数なので $\gcd(851, 37)=37$ であることが分かる. よって, $\gcd(5291, 4403)=37$ である.
というのが (1) の解答であり, このようにして最大公約数を求める algorithm が, ユークリッドの互除法である.
で, ようやく (2) の解説に.
$n^3+n^2+3 = (n^2-1)(n+1)+(n+4)$
$n^2-1 = (n+4)(n-4)+15$
であるので, 最大公約数は $15$... ではない.
前述の通り, Corollary.2 を用いることで, この計算で分かったことは
$\gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n+4, 15)$
である, ということ.
$n+4$ と $15$ の最大公約数, ということは, $15$ の約数なので, $1$, $3$, $5$, $15$ の $4$ つである... というのも, 答えは合っているが, 解答としては不十分.
ここまでの議論では, 必要条件を求めただけで, 十分条件は分かっていない.
必要条件・十分条件とか出てくると, もうわけが分からなくなる人も多いが,
この計算から分かったことは, 最大公約数は $15$ の約数である必要がある, ということ.
例えば, $\gcd(3n-1, 15)$ となった場合, この最大公約数はいくつか.
$15$ の約数である必要があるが, 前述の $4$ つすべてがなるかというと, そうではない.
$
\begin{array}{c|c|c}
n & 3n-1 & \gcd(3n-1, 15) \\
\hline
1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 5 \\
3 & 8 & 1 \\
4 & 11 & 1 \\
5 & 14 & 1
\end{array}
$
より, 最大公約数として取りうる値は $1$, $5$ である.
というように, 候補の値がすべて最大公約数になるかを確認する, 即ち十分であるかを確認する必要がある.
実際, $n=3$, $2$, $1$, $11$ のとき,
$\gcd(n+4, 15) = 1$, $3$, $5$, $15$
であるので, 最大公約数として考えられる数は $1$, $3$, $5$, $15$ である.
まあ, $n$ の係数が $1$ であることを指摘すれば, 具体的に考える必要もないのだが...
ちなみに, 数学 IA までしかやってないので整式の割り算が分からない, という場合でも,
Corollary.2 ではなく Theorem.1 を用いることで同様の結果を得ることができる.
$(n^3+n^2+3)-n(n^2-1)=n^2+n+3$
$\Longrightarrow \gcd(n^3+n^2+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n^2+n+3)$
$(n^2+n+3)-(n^2-1)=n+4$
$\Longrightarrow \gcd(n^2+n+3, n^2-1) = \gcd(n^2-1, n+4)$
$(n^2-1)-n(n+4)=-4n-1$
$\Longrightarrow \gcd(n^2-1, n+4) = \gcd(n+4, -4n-1)$
$(-4n-1)+4(n+4)=15$
$\Longrightarrow \gcd(-4n-1, n+4) = \gcd(n+4, 15)$
(3) 「既約分数である $\iff$ 分子と分母の最大公約数が $1$」
であることが分かっているかどうかの問題でしょう.
あとは, (2) でも用いた内容になりますね.
今回は Corollary.2 というよりは Theorem.1 の方が分かりやすいかも知れません.
(Proof)
$\gcd(4a+9b, 3a+7b)=\gcd(3a+7b, a+2b)=\gcd(a+2b, b)=\gcd(b, a)$
であり, 仮定より
$\gcd(a, b)=1$
であるので $\gcd(4a+9b, 3a+7b)=1$, 即ち $\dfrac{4a+9b}{3a+7b}$ は既約分数である${}_{\square}$
0 件のコメント:
コメントを投稿