2020日本数学オリンピック予選 第２問

昨日も書いたのだが、最近、眠気が取れない。
一応、夜には寝ているのだが、睡眠が浅いのか・・・

で、色々と考えてみたのだが、朝起きれない原因の１つは・・・


昨年１１月から、日本テレビのZIP!の、ZIP!deポン!のルールが変更になった。

変更前　
１日３回（６：２５、６：５０、７：５０）
２週間で２０ポイント

変更後
１日２回（６：２５、６：３０以降随時）
２週間で１０ポイント

変更前は、７：５０は出勤中なので得点できないが、１日２回のチャンスがあり、全てハズレても２週間の皆勤で応募ができるようになっていた。

ところが変更後は、１日２回のチャンスがあって、応募までのポイントが半分になった。そうなっては、皆勤を目指す必要がなくなってしまい、それで朝、起きれなくなってきたのでは・・・

なんて、恐らくは因果律はないのですが、それでも精神的にはこれが原因の１つな気がする。





さて、今日の仕事終わりから埼玉県和光市に向かいます。ニッポン全国鍋グランプリ２０２０への参戦の為です。昨年から何故か西日本との隔年開催となり、昨年は姫路開催になってしまい、そんな遠いところまで行けるか！！って事で参加を見送ったので、２年ぶりの参戦です。

某情報番組でもオススメとして紹介された、我々の最上の納豆汁をご賞味ください！！来場をお待ちしております！！





今回も数学オリンピックの日本予選の問題です。

２０２０日本数学オリンピック予選　第１問はこちら

このブログでも通常は、教科書等の記載に合わせて、点や直線なんかは、点 P とか直線 AB といったようにすべて立体で書いているのだが、数オリの問題はすべて斜体で点 $P$ とか直線 $AB$ になっているので、ここでもそれに合わせて斜体で記載します。


一辺の長さが $1$ の正六角形 $ABCDEF$ があり, 線分 $AB$ の中点を $G$ とする. 正六角形の内部に点 $H$ をとったところ, 三角形 $CGH$ は正三角形となった. このとき三角形 $EFG$ の面積を求めよ.



正六角形って事は、分割したら正三角形 $6$ 個の正三角形になる...
正三角形と正三角形が $1$ つの頂点で重なっている...
なんか, 内容としては, 高校入試で昔出てたような内容に...

って事で, とりあえず $6$ 個の正三角形で分割してみると...


$\triangle GBC$ と $\triangle HOC$ について,

$\triangle BCO$ は正三角形なので $BC=OC$, $\angle\ BCO=60^\circ$,

$\triangle GCH$ は正三角形なので $GC=GC$, $\angle\ GCH=60^\circ$,

\begin{align*}
\angle BCO &= \angle GCH \\
\angle BCG + \angle GCO &= \angle GCO + \angle OCH \\
\angle BOG &= \angle OCH
\end{align*}

以上より, $2$ 辺とその間の角がそれぞれ等しいので
$\triangle GBC \equiv \triangle HOC$ である.

よって, $H$ は線分 $OE$ の中点なので, 求める面積を $S$ とすると
\begin{align*}
S &= \frac12 \times HE \times FH \\
&= \frac12 \times \frac12 \times \frac{\sqrt3}2 \\
&= \frac{\sqrt3}8.
\end{align*}