昨年末からの風邪が、まだ治らない・・・
なのに、主要教科、っていうだけの理由で、明らかに仕事量が多すぎる・・・
文科省の方針で、学びの基礎診断なるものが導入されることになりそう。
だから本校も、リクルートと契約しているので、学びの活用力診断をやろう。
そのためにも、授業で数時間かけて過去問を解説しなさい。
なんて流れで、年末に国数英の３教科だけ、数時間の授業を使われて・・・
更にそれとは別に、冬休み課題をスタディサプリで配信して、
課題テストは以前やった到達度テストをコピーしてやらせる。
その採点は当然、国数英の授業担当者がやるしかないでしょ。
ってな感じで、仕事をガッツリ増やされて、授業準備もままならず、
そんな中で本校の入試に向けての仕事もどんどん割り振られて・・・
風邪って、治せないもんなんですね。
前回書いた, オリジナルの $2020$ に関する問題について, もう少し考えてみる.
前回の通り, 偶数の場合は平方したら $4$ の倍数, 奇数の場合は平方したら $4$ で割ると $1$ 余る数になる.
これと同様に, 他の数で割ったときのことを考えてみる.
$3$ で割るとき,
\begin{align*}
(3k)^2 &= 3 \times 3k^2 \\
(3k+1)^2 &= 3(3k^2+2k)+1 \\
(3k+2)^2 &= 3(3k^2+4k+1)+1
\end{align*}
であるので, $3$ の倍数のときは $3$ の倍数になるし, そうでないときは $1$ 余る数になる.
ここの計算も,
\begin{align*}
(3k\pm1)^2 &= 3(3k^2\pm2k)+1
\end{align*}
とした方が, $2$ つの場合をまとめて計算できる, ってのもポイントですね.
$5$ で割るとき,
\begin{align*}
(5k)^2 &= 5 \times 5k^2 \\
(5k\pm1)^2 &= 5(5k^2\pm2k)+1 \\
(5k\pm2)^2 &= 5(5k^2\pm4k)+4
\end{align*}
より, 割り切れるか, 余りが $1$ または $4$ である.
この $5$ で割ったときを使ったのが,
2018 年の問題の解答例だったのですが.
ここらへんを用いて, 解の存在をもっと絞れないものか.
前回の解答例から,
(a-i) $2$ を含むとき $4k+1$ 個
(a-ii) $2$ を含まないとき $4k$ 個
である.
\begin{align*}
2020 &= 3 \times 673 + 1
\end{align*}
であるので,
(b-i) $2$ を含むとき $1$ 個, または $3l+2$ 個
(b-ii) $2$ を含まないが $3$ を含むとき $3l+2$ 個
(b-iii) $3$ を含まないとき $3l+1$ 個
である.
\begin{align*}
2020 &= 5 \times 404
\end{align*}
であるので... と考えたのだが, $5$ の倍数でないときについては.
$1$ 余るときと $4$ 余るときが不規則に並んでいる
（本当にそうなのか？という疑問の答は Riemann 予想にある？）
ので, なんとも扱いづらい.
同様に, $7$ で割ったときの余りも, $1$, $4$, $2$ が
不規則に並んでいそうなので, 恐らくは使えないであろう.
以上より, $2$ と $3$ の場合で考察していく.
(i) $2$ を含むとき, $4k+1$ 個なのだが, $k=0$, すなわち
$1$ 個の場合は成り立たないので, $3$ も含むことになる.
これより,
\begin{align*}
4k+1 &= 3l+2 \\
4k-3l &= 1
\end{align*}
である.
ここで $k$, $l$ は整数であるので, 不定方程式の問題である.
特殊解 $(k, l)=(1, 1)$ を得るので,
\begin{align*}
4(k-1)-3(l-1) &= 0 \\
4(k-1) &= 3(l-1)
\end{align*}
であり, これは $4$ と $3$ の公倍数である.
よって, $12m$ と表すことができるので,
\begin{align*}
4(k-1) &= 12m & 3(l-1) &= 12m \\
k-1 &= 3m & l-1 &= 4m \\
k &= 3m+1 & l &= 4m+1
\end{align*}
すなわち
\begin{align*}
4(3m+1)+1 &= 12m+5
\end{align*}
より, $12m+5$ 個の平方の和である.
(ii) $2$ を含まないが $3$ を含むとき,
\begin{align*}
4k &= 3l+2 \\
4k-3l &= 2
\end{align*}
である.
(i) と同様に,
\begin{align*}
4(k-2) &= 3(l-2)
\end{align*}
であり, これが $12$ の倍数なので
\begin{align*}
k &= 3m+2 & l &= 4m+2
\end{align*}
すなわち
\begin{align*}
4(3m+2) &= 12m+8
\end{align*}
より $12m+8$ 個の平方の和である.
(iii) $3$ を含まないとき,
\begin{align*}
4k &= 3l+1 \\
4k-3l &= 1
\end{align*}
である.
これは (i) と同じ不定方程式なので,
\begin{align*}
k &= 3m+1 & l &= 4m+1
\end{align*}
すなわち
\begin{align*}
4(3m+1) &= 12m+4
\end{align*}
より $12m+4$ 個の平方の和である.
まとめると,
(i) $2$ を含むとき, $12m+5$ 個の平方の和
(ii) $2$ を含まず $3$ を含むとき, $12m+8$ 個の平方の和
(iii) $3$ を含まないとき, $12m+4$ 個の平方の和
であることが分かった.
また,
\begin{align*}
2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+29^2 &= 2397 > 2020
\end{align*}
より, $10$ 個以上の和では必ず $2020$ を超えるので,
求める素数の組は $9$ 個以下の組であることが分かる.
すなわち, どの場合も $m=0$ であることが分かる.
以上より,
(i) $2$ を含む $5$ 個のとき,
\begin{align*}
2^2+3^2+5^2+7^2+11^2 &= 208
\end{align*}
より不適.
(ii) $2$ を含まず $3$ を含むとき,
\begin{align*}
3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2 &= 1552
\end{align*}
より不適.
(iii) $3$ を含まないとき,
前回と同様に $(17, 19, 23, 29)$ を得る.
以上より, $(17, 19, 23, 29)$ のみである.
