大型連休３日目。
いよいよやる事がなくなってきて・・・
結局、Prime Video を観ているだけで１日を過ごしているような・・・
「ぷっすま」をずっと観ていた世代（？）なので、「なぎスケ」を観始めたらもう止まらなくなってしまいまして・・・
途中で昼寝１時間を挟んで、合計５時間くらい観てた気が・・・
本当に、やる事がないってだけで、家にいなくちゃいけないのがこんなに苦痛になるとは・・・
まあ、１年前もそんな感じでしたけどね・・・
動画を観る、料理をする、食べる、寝る・・・
でも、毎日１問ずつ問題を解いているので、まだ有意義な生活になっている・・・と思うようにしています。
そんなわけで、今日は東京大学の３問目。
関数
$f(x) = \dfrac{x}{x^2+3}$
に対して, $y=f(x)$ のグラフを $C$ とする. 点 $A(1, f(1))$ における $C$ の接線を
$l : y = g(x)$
とする.
(1) $C$ と $l$ の共有点で $A$ と異なるものがただ $1$ つ存在することを示し, その点の $x$ 座標を求めよ.
(2) (1) で求めた共有点の $x$ 座標を $\alpha$ とする. 定積分
$\displaystyle\int_{\alpha}^1\{f(x)-g(x)\}^2dx$
を計算せよ.
(1) $f(x)$ を $x$ で微分すると,
$f'(x) = \dfrac{(x^2+3)-x\times2x}{(x^2+3)^2}$
$= \dfrac{-x^2+3}{(x^2+3)^2}$
であるので, $l$ の方程式は
$y-f(1) = f'(1)(x-1)$
$y-\dfrac{1}{1^2+3} = \dfrac{-1^2+3}{(1^2+3)^2}(x-1)$
$y = \dfrac{2}{16}(x-1)+\dfrac14$
$y = \dfrac18(x+1)$
である.
これより,
$\dfrac{x}{x^2+3} = \dfrac18(x+1)$
$8x = (x+1)(x^2+3)$
$x^3+x^2-5x+3 = 0$
$(x-1)^2(x+3) = 0$
より, 点 $A$ と異なる共有点 $\left(-3, -\dfrac14\right)$ がただ $1$ つ存在する.
(2) 求める定積分を $I$ とおく.
$I = \displaystyle\int_{-3}^1\{f(x)-g(x)\}^2dx$
$= \displaystyle\int_{-3}^1\{f(x)\}^2dx-2\int_{-3}^1f(x)g(x)dx+\int_{-3}^1\{g(x)\}^2dx$
である.
ここで, $I_1=\displaystyle\int_{-3}^1\{f(x)\}^2dx$, $I_2=\displaystyle\int_{-3}^1f(x)g(x)dx$, $I_3=\displaystyle\int_{-3}^1\{g(x)\}^2dx$ とおき, それぞれを求める.
$I_1 = \displaystyle\int_{-3}^1\left(\dfrac{x}{x^2+3}\right)^2dx$
$= \displaystyle\int_{-3}^1\dfrac{x^2}{(x^2+3)^2}dx$
$x=\sqrt3\tan\theta$ とおくと,
$\dfrac{dx}{d\theta} = \dfrac{\sqrt3}{\cos^2\theta}$,
であるので,
$I_1 = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\dfrac{\tan^2\theta}{9(1+\tan^2\theta)^2}\times\dfrac{\sqrt3}{\cos^2\theta}d\theta$
$= \dfrac{1}{\sqrt3}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\dfrac{\tan^2\theta\cos^4\theta}{\cos^2\theta}d\theta$
$= \dfrac{1}{\sqrt3}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\sin^2\theta d\theta$
$= \dfrac{1}{2\sqrt3}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}(1-\cos2\theta)d\theta$
$= \dfrac{1}{2\sqrt3}\biggl[\theta-\dfrac12\sin2\theta\biggr]_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}$
$= \dfrac{1}{2\sqrt3}\left\{\dfrac{\pi}6-\dfrac12 \times\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac{\pi}3+\dfrac12\times\left(-\dfrac{\sqrt3}2\right)\right\}$
$= \dfrac{1}{2\sqrt3}\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$
$= \dfrac{\sqrt3}{12}\pi-\dfrac{1}{4}$,
$I_2 = \displaystyle\int_{-3}^1\dfrac{x}{x^2+3}\times\dfrac18(x+1)dx$
$= \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{-3}^{1}\dfrac{x^2+x}{x^2+3}dx$
$= \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{-3}^{1}\left(\dfrac{x^2+3}{x^2+3}+\dfrac{x-3}{x^2+3}\right)dx$
$= \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{-3}^{1}\left(1+\dfrac{x-3}{x^2+3}\right)dx$
$= \dfrac12+\dfrac18\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\dfrac{\sqrt3(\tan\theta-\sqrt3)}{3(\tan^2\theta+1)}\times\dfrac{\sqrt3}{\cos^2\theta}d\theta$
$= \dfrac12+\dfrac18\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}(\tan\theta-\sqrt3)d\theta$
$= \dfrac12+\dfrac18\biggl[-\log_e|\cos\theta|-\sqrt3\theta\biggr]_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}$
$= \dfrac12+\dfrac18\left\{-\log_e\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)-\dfrac{\sqrt3}{6}\pi+\log_e\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}3\pi\right\}$
$= \dfrac12+\dfrac18\left\{\log_e\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)-\dfrac{\sqrt3}{2}\pi\right\}$
$= \dfrac12-\dfrac1{16}\log_e3-\dfrac{\sqrt3}{16}\pi$,
$I_3 = \displaystyle\int_{-3}^1\left\{\dfrac18(x+1)\right\}^2dx$
$= \dfrac{1}{64}\displaystyle\int_{-3}^1(x+1)^2dx$
$= \dfrac{1}{64}\left[\dfrac{(x+1)^3}{3}\right]_{-3}^{1}$
$= \dfrac{1}{64}\left\{\dfrac{8}{3}-\dfrac{(-2)^3}{3}\right\}$
$= \dfrac{1}{12}$
であるので,
$I = I_1-2I_2+I_3$
$= \left(\dfrac{\sqrt3}{12}\pi-\dfrac14\right)-2\left(\dfrac12-\dfrac1{16}\log_e3-\dfrac{\sqrt3}{16}\pi\right)+\dfrac{1}{12}$
$= \dfrac{\sqrt3}{12}\pi-\dfrac14-1+\dfrac18\log_e3+\dfrac{\sqrt3}8\pi+\dfrac1{12}$
$= \dfrac18\log_e3+\dfrac{5\sqrt3}{24}\pi-\dfrac76$.
