三角関数の表

今週末、知人の結婚式に参列するために、東京に行くのですが・・・

どうやって行ったらいいのか、色々と考えてはいたのですが・・・



１．リーフでのんびりと。

高速道路を走るにはだいぶ厳しい、２４ｋＷｈバッテリーのリーフ。
１１時からの挙式に間に合わせる、となると、GoogleMapで調べて約６時間。
距離から考えると途中で充電が４回くらい必要になる。
ということは、合計で８時間くらいかかる、ということに・・・
つまり、３時に出発しなくてはならない・・・
仮に間に合ったとしても、挙式中に居眠りをしそうな・・・

２．夜行バスで安上がりに。

渋谷までの夜行バスで行くと、午前６時半に到着する。
時間的にはなんとかなるんですが、７時間もバスに乗るのは・・・
腰に爆弾を抱えている私としては、なんとか避けたい・・・

３．JRで手軽に。

日本国内なので、一番楽なのが、おそらくこれでしょう。
久しぶりに新幹線に乗って、新潟から大宮か、東京あたりまで・・・
と思って調べてみたら、新潟駅で７時間弱の乗り換え時間が・・・
だったら、新潟で妹の家に泊めてもらって・・・

４．格安航空券を使って、夜行バスよりも更に安く。

ジェットスターで庄内空港から成田まで飛べば、片道４４９０円から。
だが、先日探していたときに、片道１７４円！！！！
というキャンペーンをしていたので、早速予約を！！
と思ったのですが、このキャンペーンページ、
どこをどう行ったらこの値段になるのか分からず・・・

更に、庄内ー成田の便は時間が悪く、結婚式に出るためには
前泊、後泊が必要になってくるようでして・・・
飛行機を使っているのに、時間がかかり、更にお金もかかる・・・


って事で、色々と考えた結果・・・

１と３の複合技で行くことにしました。

つまり、リーフで新潟まで行って妹の家に泊めてもらい、
新潟駅から新幹線で行く、ということにしました。


で、みどりの窓口で新幹線のチケットも取りましたので、
もう今週末の準備はばっちりで・・・

と思ったのですが、思い出したことが１つ。
前日の今週金曜日、懇親会があったのでした・・・

終わってから新潟まで移動して・・・

大丈夫なのでしょうか？？




前回の内容では、教科書なんかに出てくる代表的な値の表の埋め方を確認したのですが、今回は、教科書の巻末に出てくる、もっと具体的な値の表について。

通常の教科書に出てくる表としては、
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A & \sin A & \cos A & \tan A \\
\hline
0^\circ & 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 \\
1^\circ & 0.0175 & 0.9998 & 0.0175 \\
2^\circ & 0.0349 & 0.9994 & 0.0349 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{array}
\]
ってやつです。

こんなの、いつ使うんだよ！！
なんて思ったりもするのですが、工業系では使うことがしばしばあるようです。

でも、工業系で使う際は、$1^\circ$ 単位ではちょっと精度が低くて使い物にならない。
なんてことがあるようで、使う表は $20$ 分単位だったり $0.1^\circ$ 単位だったりします。

こっちの方がとても便利なのですが、問題が１つありまして・・・

表が細かくなりすぎて、書くのも大変なのですが・・・


そんなわけで、工業系で使う三角関数の表は $0^\circ$ から $45^\circ$ までになっています。

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
A & \sin A & \cos A & \tan A & \cot A \\
\hline
0.0^\circ & 0.000000 & 1.000000 & 0.000000 & \\
0.5^\circ & 0.008727 & 0.999962 & 0.008727 & 114.588650 \\
1.0^\circ & 0.017452 & 0.999848 & 0.017455 & 57.289961 \\
1.5^\circ & 0.026177 & 0.999657 & 0.026186 & 38.188459 \\
2.0^\circ & 0.034899 & 0.999391 & 0.034921 & 28.636253 \\
2.5^\circ & 0.043619 & 0.999048 & 0.043661 & 22.903765 \\
3.0^\circ & 0.052336 & 0.998630 & 0.052408 & 19.081136 \\
3.5^\circ & 0.061049 & 0.998135 & 0.061163 & 16.349855 \\
4.0^\circ & 0.069756 & 0.997564 & 0.069927 & 14.300666 \\
4.5^\circ & 0.078459 & 0.996917 & 0.078702 & 12.706204 \\
5.0^\circ & 0.087156 & 0.996195 & 0.087489 & 11.430052 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{array}
\]

ここで出てくる疑問が２つあるかと思います。
１．一番右の $\cot$ って何？？
２．$45^\circ$ を超えた角のときはどうするの？？

１の答えは、簡単です。
\[
\cot\theta = \frac1{\tan\theta}
\]
です。

高校では三角比として $3$ つを習います。

上の $\triangle\mathrm{ABC}$ に対し、
\begin{align*}
\sin\theta &= \frac{y}{r} & \cos\theta &= \frac{x}{r} & \tan\theta &= \frac{y}{x}
\end{align*}
と定義する。

これを日本語では左から順に、正弦、余弦、正接と呼ぶ。


のだが、これ以外にも、$3$ つあって・・・
\begin{align*}
\csc\theta &= \frac{r}{y} & \sec\theta &= \frac{r}{x} & \cot\theta &= \frac{x}{y}
\end{align*}
を左から順に、余割、正割、余接と呼ぶのである。

つまり、
\begin{align*}
\csc\theta &= \frac1{\sin\theta} & \sec\theta &= \frac1{\cos\theta} & \cot\theta &= \frac1{\tan\theta}
\end{align*}
である。



で、これが何なのか？そして $45^\circ$ より大きい三角比のときはどうするのか？

それは、教科書にも出てくる次の公式を使うのです。
\begin{align*}
\sin(90^\circ-\theta) &= \cos\theta & \cos(90^\circ-\theta) &= \sin\theta & \tan(90^\circ-\theta) &= \frac1{\tan\theta} = \cot\theta
\end{align*}


これを使うと、例えば $89^\circ$ のときは、
\begin{align*}
\sin89^\circ &= \sin(90^\circ-1^\circ) & \cos89^\circ &= \cos(90^\circ-1^\circ) & \tan89^\circ &= \tan(90^\circ-1^\circ) \\
&= \cos1^\circ & &= \sin1^\circ & &= \cot1^\circ \\
&= 0.999848 & &= 0.017452 & &= 57.289961
\end{align*}
となるのである。

三角比の値

今月末に、特編授業がありまして、その特編授業を昨日、今日とで組んでみた。

特に、その期間のうちの１日は、２学年が語学研修（修学旅行）で不在である上に、
３学年が卒業研修で不在になるので、授業を組むのは１学年のみ。

そうなると楽勝でしょう、なんて思いがちなのですが、
問題は、教員もいない、って事でして・・・


とはいえ、２学年分の教員がいないとはいえ、１学年の教員の他にも
非常勤や、学年についていない教員なんかもいるので楽勝！！！

と思っていたのはやはり、安易な考えでした。


そう、本校の時間割の最大の敵である、習熟度です。

まず、習熟度に関係ない授業をどれだけ入れられるか？？

そこから調べてみたのですが、もう、絶望的でして・・・

普通コースで習熟度に関係しない授業は
・体育
・科学と人間生活
・総合的な探求の時間
・ホームルーム
の４種類のみ。

これを考察してみた結果・・・

体育をやるとしても、せいぜい１時間のみ。

科学と人間生活をやろうとしても、理科教員４人のうち３人が２学年として
語学研修に行ってるので、これもどう頑張っても無理な科目。

本校の１学年の総合は、７つの習慣Ｊをやっていて、
総合は担任とファシリテーター教員の２人でやっていて・・・

なかなか使いづらい授業なんですよね・・・

そして最後のホームルームですが、前日の中間考査最終日に、
ホームルームが１時間あって、そこで言いたいことを言い終わっているだろうし・・・


って事で、結局は習熟度の授業を入れざるを得ない。

で、入れようとしたのだが、色々と問題がありまして・・・

習熟度の中クラスは、教科によってクラス分けが異なる。
国数英の３教科５科目では、上の１クラスと下の５クラスは
メンバーが共通なので、何の問題もないのだが、
中の４クラスは、教科によってクラス分けが異なる。

つまり、下の５クラスをＡＢＣＤＥとしたときに、
Ａは国語総合、Ｂは数学Ⅰ、Cはコミュニケーション英語Ⅰ、
といったような組み方が可能なのですが、
中の４クラスは教科によってメンバーが変わるので、
前述のような組み方ができず、変えられるとしても、
数学Ⅰと数学Ａ、コミュ英Ⅰと英表Ⅰ、というくらいで・・・
しかも、変えるとしても、結局は教員が１人くらいしか変わらず・・・

そんなわけで、無理やり組んだのですが、どうしても中クラスで、
自習にせざるを得ないところが出てきまして・・・

まあ、仕方ない事ではあるのですが・・・

それでもなんとか被害を最小限に留めることができた（と思う）ので、
今回はこれでOKとすることにしましょうか・・・





今日は、生徒から聞かれた三角比の値の話。

数学Iで三角比を学んだ直後によく出題される、以下の表について。

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 \\
\hline
\cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 & -\frac12 & -\frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt3}2 & -1 \\
\hline
\tan\theta & 0 & \frac1{\sqrt3} & 1 & \sqrt3 & なし & -\sqrt3 & -1 & -\frac1{\sqrt3} & 0
\end{array}
\]

この値を覚える、というよりは、前述の下クラスの場合、
この表を埋めることを優先して覚えた方がいいのでは・・・

ということで、覚え方、というよりも表の埋め方について。

まあ、有名なやり方なので、知っている人も多いと思いますが・・・

１．$\sin$ の $0^\circ\sim90^\circ$ は、$\frac{\sqrt{0}}2$, $\frac{\sqrt{1}}2$, $\frac{\sqrt2}2$, $\frac{\sqrt{3}}2$, $\frac{\sqrt4}2$.

当然、$\sqrt0=0$, $\sqrt1=1$, $\sqrt4=2$ であるので、下のように５箇所が埋まる。

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & & & & \\
\hline
\cos\theta & & & & & & & & & \\
\hline
\tan\theta & & & & & & & & &
\end{array}
\]

２．$\cos$ の $0^\circ\sim90^\circ$ は, $\sin$ の逆順で.

これは, 教科書にも出てくる公式
\begin{align*}
\sin(90^\circ-\theta) &= \cos\theta \\
\cos(90^\circ-\theta) &= \sin\theta \\
\tan(90^\circ-\theta) &= \frac1{\tan\theta}
\end{align*}
を使っているのですが, 暗記をするだけのクラスではそんな説明はしません・・・

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & & & & \\
\hline
\cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 & & & & \\
\hline
\tan\theta & & & & & & & & &
\end{array}
\]

３．$90^\circ$ を中心に, $\sin$ は対称に, $\cos$ は歪対称に.
歪対称なんて, 大学で, 線形代数を学んだときに初めて聞く単語なのですが,
あえて出すことで, 少し印象に残る生徒がいればと思ってわざと出してます.
意味としては, “対称にして, 更にプラスマイナスを入れ替える”です.
大学で初めて出てきたのは, 交代行列とも呼ばれる歪対称行列です.
\[
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & -a & -b & -d \\
a & 0 & -c & -e \\
b & c & 0 & -f \\
d & e & f & 0
\end{array}
\right)
\]
みたいな行列の事です.

これも, 教科書に出てくる公式
\begin{align*}
\sin(180^\circ-\theta) &= \sin\theta \\
\cos(180^\circ-\theta) &= -\cos\theta \\
\tan(180^\circ-\theta) &= -\tan\theta
\end{align*}
を使っているのですが, もちろん説明するかどうかは・・・

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 \\
\hline
\cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 & -\frac12 & -\frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt3}2 & -1 \\
\hline
\tan\theta & & & & & & & & &
\end{array}
\]

４．相互関係 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ で $\tan$ を求める.
ただし, $\tan90^\circ$ はなし.

なのですが, このままでは二重分数になってしまい,
その時点で諦めてしまう生徒が出てくるので・・・

ここまでの流れからして, 分数になるところは
必ず分母が $2$ になっているので・・・
\[
\tan\theta=\frac{\sin\theta の分子}{\cos\theta の分子}
\]
で求める, というのも攻略法ですね.

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\theta & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\
\hline
\sin\theta &  0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt3}2 & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 \\
\hline
\cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}2 & \frac{\sqrt2}2 & \frac12 & 0 & -\frac12 & -\frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt3}2 & -1 \\
\hline
\tan\theta & 0 & \frac1{\sqrt3} & 1 & \sqrt3 & なし & -\sqrt3 & -1 & -\frac1{\sqrt3} & 0
\end{array}
\]

こんなやり方で教えて、これで表は完璧！！
だと思っていたのですが、今日返した下クラスの
単元テスト、平均点が２１点、っていうのも・・・
えっ、３０点満点ではないですよ？？
５０点満点でもないですけど？？
当然、１００点満点のテストだったはず・・・

三角関数の証明問題

愛車のリーフのスタッドレスタイヤ、昨シーズンの終わりの時点で
次のシーズンにはもう使えない状態だったのです。

更に言うと、夏タイヤも使えない状態だったので、
今シーズンはスタッドレスタイヤを履きつぶしています。

で、冬に向けてスタッドレスタイヤを購入せねば・・・

と思っていたのですが、意外なところから話が舞い込んできました。


勤務校の、部活動の生徒の父親が、某タイヤショップの社長さんでした。

町中の、修理工場の社長さんではなく、ちゃんとしたタイヤショップです。

個人情報に関わるので掲載しませんが、ホームページによると
資本金１３，０００，０００円の、地方としてはなかなかの会社です。


で、部活の保護者との懇親会で、社長さんと話をして、
お願いしていた見積もりが先日、届きまして・・・

それを、日産の担当の営業の人に送ったところ、
日産で買うよりも安い、とのことでしたので、
もう、迷うことなく予約してしまいました。


ただ、１つだけ問題がありまして・・・

いつ、タイヤ交換をしに行けるのでしょうか・・・？？





今日はQuoraで見つけた問題です。

\[
\frac{\cos8^\circ-\sin8^\circ}{\cos8^\circ+\sin8^\circ} = \tan37^\circ
\]
を証明せよ.

はっきり言うと、見たこともないような問題です・・・

こんなもん、どうしたらいいのか・・・


と思ったのですが、意外と簡単にできました。

\begin{align*}
\frac{\cos8^\circ-\sin8^\circ}{\cos8^\circ+\sin8^\circ}
&= \frac{1-\frac{\sin8^\circ}{\cos8^\circ}}{1+\frac{\sin8^\circ}{\cos8^\circ}} \\
&= \frac{1-\tan8^\circ}{1+\tan8^\circ} \\
&= \frac{1-\tan8^\circ}{1+1\times\tan8^\circ} \\
&= \frac{\tan45^\circ-\tan8^\circ}{1+\tan45^\circ\tan8^circ} \\
&= \tan(45^\circ-8^\circ) \\
&= \tan37^\circ.
\end{align*}

授業研究会

本日、本校の授業研究会がありました。

私も、教員生活はそんなに長くないのですが、
初めての研究授業担当者となりました。

まあ、初めてだったので、よく分からず・・・

というか、先先週末、先週末と連続で部活の大会があり、
しかもその間に部活の主顧問が、アキレス腱をブッチ切るという・・・


言い訳をするわけではありませんが、
はっきり言うと、準備する時間が十分では・・・



それよりも、指示がちょっといただけない。

１０月になってから教務課から出されたテーマが、
「新指導要領の評価の観点に即した授業」って・・・


他の教科は分かりませんが、少なくとも数学科は
年度の初めに評価方法については決まっている。

それを、研究授業だからと言って覆す、
というのもなんともおかしな話ですし・・・

実際には評価はしないけど、とりあえず
研究授業だから考えてみましょう、ってのも・・・


そんなことよりも、時期をなんとかできないのですかね？？

前述の通り忙しかったのもそうですけど、それ以上に
数学科としては、時期が同じになれば、大体は
やってる内容も同じになってしまいますし・・・

そうすると、授業をやる人が違っても、
やる内容は似たものになってくる・・・

まあ、そんなこんな言いながらも、
私、教務課長補佐なんですよね・・・




って事で、今日の研究授業での課題に出した問題。

問題、というか、等比数列の和の公式から因数分解の公式を導出する、というもの。


初項 $a$, 公比 $r$ である等比数列の, 初項から第 $n$ 項までの和は
\[
S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}
\]
で与えられる.
この式で, $a=1$, $r=x$ とすると,
\begin{align*}
\frac{x^n-1}{x-1} &= x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x^2+x+1
\end{align*}
を得る.
これより,
\begin{align*}
x^n-1 &= (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x^2+x+1)
\end{align*}
を得る.



これを使うのが、後々“数学的帰納法”を学んだ際に出題する予定の、
以下のような証明問題の別解の解説で。


任意の自然数 $n$ に対して, $13^n-8^n$ が $5$ の倍数であることを証明せよ.

高校で学ぶ数学的帰納法を使った証明方法といえば・・・

(i) $n=1$ のときに成り立つことを確認する.
(ii) $n=k$ のときに成り立つと仮定して, $n=k+1$ のときにも成り立つことを示す.
以上より, すべての自然数 $n$ に対して成り立つ.

というもの。

大学入試でも、基本的にはこんなものなのですが・・・

前述の問題は、これよりも難しいかと。

（証明）
(i) $n=1$ のとき,
\begin{align*}
13^1-8^1 &= 13-8 \\
&= 5
\end{align*}
より成り立つ.

(ii) $n=2$ のとき,
\begin{align*}
13^2-8^2 &= 169-64 \\
&= 105 \\
&= 5 \times 21
\end{align*}
より成り立つ.

(iii) $n=k-1$, $n=k$ のときに成り立つと仮定する.
即ち, 整数 $a$, $b$ を用いて
\begin{align*}
13^{k-1}-8^{k-1} &= 5a & 13^k-8^k &= 5b
\end{align*}
と表すことができる.

更に, 対象式と漸化式でも行った計算と同様に
\begin{align*}
(13+8)(13^k-8^k) &= 13^{k+1}-13 \times 8^k+8 \times 13^k - 8^{k+1} \\
&= 13^{k+1}-8^{k+1}+8\times13\times(13^{k-1}-8^{k-1}) \\
13^{k+1}-8^{k+1} &= 21(13^k-8^k)+104(13^{k-1}-8^{k-1}) \\
&= 21\times5b+104 \times 5a \\
&= 5(21b+104a)
\end{align*}
であり, $21b+104a$ は整数であるので, $n=k+1$ のときも成り立つ.

(i), (ii), (iii) より, すべての自然数 $n$ に対して成り立つ.
（証明終）


というような証明になりまして・・・

何が難しいかと言いますと、（高校で学ぶ）数学的帰納法の常識である、
$n=k$ のときを仮定して $n=k+1$ を証明する、ではない。
漸化式で言うところの、$2$ 項間漸化式ではなく、$3$ 項間漸化式である。


ただ、（高校生が証明するには）難しい問題ではあるが、
この証明の別解としましては・・・


（証明）
$n=1$ のとき,
\begin{align*}
13^1-8^1 &= 13-8 \\
&= 5
\end{align*}
より成り立つ.

$n>1$ のとき,
\begin{align*}
13^n-8^n &= (13-8)(13^{n-1}+13^{n-2}\times8+13^{n-3}\times8^2+\dots+13\times8^{n-2}+8^{n-1}) \\
&= 5(13^{n-1}+13^{n-2}\times8+13^{n-3}\times8^2+\dots+13\times8^{n-2}+8^{n-1}) \end{align*}
であり, $(13^{n-1}+13^{n-2}\times8+13^{n-3}\times8^2+\dots+13\times8^{n-2}+8^{n-1})$ は整数であるので成り立つ.
（証明終）


数学をちゃんと分かっていると、$n=1$ と $n>1$ で分ける必要もなくなるのだが、
高校生がこれを分かるには、少し難しいのかも知れないな・・・

って事で分けて証明しているが、本当は分けなくても証明できるのです。


なんとも、因数分解って、便利ですよね。

対象式と漸化式

最近、勤務校の時間割をずっと組んでいたのですが、酷い悪夢にうなされまして・・・


毎日毎日、エクセルの画面上に、細かい授業コマが並んでいて、
それを移動させて時間割を作成していたのですが・・・

寝る前に、テトリス99の対戦動画（YouTube）なんかを見ちゃったりしたもんだから、
編集している時間割を、謎の対戦相手に攻撃されて、時間割がどんどん崩される、
という訳の分からん夢にうなされたり・・・

先週の金曜日に、後期から来る非常勤の先生から出た条件が、
突然の曜日条件が指定されて、しかもそれによって
持つことができない授業を他の先生に割り振ることになり・・・
その指示に従って名前を入れ直した結果、同じ時間に同じ人が被ってたり、
非常勤の先生の条件に合致していないコマがあったりすると、
条件付き書式により赤くなるようにしていたのですが・・・

赤いコマが、１５～６個も発生してしまいまして・・・
変更する前は、残り１個まで減らしていたのに・・・

そんなわけで、先週の３連休は１人で職員室に引きこもり、
ずっとエクセルと格闘していたのですが・・・
連休が明けての火曜日に、２２時間の授業を担当する
非常勤の先生が、家の都合で曜日に条件が加わって・・・

という、なんとも恐ろしい夢を月曜日の夜に見まして・・・
凄い寝汗をかいたのを覚えていました。


そんなこんなで、職業病ともいうべき悪夢にうなされたりもしましたが、
なんとか無事に時間割を作り上げることができました。

とはいえ、こんなことを半年に１回やる、なんてことは、流石に無駄が多い。
って事で、来年度からはやり方を変えないと、私も死んでしまう・・・





今日は、対象式の問題を解くときに、めんどくさいことになるのを避ける方法。
生徒から質問されたので、一緒に考えて作った解法です。


$x^2-3x-2=0$ の $2$ つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき,
以下の値を求めよ.

(1) $\alpha+\beta$
(2) $\alpha\beta$
(3) $\alpha^2+\beta^2$

これくらいなら、教科書に出てくる基本例題のレベル。

(1), (2)
解と係数の関係より,
$\alpha+\beta=-\frac{-3}{1}=3$
$\alpha\beta=\frac{-2}{1}=-2$.
(3)
$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
$= 3^2-2\times(-2) = 13$.


解と係数の関係とは・・・

$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると,
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$, $\alpha\beta=\frac{c}{a}$
が成り立つ.

というものである。
これを使うと (1), (2) は瞬殺できる。

(3) について、展開式
$\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2$
より、移項すると
$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
を得る。


ここまではこれでいいのだが、次数が高くなったときに、どうするのか。

例えば、
(4) $\alpha^7+\beta^7$
なんていう問題が続いていた場合、どうするといいか。

まず考えつく解答として・・・

$(\alpha+\beta)^7=\alpha^7+7\alpha^6\beta+21\alpha^5\beta^2+35\alpha^4\beta^3+35\alpha^3\beta^4+21\alpha^2\beta^5+7\alpha\beta^6+\beta^7$
より、
$\alpha^7+\beta^7=(\alpha+\beta)^7-7\alpha\beta(\alpha^5+\beta^5)-21(\alpha\beta)^2(\alpha^3+\beta^3)-35(\alpha\beta)^3(\alpha+\beta)$
であるが、$\alpha^5+\beta^5$ とか、$\alpha^3+\beta^3$ とかは・・・

$(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2+\beta^3$
より
$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$=3^3-3\times(-2)\times3=45$,

$(\alpha+\beta)^5=\alpha^5+5\alpha^4\beta+10\alpha^2\beta^3+10\alpha^2\beta^3+5\alpha\beta^4+\beta^5$
より
$\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)^5-5\alpha\beta(\alpha^3+\beta^3)-10(\alpha\beta)^2(\alpha+\beta)$
$=3^5-5\times(-2)\times45-10\times(-2)^2\times3=573$
であるので、
$\alpha^7+\beta^7=(\alpha+\beta)^7-7\alpha\beta(\alpha^5+\beta^5)-21(\alpha\beta)^2(\alpha^3+\beta^3)-35(\alpha\beta)^3(\alpha+\beta)$
$=3^7-7\times(-2)\times573-21\times(-2)^2\times45-35\times(-2)^3\times3$
$=7269$
である・・・

と言われても・・・

断じて、簡単ではない・・・
合っているか、自身がない・・・



そこで、漸化式を考える。
$(\alpha^n+\beta^n)(\alpha+\beta)=(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})+\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
即ち
$\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha+\beta)(\alpha^n+\beta^n)+\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
より、$S_n=\alpha^n+\beta^n$ とおくと、
$S_{n+1}=(\alpha+\beta)S_n-\alpha\beta S_{n-1}$
という、$3$ 項間漸化式を得る.

漸化式が出てくると、特性方程式を解いて一般項を求め・・・
って考えがちであるが、そんなことをしても意味がない。
何故なら、一般項はすでに定義が分かっている通り・・・
$S_n=\alpha^n+\beta^n$
なわけですから・・・

そんなわけで、この漸化式を用いて、前述の (4) を解いてみると・・・

$\alpha+\beta=3$
$\alpha\beta=-2$
$\alpha^2+\beta^2=13$
であるので、

$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2)-\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$=3\times13-(-2)\times3=45$

$\alpha^4+\beta^4=(\alpha+\beta)(\alpha^3+\beta^3)-\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)$
$=3\times45-(-2)\times13=161$

$\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)(\alpha^4+\beta^4)-\alpha\beta(\alpha^3+\beta^3)$
$=3\times161-(-2)\times45=573$

$\alpha^6+\beta^6=(\alpha+\beta)(\alpha^5+\beta^5)-\alpha\beta(\alpha^4+\beta^4)$
$=3\times573-(-2)\times161=2041$

$\alpha^7+\beta^7=(\alpha+\beta)(\alpha^6+\beta^6)-\alpha\beta(\alpha^5+\beta^5)$
$=3\times2041-(-2)\times573=7269$


こんな漸化式を考えた方が、比較的簡単になる・・・
こともありますよ、って話でした。

鳩ノ巣の原理

最近、勤務校の後期の時間割を組んでいる。
だが、全然出来る気がしない・・・

だって、習熟度の授業が多く、複数のクラスを跨った授業になっている。
そんな授業とホームルームで残っているのは週に７コマしかないのに、３クラスで１０コマを、同じ教員に担当させる、という教科がありまして・・・

そんなの、不可能だって言うことが、鳩ノ巣の原理を用いて証明できるわけです。



鳩ノ巣の原理（Dirichletの部屋割論法）
$n$ 個の巣箱に $n+1$ 羽の鳩が入っているなら、少なくとも $1$ 個の巣箱には $2$ 羽以上の鳩が入っている。



そんなの当たり前じゃないの？
と思える結果であるが、数学では非常に重要なものでして・・・


例えば、以下のような事を証明できる。

--------------------------------------------------------------------------------
世田谷区民の中には、髪の毛の本数が等しい人が存在する。
--------------------------------------------------------------------------------

世田谷区民は世田谷区内全域の人口と世帯数によると、2019年9月1日現在で916,139人であるらしい。

つまり、91万人もいる、ということ。

これに対して、日本人の頭髪は約15万本である、ということらしい。

平均で15万、って事なので、厳密ではないが、最大値としては6倍の90万本、ということにしたら・・・

鳩ノ巣の原理より、同じ本数の人が少なくとも $2$ 人は存在する、ということが証明できる。

なので、このままでは時間割を組むことができないのだ。

指数の階乗と階乗の指数

夏休みも終わり、本日は全校集会。
そして４校時からは課題テストを３教科。
しかも、普段の授業の担当者をほぼそのまま試験監督に当ててるので、
私は午後の５、６校時に連続で試験監督になってました。


そんな試験が終わって、放課後はエクセルとにらめっこ。
本校は全国的にも珍しい、授業も２期制でやってます。
全国的にも、２期制の学校は多くなってきましたが、
それは３学期制のときと何が違うかというと、
「テストと始業式・終業式」が少なくなるだけ。
授業時間数を確保するために２期制にする、という学校も多いが、
本校は本当の２期制となっているのです。
つまり、前期だけの授業とか、後期だけの授業とかもあるのです。


って事で、教務としては色々と大変なのですが、
私が最も困っていることというと・・・


教務の担当なのですが、時間割を年２回も組む・・・


ただ組むだけでも面倒なのに、本校は普通科と工業科があり、
さらに科を跨っての習熟度で国数英の授業がありまして・・・

縦にまとめて入る習熟度の授業と、
横にまとめて入る工業科の実習系の授業があって・・・

もう、このパズルを年に２回もやるなんて・・・
しかも、後期の時間割を組むのは、休み期間中ではない・・・

って事で最近は、空き時間はずっとエクセルと、
カリキュラム表とのにらめっこです・・・




さて、今日は某質問サイトで見つけた問題について。
今回は知恵袋ではなく、quoraで見つけた問題です。


$2^{100!}$ と $2^{100}!$ の大小を判別せよ。


これを最初にみたとき、まず考えたのが、指数になっている問題なので、対数をとれば・・・

\begin{align*}
\log_a2^{100!} &= 100!\log_a2 & \log_a2^{100}! &= \cdots
\end{align*}

ところが、対数をとっても、そんなに簡単にはならなかった。
指数をとってからの階乗なので、対数をとっても・・・

って事で対数をとらずに調べてみることにした。



$2^{100}! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times \cdots \times (2^{100}-2) \times (2^{100}-1) \times 2^{100}$
$< 1 \times 2 \times 4 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 16 \times \cdots \times 2^{100} \times 2^{100} \times 2^{100}$
$= 1 \times 2^1 \times 4^2 \times 8^4 \times 16^8 \times \cdots \times (2^{99})^{2^{98}} \times (2^{100})^{2^{99}}$
$= 1 \times 2^{1\times2^0} \times 2^{2\times2^1} \times 2^{3\times2^2} \times 2^{4\times2^3} \times \cdots \times 2^{99\times2^{98}} \times 2^{100\times2^{99}}$
$= 2^{1 \times 2^0 + 2 \times 2^1 + 3 \times 2^2 + 4 \times 2^3 + \cdots + 99 \times 2^{98} + 100 \times 2^{99}} = (*)$

ここで,
$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k2^{k-1}$
とおくと,
$
\begin{array}{rcrrrrrrr}
S & = & 1 \times 2^0 & + 2 \times 2^1 & + 3 \times 2^2 & + \cdots & + 99 \times 2^{98} & + 100 \times 2^{99} & \\
-) 2S & = & & 1 \times 2^1 & + 2 \times 2^2 & + \cdots & + 98 \times 2^{98} & + 99 \times 2^{99} & + 100 \times 2^{100} \\
\hline
-S & = & 2^0 & + 2^1 & + 2^2 & +\cdots & + 2^{98} & + 2^{99} & -100 \times 2^{100}
\end{array}
$
$-S = 2^{100}-1 - 100\times2^{100}$
$S = 99 \times 2^{100}+1$
であるので,
$(*) = 2^{99 \times 2^{100}+1}$
$< 2^{128 \times 2^{100}}$
$= 2^{2^7 \times 2^{100}}$
$= 2^{2^{107}}$.


同様に,
$100! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times \cdots \times 63 \times 64 \times \cdots \times 100$
$> 1 \times 2 \times 2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^3 \times 2^3 \times \cdots \times 2^5 \times 2^6 \times \cdots \times 2^6$
$= 1 \times 2^{1\times2^1} \times 2^{2\times2^2} \times 2^{3\times2^3} \times 2^{4\times2^4} \times 2^{5\times2^5} \times 2^{6\times37}$
$= 2^{480}$
である.

以上より,
$2^{100}! < 2^{2^{107}} < 2^{2^{480}} < 2^{100!}$
である.