2018年センター試験 数学IA 第5問

勤務校の、一番の進学系のクラスの、1年生の今回のテストは、
最近ここでも解説しているセンター試験の数学IAの問題をそのまま出題した。
毎年、センター試験の問題を自分で解いて、それを $\LaTeX$ で
データ化しているので、それをそのまま出題に使ってやろう・・・

なんて思ったのですが、忘れてました。
今年のデータのところの元データが、見つけられない・・・

昨年のデータは、ホームページからちゃんと見つけたのですが、
今年は新聞社のホームページで、しかも英語なので・・・
合計5時間くらい探したのですが、もう諦めました・・・

で結局、最終手段を使ってしまいました。
ホームページに挙がっているセンター試験の問題を、
PRINT SCREENで画像保存して、それを貼り付ける・・・

そんなアナログなやり方をしましたけど、他はちゃんとやりましたよ。
試験問題を印刷して、ステープラーで閉じて冊子にしたり、
解答用紙はセンター試験使用にできるだけ近いマークシートにしたり。
とはいえ、マークシートリーダがない勤務校では採点は・・・
同僚に順番に読み上げてもらい、それを EXCEL に入力する・・・
あとはちょっと関数を組めば、勝手に採点してくれるので。

マークシートリーダ、欲しいな・・・




さて、そんなわけで、今日でIAも最後の第5問。
問題はここでいいかと思います。
前述の PRINT SCREEN で取り込んだのも、東進でした。





第5問
ピタゴラスの定理より,
$\mathrm{BC}=\sqrt{2^2+1^2}$
$=\sqrt5$
であり,
$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{BA}:\mathrm{AC}$
$=2:1$
であるので,
$\mathrm{BD}=\dfrac23\times\sqrt5$
$=\dfrac{2\sqrt5}3$
である.

方べきの定理より,
$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BE} = \mathrm{BD}^2$
$= \dfrac{20}9$
であるので,
$2\times\mathrm{BE}=\dfrac{20}9$
$\mathrm{BE} = \dfrac{10}9$
である.


$\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}} = \dfrac{\frac{10}9}{\frac{2\sqrt5}3}$
$=\dfrac{\sqrt5}3=\dfrac5{15}\sqrt5$,
$\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} = \dfrac2{\sqrt5}$
$=\dfrac{2\sqrt5}5=\dfrac{6}{15}\sqrt5$
であるので,
$\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}<\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$
である.
これより, 直線 AC と直線 DE の交点は辺 AC の端点 C の側の延長上にある.

メネラウスの定理より
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}\times\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}\times\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}=1$
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}\times\dfrac{\frac89}{\frac{10}9}\times\dfrac{\frac{2\sqrt5}3}{\frac{\sqrt5}3} = 1$
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}\times\dfrac45\times\dfrac21 = 1$
$\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}} = \dfrac58$
であるので,
$\mathrm{AC}:\mathrm{CF} = 3:5$
$1:\mathrm{CF} = 3:5$
$\mathrm{CF} = \dfrac53$
である.

これより,
$\mathrm{AF}=\dfrac83$
であり, ピタゴラスの定理より
$\mathrm{BF} = \sqrt{2^2+\left(\dfrac83\right)^2}$
$= \dfrac{10}3$
である.
よって,
$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=\dfrac83:\dfrac{10}3$
$= 4:5$,
$\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\dfrac89:\dfrac{10}9$
$=4:5$
であるので, 直線 EF は $\angle\mathrm{AFB}$ の二等分線である.

よって, 点 D は $\triangle\mathrm{ABF}$ の内心である.

2018年センター試験 数学IA 第4問

勤務先では、教員全員にiPadが貸与される。
そのiPadを、授業や部活で活用してくれ、という事なのだが・・・

今年度から勤務している“新人”の分は、全然貸与されず・・・
(10ヶ月も経ってるのに“新人”ってどうかと思うのですが、
担当している人が“新任”って言い切ったので・・・)
で、今日から後期の期末考査なのですが、先週末にiPadを渡されて、
テスト2日目の午後に研修をするから、それまでに初期設定を。


テスト前、テスト期間と言えば、教員も意外と忙しいのです。
テスト前になれば、テストを作るのもそうですし、
意識の高い生徒がいれば、分からないところを質問にくる。
そんな状況で、appleアカウントを作成したり、
初期設定を済ませておけ、というのも・・・
しかも、Wi-Fi環境があるのならまだしも、
それがない状況での初期設定なんて、どうすれば・・・
しかも、来年度から正式導入するclassiについての研修、
って言ってたのが、準備が出来てないとか言って、
2日前の昨日の時点で、研修内容が決まってないとか・・・
このままだと、2時間の予定の研修が、30分で終わる
iPadの使い方に関しての研修で終わるのではないのか??

今回の件に関しては、明らかに管理職の問題でしょうね・・・





さて、今日もセンター試験。
問題はここなどを参照で。





第4問
(1)
$
\begin{array}{rcr}
2 & ) & 144 \\
\hline
2 & ) & 72 \\
\hline
2 & ) & 36 \\
\hline
2 & ) & 18 \\
\hline
3 & ) & 9 \\
\hline
 & & 3
\end{array}
$
(本当は横線は “)” の下から右に書きたかったのですが, $\LaTeX$ だとできるのに, Blog だと上手くいかないので... )
であるので,
$144=2^4\times3^2$
である.
これより, $144$ の正の約数の個数は
$(4+1)\times(2+1) = 15$
より $15$ 個.

(2)
不定方程式 $144x-7y=1$ の特殊解は,
$x=2$, $y=41$ を得る.
これを用いて,
$
\begin{array}{rcrcr}
144x & - & 7y & = & 1 \\
-) ~ 144 \times 2 & - & 7 \times 41 & = & 1 \\
\hline
144(x-2) & - & 7(y-41) & = & 0
\end{array}
$
$144(x-2) = 7(y-41)$
である.
ここで, $144$ と $7$ は互いに素であるので, 両辺とも $144\times7$ の倍数である.
$144(x-2)=7(y-41)=144\times7\times k$ とおくと,
$x-2=7k$, $y-41=144k$
$x=7k+2$, $y=144k+41$
である.
この $x$ の絶対値が最小になるのは $k=0$, 即ち $x=2$, $y=41$ のときである.

(3)
(2) より, $144x=7y+1$ を満たす整数 $x$ は整数 $k$ を用いて $x=7k+2$ と表すことができる.

$144$ の正の約数の個数は (1) より $5\times3=15$ 個である.
$144x$ の素因数分解が $2^a\times3^b$ となるとき, 条件より
$a\ge4$, $b\ge2$
である.

正の約数が $18$ 個のときは
$(a+1)(b+1)=18$
である.
これを満たす整数 $a$, $b$ としては
$(a+1, b+1)=(1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1)$
$(a, b)=(0, 17), (1, 8), (2, 5), (5, 2), (8, 1), (17, 0)$
を得る.
前述の $a$, $b$ の範囲より,
$(a, b)=(5, 2)$
を得るので,
$144x = 2^5 \times 3^2$
$x = 2$
を得る.
これは $x=7\times0+2$ と表せるので題意を満たす.

同様に, 正の約数の個数が $30$ 個であるときについて考える.

$144x=2^a\times3^b$ と表せると仮定する.
このとき
$(a+1)(b+1)=30$
である.
これを満たす $a$, $b$ としては
$(a+1, b+1)=(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 5), (10, 3), (15, 2), (30, 1)$
$(a, b)=(0, 29), (1, 14), (2, 9), (4, 5), (5, 4), (9, 2), (14, 1), (29, 0)$
を得る.
$a\ge4$, $b\ge2$ であるので,
$(a, b)=(4, 5), (5, 4), (9, 2)$
を得る.
これより,
$x=27, 18, 32$
であるが, これらは $x=7k+2$ と表すことができないので不適.

$144x=2^a\times3^b\times p^c$ と表せると仮定する($p$ は $2$, $3$ 以外の素数).
このとき, $a\ge4$, $b\ge2$ より $a+1\ge5$, $b+1\ge3$ であり,
また $c\ge1$ より $c+1\ge2$ でもある.
$(a+1)(b+2)(c+1)=30$
を満たす $a$, $b$, $c$ は
$(a+1, b+1, c+1)=(5, 3, 2)$
$(a, b, c)=(4, 2, 1)$
となる.
これより,
$144x = 2^4\times3^2\times p^1$
$x=p$
となる.
これより, $x=7k+2$ と表せる素数のうち最小のものが題意を満たす整数である.
$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\
\hline
x & 2 & 9 & 16 & 23 & 30 & \cdots
\end{array}
$
より, 題意を満たす $x$ は $x=23$ である.

$144x=2^a\times3^b\times p^c\times q^d$ ($c>0$, $d>0$) と表せると仮定すると,
前述の議論と同様に
$a+1\ge5$, $b+1\ge3$ であるので
$(c+1)(d+1)\ge2$
であるが, $c=0$ または $d=0$ となるので不適.
よって, $x$ は合成数ではない.

以上より, $x=23$.





2018年センター試験 数学IA 第3問

本日、パブリックビューイング。
この時期にパブリックビューイングといえば、もちろんの平昌オリンピック。
本校の生徒も1名、オリンピックに出場していましたので。

それでパブリックビューイングをするのはいいのですが、授業が潰れる・・・
前回も書いた通り、先週は授業が殆ど出来てなかったクラスの授業が潰された・・・
もう、試験範囲をどうしたらいいのやら・・・





そんなわけで、今日もセンター試験。
相変わらず、問題はここ辺りを参考に。





第3問
表で考える.
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}
大 \backslash 小 & ~~~1~~~ & ~~~2~~~ & ~~~3~~~ & ~~~4~~~ & ~~~5~~~ & ~~~6~~~ \\
\hline
\hline
1 & & & & & & B \\
\hline
2 & & & & & B & \\
\hline
3 & & & & B & & C \\
\hline
4 & A & A & AB & A & AC & A \\
\hline
5 & & B & & C & & \\
\hline
6 & B & & C & & &
\end{array}
$
この表を見て, 数えて確率を求める.

(1)
$P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac16$,
$P(B)=\dfrac{6}{36}=\dfrac16$,
$P(C)=\dfrac{4}{36}=\dfrac19$
である.

(2)
$P_C(A)=\dfrac14$,
$P_A(C)=\dfrac16$
である.

(3)
$P(A\cap B)=\dfrac{1}{36}$,
$P(A)P(B)=\dfrac16\times\dfrac16=\dfrac1{36}$
であるので
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
である.
同様に,
$P(A\cap C)=\dfrac1{36}$,
$P(A)P(C)=\dfrac16\times\dfrac19=\dfrac1{54}$
であるので
$P(A\cap C)>P(A)P(C)$
である.

(4)
$1$ 回目に $A\cap B$ が起こり, $2$ 回目に $\overline{A}\cap C$ が起こる確率は
$\dfrac1{36}\times\dfrac{3}{36}=\dfrac1{432}$
である.

同様に, 三つの事象 $A$, $B$, $C$ がちょうど $1$ 回ずつ起こる確率は
$1$ 回目に $A\cap B$, $2$ 回目に $\overline{A}\cap C$ が起こる確率は $\dfrac{1}{36}\times\dfrac{3}{36}$,
$1$ 回目に $\overline{A}\cap B$, $2$ 回目に $A\cap C$ が起こる確率は $\dfrac{5}{36}\times\dfrac{1}{36}$
であり, それぞれ $1$ 回目と $2$ 回目の順番を逆にしたものもあるので,
$\left(\dfrac{1}{36}\times\dfrac{3}{36}+\dfrac{5}{36}\times\dfrac{1}{36}\right)\times2 = \dfrac{16}{6^4}$
$=\dfrac{1}{3^4}$
$=\dfrac{1}{81}$
である.





授業でも毎回説明していますが、サイコロ2個の問題は表で考えろ、ってのが一番ですよね。

2018年センター試験 数学IA 第2問

先々週、1月末の水曜日の夜から本日までの仕事を振り返ると・・・

出張(某部活の海外研修に関連して、成田空港、羽田空港への送迎)があって、授業を丸1日振り替えたり、振り替えきれない分は自習課題を作成して自習監督をお願いしたり・・・
天候不良の為、昼まで授業をして、午後は放課となったり・・・
部活毎の海外研修の為、出席が3人しかいないクラスがあったり・・・

そんなわけで、ちゃんと授業をしたのは2時間くらい・・・
それに対して、マイクロバスの運転をした時間は、25時間・・・
確か、今の職場では、教員として雇われた気がするんですが・・・


何はともあれ、無事に1週間が終わりまして、明日からまともな1週間が・・・


そんなわけで、今日はセンター試験の第2問。
問題はここ辺りを参考にしてください。





第2問
[1]
余弦定理より,
$\cos\angle\mathrm{ABC}=\dfrac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2-\mathrm{CA}^2}{2\times\mathrm{AB}\times\mathrm{BC}}$
$=\dfrac{5^2+9^2-6^2}{2\times5\times9}$
$=\dfrac{70}{90}=\dfrac79$,
三角比の相互関係より
$\sin^2\angle\mathrm{ABC}=1-\cos^2\angle\mathrm{ABC}$
$=1-\left(\dfrac79\right)^2$
$=\left(1+\dfrac79\right)\left(1-\dfrac79\right)$
$=\dfrac{16}9\times\dfrac29$
$=\dfrac{32}{9^2}$,
$0^\circ<\angle\mathrm{ABC}<180^\circ$ より $\sin\angle\mathrm{ABC}>0$ であるので
$\sin\angle\mathrm{ABC}=\dfrac{4\sqrt2}{9}$.

$\mathrm{CD}=3$
であり,
$\mathrm{AB}\cdot\sin\angle\mathrm{ABC}=5 \times \dfrac{4\sqrt2}9$
$=\dfrac{20\sqrt2}9$
である.
これより,
$\sqrt{729}<\sqrt{800}$
$27<20\sqrt2$
$3<\dfrac{20\sqrt2}9$
であるので, $\mathrm{CD}<\mathrm{AB}\cdot\sin\angle\mathrm{ABC}$ である.
これより, 辺 AD と辺 BC が平行の状態を考えると, 前述の不等式から CD が届かないことになる.
これより, 辺 AB と辺 CD が平行であることが分かる.
したがって,
$\angle\mathrm{BCD}=180^\circ-\angle\mathrm{ABC}$,
$\cos\angle\mathrm{BCD}=\cos(180^\circ-\angle\mathrm{ABC})$
$=-\cos\angle\mathrm{ABC}$
$=-\dfrac79$,
余弦定理より
$\mathrm{BD}^2=\mathrm{BC}^2+\mathrm{CD}^2-2\times\mathrm{BC}\times\mathrm{CD}\times\cos\angle\mathrm{BCD}$
$=9^2+3^2-2\times9\times3\times\left(-\dfrac79\right)$
$=132$,
$\mathrm{BD}>0$ より
$\mathrm{BD}=2\sqrt{33}$.

[2]
(1)
選択肢を $1$ つずつ見ていく.

$0$ 範囲が最も大きいのは, 箱ひげ図を見ると, 男子短距離であることが分かるので誤り.
$1$ 四分位範囲は箱ひげ図の箱の長さが該当するので, これは正しい.
$2$ 男子長距離の中央値は箱ひげ図よりほぼ $176$cm であり, 度数最大の階級はヒストグラムより $170-175$ であるので誤り.
$3$ 女子長距離の第 $1$ 四分位数は箱ひげ図より $161$cm 程度であり, 度数最大の階級はヒストグラムより $165-170$ であるので誤り.
$4$ $4$ つの箱ひげ図を見比べると, 最も身長の高い選手は男子短距離にいるので誤り.
$5$ $4$ つの箱ひげ図を見比べると, 最も慎重の低い選手は女子短距離にいるので誤り.
$6$ 箱ひげ図を見ると, 男子短距離の中央値はおよそ $181$, 男子長距離の第 $3$ 四分位数もおよそ $181$ であるので正しい.

以上より, 正しいのは $1$ と $6$ である.

(2)
まず, どの箱ひげ図がどのグループに対応するかを確認する.
男子短距離のみ $30$ を表す $l_4$ よりも上に点が $1$ つあるので, 最大値は $30$ より大きい箱ひげ図は (a) である.
女子長距離のみ $25$ を表す $l_3$ よりも上に点がないので, 最大値が $25$ よりも小さい箱ひげ図は (d) である.
残りの男子長距離と女子短距離を比べると, 最大値は男子長距離の方が大きく, 最小値は女子短距離の方が小さいので, (b) が女子短距離, (c) が男子長距離である.

以上より, 箱ひげ図の対応は以下の通り.
(a) 男子短距離
(b) 女子短距離
(c) 男子長距離
(d) 女子長距離

選択肢を $1$ つずつ見ていく.

$0$ 散布図を見ると, 全体的にはどちらかと言うと正の相関があるように見えるので誤り.
$1$ 箱ひげ図を見ると, 中央値が一番大きいのは (a) であり男子短距離であるので誤り.
$2$ 箱ひげ図を見ると, 範囲は両端のひげの長さまで含めての大きさなので, 範囲が最小なのは (d) であり女子長距離であるので誤り.
$3$ 同様に四分位範囲が最小なのは (c) または (d) であり男子長距離または女子長距離であるのでどちらにしても誤り.
$4$ 女子長距離のグループは (d) であり, その箱ひげ図を見ると最大値が $25$ よりも小さいので正しい.
$5$ 前述の通り男子長距離グループの箱ひげ図は (c) であるので正しい.

以上より正しいのは $4$ と $5$ である.

(3)
記述は数学 B で習う $\sum$ を使うと楽なのだが, 数学 IA しか学んでない, という人がいてもいいように, 少し見にくくなるが, $\sum$ を用いずに解答する.

平均値の定義より,
$x_1+x_2+\cdots+x_n=n\overline{x}$, $w_1+w_2+\cdots+w_n=n\overline{w}$
である.
これより,
$(x_1-\overline{x})(w_1-\overline{w})+(x_2-\overline{x})(w_2-\overline{w})+\cdots+(x_n-\overline{x})(w_n-\overline{w})$
$=(x_1w_1-x_1\overline{w}-\overline{x}w_1+\overline{x}\overline{w})+(x_2w_2-x_2\overline{w}-\overline{x}w_2+\overline{x}\overline{w})+\cdots+(x_nw_n-x_n\overline{w}-\overline{x}w_n+\overline{x}\overline{w})$
$=(x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n)-(x_1+x_2+\cdots+x_n)\overline{w}-\overline{x}(w_1+w_2+\cdots+w_n)+n\overline{x}\overline{w}$
$=x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n-n\overline{x}\overline{w}-n\overline{x}\overline{w}+n\overline{x}\overline{w}$
$=x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n-n\overline{x}\overline{w}$
である. 







2018年センター試験 数学IA 第1問

去る1月の最終土日、私は NPO の活動で、毎年恒例の“ニッポン全国鍋グランプリ”に参戦してきました。
ここ数年は同じ鍋を出店しているのですが、毎年、少しずつ人気が高まって来ていると思われます。
その証拠に、今年は過去最高順位を獲得することができました
ただ、来年の大会は何故か兵庫県姫路市で開催されるということになっていまして・・・
来年は出場するのか、だいぶ怪しくなってきましたね・・・





だいぶ更新を忘れてたのですが、センター試験の問題を(今頃ですが)やってみようかな、と思いまして・・・
まあ一応、仕事でもやっているのですが・・・

問題文はこことかを参照してください。





第1問
[1]
$(x+n)(n+5-x)=nx+x(5-x)+n^2+n(5-x)$
$=x(5-x)+n^2+5n$
であり, $x(5-x)=X$ とおくと
$(x+n)(n+5-x)=A+n^2+5n$
であるので,
$A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)$ 
$=x(5-x)\times(x+1)(1+5-x)\times(x+2)(2+5-x)$ 
$=A \times (A+1^2+5\times1) \times (A+2^2+5\times2)$ 
$=A(A+6)(A+14)$
と表せる.

$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}2$
$2x=5+\sqrt{17}$
$2x-5=\sqrt{17}$
両辺を $2$ 乗すると
$(2x-5)^2=17$
$4x^2-20x+25=17$
$4x^2-20x+8=0$
$-x^2+5x=2$
$x(5-x)=2$
$X=2$
$A=2(2+6)(2+14)$
$=2\times8\times16$
$=2^8$
である.


[2]
(1)
具体的に要素を書き並べて表すと,
$A=\{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$,
$B=\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$,
$C=\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$
である.

(a) $A\subset C$ について, $1\in A$ であるが $1\not\in C$ であるのでこれは誤である.
(b) について, 成り立つのでこれは正である.
以上より, $2$ が答えである.

同様に,
$A\cup C=\{1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$,
$(A\cup C)\cap B=\{6, 12, 18\}$,
より (c) は成り立つ.
$\overline{A}\cap C=\{6, 8, 12, 14, 16, 18\}$,
$(\overline{A}\cap C)\cup B=\{3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18\}$,
$(B\cup C)=\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20\}$,
$\overline{A}\cap(B\cup C)=\{3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18\}$
であるので, (d) は成り立つ.
以上より, $0$ が答えである.

(2)
$p$ について,
$|x-2|>2$
$\iff$ $x-2<-2$ または $2<x-2$
$\iff$ $x<0$ または $4<x$
である.
$s$ について,
$\sqrt{x^2}>4$
$\iff$ $|x|>4$
$\iff$ $x<-4$ または $4<x$
である.

$q$ または $r$
$\iff$ $x<0$ または $4<x$
$\iff$ $p$
であるので, $q$ または $r$ であることは, $p$ であるための必要十分条件である.

「$s \Longrightarrow r$」は偽(反例 : $x=-5$)であり,
「$s \Longleftarrow r$」は真であるので,
$s$ は $r$ であるための必要条件であるが, 十分条件ではない.

[3]
平方完成をすると,
$f(x) = ax^2-2(a+3)x-3a+21$
$= a\left(x^2-2\dfrac{a+3}{a}x\right)-3a+21$
$= a\left\{\left(x-\dfrac{a+3}a\right)^2-\left(\dfrac{a+3}a\right)^2\right\}-3a+21$
$= a\left(x-\dfrac{a+3}a\right)^2-\dfrac{(a+3)^2}a-3a+21$
$= a\left(x-\dfrac{a+3}a\right)^2-a-6-\dfrac9a-3a+21$
$= a\left(x-\dfrac{a+3}a\right)^2-4a+15-\dfrac9a$
であるので,
$p=\dfrac{a+3}a=1+\dfrac3a$
である.

$0\le x\le 4$ における最小値が $f(4)$ となるには, $p\ge4$ であるので,
$1+\dfrac3a\ge4$
$\dfrac3a\ge3$
$a\le1$
である.
定義より $a$ は正の実数であるので $0<a\le1$ である.

同様に, 最小値が $f(p)$ となるには, $p\le4$ であるので,
$1+\dfrac3a\le4$
$a\ge1$
である.

最小値が $f(4)$ となるとき,
$f(4)=1$
$16a-8(a+3)-3a+21=1$
$5a=4$
$a=\dfrac45$
であり, これは $0<a\le1$ を満たす.

最小値が $f(p)$ となるとき,
$f(p)=1$
$-4a+15-\dfrac9a=1$
$-4a+14-\dfrac9a=0$
$4a^2-14a+9=0$
$a=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{4}$
であるが,
$\sqrt{13}>\sqrt{9}$
$\sqrt{13}>3$
$-\sqrt{13}<-3$
$7-\sqrt{13}<4$
$\dfrac{7-\sqrt{13}}4<1$
より $\dfrac{7-\sqrt{13}}4$ は不適.
以上より, $a=\dfrac45$ または $a=\dfrac{7+\sqrt{13}}4$ のときである.