素数が無限個あることの証明3

さて、学校も無事に冬休みに入りました。

ですが、今日から３日間、冬期講習がありまして・・・
でも明後日から、部活の遠征があるので・・・

結局、講習の最終日は、他の先生に頼んで遠征に行くのですが・・・

だったら、講座か部活か、どっちかにしてもらいたい・・・


そんな事はどうでもよくて、最近、車を買い替えました。
今まで乗っていた Leaf を下取りに出して、新車を買いました。
買った新車というのは、そう、 Leaf e+ です。

色々と考えた結果、乗り換えることにしたのです。


きっかけは、日産リーフZESP2終了なんていう、恐ろしいニュースを聞いたことでした。

当初からの私の予定では、 2022 年くらいに Leaf を買い換える、って考えていました。
2020 年に自動運転搭載の日産車が発売（日産の予定だと）されるので、その初期不良が修正されたあたりで新車に買い換えて、って考えていたのですが・・・


で、ここで予定が変わってきたので、色々と計算してみました。

１．当初の予定通りに、2022 年くらいに買い換える。
この場合、私はZESP2を使って 3 年半くらいになるので、2021 年 6 月くらいに ZESP2 が終了する。それから ZESP3 で Leaf に乗りながら、適当なタイミングで最新の Leaf e+ に乗り換える。

２．前述の通りに ZESP2 が終わるまで Leaf に乗り続けて、ZESP3 になったタイミングで買い換える。

３．前述と同じタイミングで、Leaf をやめて NOTE e-POWER あたりに乗り換える。

４．今回、この勢いで買い換えて、ZESP2 を申し込む。

こんな感じで、色々と計算してみたのですが・・・ 2030 年くらいまで乗り続ければ、4 が一番安くなる、って結果が出たので、買い換えることにしました。
やはり、24kWh Leaf では限界がありますよね・・・寒くなってきた最近は、週に 3 回は充電をしなくてはならないですし・・・実家に帰るために、90% 以上にしないと県境を越えるのが不安で仕方ないですし・・・

って事で、Leaf e+ に買い替えました。甥っ子からは Leaf の叔父ちゃん、って言われてましたが、これからは Leaf e+ の叔父ちゃん、って言われ・・・ないか。





今日は最近連載していた、素数が無限個あることの証明の第 $3$ 回。

$2006$ 年に Filip Saidak が見つけた証明。

前回までの $2$ つの証明はどれも背理法による証明でしたが、Saidak は背理法を用いない証明を行った。私もこの証明を知ったとき、大いに感動したことを覚えている。


まず予備知識として, Euclidean Algorithm （ユークリッドの互除法）を確認する.

任意の自然数 $a$, $b$ に対し, $\gcd(a, b)$ を $a$ と $b$ の最大公約数とする.


Theorem.1.
$a$ を $b$ で割った商を $q$, 余りを $r$ とする. 即ち $a = bq+r$ ($0\le r<b$) とする. このとき,
\begin{align*}
\gcd(a, b) &= \gcd(b, r)
\end{align*}
が成り立つ.


Proof
$\gcd(a, b)=G_1$ とする. すると, $a=G_1a_1$, $b=G_1b_1$ ($\gcd(a_1, b_1)=1$, $a_1$, $b_1$ は整数) と表すことができる. これより,
\begin{align*}
a &= bq+r \\
G_1a_1 &=G_1b_1q+r \\
r &= G_1(a_1-b_1q)
\end{align*}
より, $r$ は $G_1$ の倍数である. よって, $\gcd(b, r)$ は $G_1$ の倍数であるので, $\gcd(a, b)\le\gcd(b, r)$ である.

同様に, $\gcd(b, r)=G_2$ とおくと, $a$ は $G_2$ の倍数である. よって, $\gcd(a, b)\ge\gcd(b, r)$ である.

よって, $\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$ である.

End of Proof 

Lemma.2.
任意の自然数 $N$ に対し, $N$ と $N+1$ は互いに素, 即ち $\gcd(N+1, N)=1$ が成り立つ.


Proof
\begin{align*}
\gcd(N+1, N) &= \gcd(N, 1) = 1
\end{align*}

End of Proof

Theorem.3.
素数は無限に存在する.


Proof
$2$ 以上の自然数 $N_1$ に対して, $N_1$ は $1$ 個以上の素数の積で表される.

$N_2=N_1(N_1+1)$ とすると, Lemma.2. より $N_1$, $N_1+1$ はそれぞれ $1$ 個以上の異なる素数の積で表されるので, $N_2$ は $2$ 個以上の素数の積で表される.

$N_3=N_2(N_2+1)$ とすると, Lemma.2. より $N_2$ は $2$ 個以上, $N_2+1$ は $1$ 個以上の異なる素数の積で表されるので, $N_3$ は $3$ 個以上の素数の積で表される.

同様に繰り返すと, $N_k$ は $k$ 個以上の異なる素数の積で表される.

この操作は無限に繰り返すことができるので, 素数は無限に存在する.

End of Proof

素数が無限個あることの証明2

先週末の出張から帰ってきて、どうやら風邪をひいたようです。
というか単純に、先々週東京へ行って、先週が仙台、っていうことで、疲れが出てきただけなのかもしれませんが・・・

なので、今週は年休を使いまくって昼で帰宅し、寝まくっていました。

そんな中、ネットで見て気になったニュースが・・・

大学入学共通テスト「記述式問題」見送りの方向で調整:NHK NEWS WEB

えっ、まあ、そうするべきだと思いましたし、そうなって良かったと思うのですが・・・

先週の出張、数研出版主催の数研セミナー、内容の半分以上は記述式の話で・・・

えっと、体調を崩してまで、何をしに行ってきたのか・・・





前回に続いて、素数が無限個あることの証明。



まず, 素数 $p$ に対して,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^k} &= 1+\frac1p+\frac1{p^2}+\frac1{p^3}+\cdots \\
&= \frac{1}{1-\frac1p} \\
&= \frac{p}{p-1} \\
&= 1+\frac1{p-1} < 2
\end{align*}
である.



前回と同様に, 素数が有限個しか存在しないと仮定する.

その素数を $p_1$, $p_2$, $p_3$, $\dots$, $p_n$ とする.
即ち, すべての自然数は $p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}\dots p_n^{k_n}$ ($k_i$ は非負整数) と表すことができる.

これより,
\begin{align*}
&\prod_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p_i^k} \\
&= \left(1+\frac1{p_1}+\frac1{p_1^2}+\cdots\right)\left(1+\frac1{p_2}+\frac1{p_2^2}+\cdots\right)\cdots\left(1+\frac1{p_n}+\frac1{p_n^2}+\cdots\right) \\
&= 1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}+\cdots
\end{align*}
である. ここで,
\begin{align*}
\frac13&>\frac14, & \frac15 &> \frac18, & \frac16 &> \frac18, & \frac17 &> \frac18, & \cdots
\end{align*}
であるので,
\begin{align*}
&1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}+\cdots \\
&> 1+\frac12+\frac14+\frac14+\frac18+\frac18+\frac18+\frac18+\frac1{16}+\frac1{16}+\cdots \\
&= 1+\frac12+\frac24+\frac48+\frac8{16}+\frac{16}{32}+\cdots \\
&= 1+\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots = \infty
\end{align*}
より, 前述の式は無限大に発散することが分かるが, 左辺は
\begin{align*}
\prod_{i=1}^n\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p_i^k} &= \prod_{i=1}^n\frac{p_i}{p_i-1} \\
&< 2^n
\end{align*}
より, 素数の個数 $n$ が有限であるので, 有限の値をとる.

よって, 等式の左辺が有限, 右辺が無限の値をとることになるので矛盾する.

以上より, 素数が無限に存在する.



ちなみに, $\prod$ は和をとる $\sum$ と同様に積をとる記号, 即ち
\begin{align*}
\prod_{i=1}^na_i &= a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n
\end{align*}
を意味する.

素数が無限個あることの証明

明日から、N潟県N岡市にて、部活の大会が。
なので、今日の１６時半に出発して、現地入り・・・


っていう予定で、部活の遠征だったのですが、私は行きません。

明日、仙台市への別な出張が入っていますので・・・


そもそも冷静に考えたら、今週あった後期中間考査の採点、
提出させたノートやワークのチェックが全然進んでいない。

なので、生徒が遠征に出発した後に、職員室でずっと・・・

校務で使うために新しく購入した、ノートＰＣのセットアップを。

チャイムを設定したりとか、色々と使ってたＰＣが、
最近になって起動すら怪しくなってきたので・・・

で、教務課長が購入した、“中古の”ノートＰＣを・・・

箱から出して、電源に繋いで、電源ボタンを押したのに・・・

起動しない・・・


バッテリーを外して、コンデンサを放電させて、
電源に繋いでそのまま起動をさせたり・・・

それと平行して、古い方のＰＣもなんとか起動させて、
必要そうなデータをネットワーク上に避難させたり・・・

確か私、教員だったような気がするんですが・・・

なんか、自分の仕事を全く進められず、
３時間くらい２台のポンコツＰＣと格闘してた・・・





今日は、素数が無限個あることの証明。

だいぶ有名な証明ですが、改めて書いておこうかと。


まずは最も古い、Euclid による証明を。背理法を用いた証明として、典型的な例です。
正確には、Euclid 自身は、背理法で証明したわけではないのだが、本質を変えずに背理法で記述する。


(Proof)
素数が有限個しか存在しないと仮定する.
その個数を $n$ 個とし, その素数を $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_n$ とする.

このとき, 整数
\[
P = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n + 1
\]
は, $p_k$ ($1 \le k \le n$) で割ったときの余りが $1$ であるので, どの素数でも割り切れない.
これは素数が $n$ 個であることに矛盾するので, 素数は無限個存在する.




これが、恐らくは最も簡単な証明であろう。

イオン化エネルギー

先日に考察した通りに、週末に新幹線で結婚式へと行ってきました。

青山って土地が渋谷駅から最寄りだって事も分からないような田舎もんですが、
最近は GoogleMap が便利なもんで大して困ることもありませんでした・・・

いや、色々とあったのですが・・・


新潟駅から大宮駅まで新幹線で移動だったのですが、指定席が・・・

２列シートの通路側の席でして・・・

狭い、とかそんな事を文句言いたいのではありません。

なんで満席になるほど人がいるんだ、とかでもありません。

Bluetooth のイヤホンで音楽を聞いていたのですが・・・

その上からでも聞こえるような音で、なんか、
歯と歯の間に何かが引っかかっているのか、
ずーーーーーっと“シーシー”というか“チーチー”というか、
とりあえず心地悪い音がずーーーーーっと聞こえていました。

私のイヤホンにはついていなかったのですが・・・

ノイズキャンセルで、なんとかなるものだったのかな・・・？


大宮駅で、東北方面からの参列者と合流し、
そこから渋谷駅へと向かいました。


１次会が終わり、２次会まで２時間ある状況で、
「近くにカフェがたくさんありますから」
っていう情報を信じて、野郎４人でカフェへ・・・

と思って歩き出したのですが、
たしかにカフェはたくさんありましたが・・・

４人が入れるカフェが、全く見当たらない・・・

歩き回って、１０件以上のカフェを覗いたのですが、
４人が座ってゆっくりできるカフェがどこにもない。

田舎もんからは、考えられない状況でした。
都会人は、なんでこんなにカフェに行くんでしょうか？？


２次会を終えて、出発予定時間までまだ１時間以上あったので、
渋谷駅近辺の居酒屋で３次会をすることに。

２次会の司会者も合流して、まったりと１時間過ごしました。

何回かに分けてフードメニューを注文しながら飲んでいたのですが・・・

最後に何品かを注文したのですが・・・

全体的に、出てくるのが遅かったのは遅かったのですが・・・

キッチン内は分かりませんが・・・

人数が、足りてないのではないのか？？

というわけで、最後の最後、とん平焼きが出てくるのが
とても遅く、出発予定時間から５分くらい過ぎてきました。

それを急いで、熱々の状態を我慢して、掻き込んで完食。
そして急ぎ目に会計を済まして退店しました。


私は事前に指定席の予約も含めて切符を購入していたのですが、
東北方面組は買ってなかった、ということでして・・・
渋谷駅で新幹線の切符を買おうとしたのですが、
何が悪かったのか、買えなかったようで・・・

ただ、とりあえずは大宮に行かなくては何もできない、
ってことで、急いで大宮までの切符を購入させて、
ギリギリ来た電車に走って飛びの・・・れなかったようで・・・

結局は私と一緒の電車で大宮まで来ました。

私はそのまま新幹線に乗れましたが、結局１人は、
盛岡まで帰れないことが確定してしまったようで・・・

後から聞いたら、大宮に泊まったみたいでした。


帰りの新幹線はなんとも快適で、２列の窓側の席の上、
隣の席には新潟まで誰も来ませんでした。

鉄ちゃんではないので詳しくは知りませんが、
今の新幹線って、各座席に電源コンセントがあるんですね。
更には登録等が面倒くさかったので私は使いませんでしたけど、
今の新幹線には、Wi-Fi まであるんですね。

電源を取りながら iPad に保存していた動画を見ながら、
なかなか楽しく過ごすことができました。


普段は自分で運転する車しか乗らない人ですが、
公共交通機関ってのもいいですね。




今日はちょっと数学の問題を離れて、化学の話。

勤務校で先週、とある生徒から放課後に質問されました。

「なんでイオン結合と共有結合するものがあるんですか？？」


恐らく、質問としては
「なんでイオン結合するものと共有結合するものがあるのか？？」
っていう事だと思うのですが・・・

そもそも、私の専門は化学ではありません。
というか、理学部卒ですが、数学が専門です。

って言うことで、誤魔化し誤魔化し説明して・・・

というよりも、正確な説明を求めてはいませんでした。

話を聞いていると、イオン結合とか共有結合とか、
そもそもどういったものか分かっていないようでした。



で、私が誤魔化した解説とは・・・

原子ってのは、最外殻電子があって、
でも閉殻している方が“落ち着く”人なんです。

例えば、炭素 C は $4$ 個の最外殻電子があって、
酸素 O は $6$ 個の最外殻電子がある状態です。

でも、最外殻電子が $8$ 個になってると“落ち着く”ので、
C 君の持ってる電子 $4$ 個を $2$ 人の O 君に $2$ 個ずつ差し出して、
逆に O 君たちは $2$ 個ずつを O 君に差し出す。

お互いに差し出すときにお互いに両側を持っている状態にして、
とりあえずみんなが $8$ 個を“持っている”感じになる、
それでみんなが“落ち着く”ことができる、ってイメージ。

あくまでもイメージであって、授業ではどう学ぶのか、
私は全く記憶にありませんので悪しからず。



それに対して、イオン結合についての質問。

というか何で陽イオンになる元素と陰イオンになる元素があるのか。

ボーアの原子模型は知っているようだったので、
イオン化エネルギーについてをホテルに例えて説明しました。

ナトリウムホテル Na は $11$ 名の客が来ている。
$1$ 階には $2$ 部屋、$2$ 階には $8$ 部屋があって、
$3$ 階には $8$ 部屋がある、という造りになっている。

ただ、客室係は仕事を効率よくしたいので、
$3$ 階に $1$ 人だけ、なんて部屋割にはしたくない。


隣の塩素ホテル Cl は $17$ 名の客が来ている。
各階の造りはナトリウムホテルと同じなので、
$3$ 階に $7$ 人の客がいるという状態になっている。

こちらの客室係も同様に効率よく仕事をしたいので、
$3$ 階にもう $1$ 人を入れて、満室にしたい。


そんな $2$ つのホテルは同列経営なので、
隣のホテルに客を案内することもできる、ということ。

逆に移動することも可能なのだが、
例えば塩素ホテルから $7$ 人の客を移動させるには、
説得して移動してもらう、というエネルギーが必要。
だったら $1$ 人を移動させる方が、エネルギーは少なくて済む。

それがイオン化エネルギーなのです。

先程も言いましたけど、あくまでもイメージであって、
授業ではどう学ぶのか、私は全く記憶にありませんので悪しからず。


でも、本来なら $3$ 階には $18$ 部屋があるのですが、
なぜ $8$ 部屋で終えて $4$ 階に案内し始めるのか、
なんて質問もされましたが、無理やりな解説としては・・・

エレベーターが１箇所しかないホテルなので、
あまりエレベーターから遠い部屋には行きたくない。
で、$2$ 階でも $8$ 部屋まで入れたから、
$3$ 階も $8$ 部屋まで入れて終わりでいいんじゃね？？

ってな感じで説明しておきました。

上の階も結構埋まってきたかな、って思ったら、
$3$ 階の残りの部屋も使うようにしよう、
ってな感じの説明をしておきました。


化学が専門の方からしたら、曖昧な説明ですみません・・・