東京大学（理系・２０２１）第６問

 コロナ対応の最終日。部活動もない土日って、本当は何を過ごしていたのか、全く分からなくなっていますね。

考えてみたら、前の学校に勤務してたときはゴルフ部の第３顧問だったので、大会とかはほとんど（私は）無かったのですが、冬場には勤務校のそばのゴルフ場が閉まってしまうので、土日はマイクロバスで片道３０分かけて送迎していたりしましたが、冬季間以外はけっこう時間がありましたからね。その前年の、県立で非常勤講師をしていたときは、あまりの時間のありすぎから、道の駅のスタンプラリーをやってみたりとかしましたし・・・

そんなわけで、この土日もゲームをしていました。昨日の土曜日はスーパーファミコン Nintendo Switch Onlineで、２０２１年２月に配信された「マリオのスーパーピクロス」をやってみました。

発売された当時、国内で一大ブームとなっていたイラストロジックをゲーム機で行う、ピクロスシリーズの第３弾のソフトですが、問題の約半数は前作のサテラビュー用の「タモリのピクロス」と同じだったとか・・・

まあ、そんなことは別にいいとして、このスーパーピクロスをほぼ１日、やっていました。基本的に、ペンシルパズル自体は大好きなので、集中していたら時間が経つのを忘れてしまいまして・・・

今日は、ダウンロードしてから１回しか起動していなかった、スーパーマリオパーティをやっていました。そうです、外出も出来ないので、アパートで１人でパーティを・・・先日調べた際に、オンライン対応になった、ってことを初めて知ったので・・・

オンラインで妹家族とやる、なんてことになってもいいように、遊び方の確認と、ついでに隠し要素を全部出す為に・・・と思ってやっていたのですが、なかなか時間がかかりますね・・・すごろくも１０ターンで１時間かかるし、川下りもなかなかの時間がかかってしまう・・・ゲームの内容量としては満足なのですが、後半には単純に「隠し要素を出す」ための作業だったので、けっこう苦痛なときが・・・

今日もほぼ１日をスーパーマリオパーティに費やしましたが、隠しキャラがまだ出揃ってないんですよね・・・

出揃う、って言うか、やっと１人出ただけで、あと３人は、どうやって出るんだろうか・・・まあ、ネットで調べれば直ぐに分かるんだろうけど、そんなことはしませんよ。

今日も東京大学の問題。６問目なので、今日で最後です。マリオパーティーをして、お昼休憩で食事をして、その後に解いた感じです。

実数 $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ に対し, 

$x^4+bx+c = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$ 

が $x$ についての恒等式であるとする. 

(1) $p\neq0$ であるとき, $q$, $r$ を $p$, $b$ で表せ. 

(2) $p\neq0$ とする. $b$, $c$ が定数 $a$ を用いて 

$b = (a^2+1)(a+2)$, 

$c = -\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1)$ 

と表されているとき, 有理数を係数とする $t$ についての整式 $f(t)$ と $g(t)$ で 

$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\} = 0$ 

を満たすものを $1$ 組求めよ. 

(3) $a$ を整数とする. $x$ の $4$ 次式 

$x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1)$ 

が有理数を係数とする $2$ 次式の積に因数分解できるような $a$ をすべて求めよ. 

(1) 与式より, 

$x^4+bx+c = x^4+(-p^2+q+r)x^2+p(-q+r)x+qr$ 

であり, これが $x$ についての恒等式であるので, 

$-p^2+q+r = 0$ 

$p(-q+r) = b$ 

$qr = c$ 

$\Longrightarrow$ 

$q+r = p^2$ 

$-q+r = \dfrac{b}{p}$ 

$qr = c$ 

が成り立つ. これより, 

$2q = p^2-\dfrac{b}{p}$ 

$q = \dfrac{p^3-b}{2p}$ 

$2r = p^2+\dfrac{b}{p}$ 

$r = \dfrac{p^3+b}{2p}$ 

を得る. 

(2) (1) より, 

$c = qr = \dfrac{(p^3+b)(p^3-b)}{4p^2}$ 

である. これより, 

$-4p^2\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = \{p^3+(a^2+1)(a+2)\}\{p^3-(a^2+1)(a+2)\}$ 

$-p^2(4a+3)(a^2+1) = \{p^3+(a^2+1)(a+2)\}\{p^3-(a^2+1)(a+2)\}$ 

$-p^2(4a+3)(a^2+1) = p^6-(a^2+1)^2(a+2)^2$ 

$p^6+(4a+3)(a^2+1)p^2-(a^2+1)^2(a+2)^2 = 0$ 

$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2\} = 0$ 

であるので, 求める整式 $f(t)$, $g(t)$ の $1$ 組として 

$f(t) = t^2+1$, $g(t) = (t^2+1)(t+2)^2$ 

を得る. 

(3) 題意を満たすとすると, 

$x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = (x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2)$ 

を満たす有理数 $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$ が存在する. 右辺を展開すると, 

$(x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2) = x^4+(p_1+p_2)x^3+(p_1p_2+q_1+q_2)x^2+(p_1q_2+q_1p_2)x+q_1q_2$ 

であるので, $x^3$ の係数を比較することで, $p_1 + p_2 = 0$ であることが分かる. これより, $p_1=-p_2=p$, $q_1=q$, $q_2=r$ とおくと, 最初に出てきた恒等式になる. 

$x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$ 

(i) $p=0$ のとき, 

$x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = (x^2+q)(x^2+r)$ 

より, 

$(a^2+1)(a+2) = 0$ 

$-\left(a+\dfrac34\right)(a^2+1) = qr$ 

が成り立つ. $a$ は実数より $a^2+1>0$ であるから, $a+2=0$ 即ち $a=-2$ である. 

これを第 $2$ 式に代入すると 

$-\left(-2+\dfrac34\right)\{(-2)^2+1\} = qr$ 

$\dfrac{25}4 = qr$ 

であり, また $p=0$ より $q+r=p^2=0$ であるので, $r=-q$ である. よって $q^2 = -\dfrac{25}4$ を得るが, これを満たす実数 $q$ は存在しないので不適である. 

(ii) $p\neq0$ のとき, (2) より求める $p$ は 

$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2\} = 0$ 

を満たす値である. ここで $p^4\geqq0$, $a^2+1>0$, $(a+2)^2\geqq0$ であるので, $p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2 > 0$ である. これより, 

$p^2-(a^2+1) = 0$ 

$p^2 = a^2+1$ 

であり, $a$ は整数であるので, $p^2$ は整数である. $p$ は有理数でもあったので, $p$ は整数である. 

$p^2-a^2 = 1$ 

$(p+a)(p-a) = 1$ 

$p+a = \dfrac{1}{p-a}$ 

と $a$, $p$ が整数であるので 

$p+a = 1$ 

$p-a = 1$ 

である. これより, $p=1$, $a=0$ を得る. 

(i), (ii) より, $a=0$ である. 

東京大学（理系・２０２１）第５問

大型連休が終わっても、まだこの土日までは部活動も活動停止となっています。そんなわけで、私は今日も・・・

５連休の４日目まではブログを更新したのに、最終日は更新しなかったのは何故か？？Nintendo Switch の話をしたら、無性にゲームがしたくなってきたので・・・

５月５日はほぼ丸一日、 Switch をして過ごしてました。

とりあえずやったのが、先日も書いた HUMAN fall flat です。３年以上前のソフトなので、すごーく今更感が強いのですが、私としては新しいゲームなんです。

で、せっかくゲームをするので、YouTube で配信してみました。まあ、配信と言っても、ゲーム実況をしたわけではなく、自分でやったゲームのアーカイブとして、なのですが。

その流れで、昨日も今日もゲームをして、YouTube にアーカイブを残しておきました。多分、明日もゲーム三昧な１日になるんでしょうね。

そんなわけで、東京大学の５問目、いきましょう。高校数学では微分は通常２回までしかしませんが、今回は３回しました。微分して増減を調べる、ということが分かっていると、導関数の増減を調べるためにはもう１回微分、ってことが分かってくると思います。

$\alpha$ を正の実数とする. $0\leqq\theta\leqq\pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を, 座標平面上の $2$ 点 $A(-\alpha, -3)$, $P(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離 $AP$ の $2$ 乗として定める. 

(1) $0<\theta<\pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ $1$ つ存在することを示せ. 

(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ. 

$0\leqq\theta\leqq\pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は, 区間 $0<\theta<\dfrac{\pi}2$ のある点において最大になる. 

(1) (Proof) 

$f(\theta) = (\theta+\sin\theta+\alpha)^2+(\cos\theta+3)^2$ 

$f'(\theta) = 2(\theta+\sin\theta+\alpha)(1+\cos\theta)+2(\cos\theta+3)(-\sin\theta)$ 

$= 2\theta+2\theta\cos\theta+2\sin\theta+2\sin\theta\cos\theta+2\alpha+2\alpha\cos\theta-2\sin\theta\cos\theta-6\sin\theta$ 

$= 2\theta+2\theta\cos\theta+2\alpha+2\alpha\cos\theta-4\sin\theta$ 

$f''(\theta) = 2-2\theta\sin\theta-2\alpha\sin\theta-2\cos\theta$ 

$f'''(\theta) = -2\theta\cos\theta-2\alpha\cos\theta$ 

$= -2(\theta+\alpha)\cos\theta$ 

$\alpha>0$ より, $f''(\theta)$ の増減表は以下の通り. 

θ		0	…	π/2	…	π
f'''(θ)		-	-	0	+	+
f''(θ)		0	↘	f''(π/2)	↗	4

これと中間値の定理より, $f''(\beta)=0$ を満たす $0<\beta<\pi$ 

がただ $1$ つ存在する. 

よって, $f'(\theta)$ の増減表は以下の通り. 

θ		0	…	β	…	π
f''(θ)		0	-	0	+	4
f'(θ)		4α	↘	f'(β)	↗	0

この表より, 

$f'(\beta) < f'(\pi) = 0$ 

であるので, これと $\alpha>0$ であることから中間値の定理より $f'(\gamma)=0$ 

を満たす $0<\gamma<\beta$ がただ $1$ つ存在する${}_{\square}$ 

(2) $f(\theta)$ の増減表は以下の通り. 

θ		0	…	γ	…	π
f'(θ)		4α	+	0	-	0
f(θ)		f(0)	↗	f'(β)	↘	f(π)

これより, $0\leqq\theta\leqq\pi$ における $f(\theta)$ の最大値は $x=\gamma$ のときである. 

題意より, $\gamma<\dfrac{\pi}2$ であればよい. この必要十分条件は $f'(\frac{\pi}2)<0$ であるので, 

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) < 0$ 

$2\alpha+\pi-4 < 0$ 

$\alpha < \dfrac{4-\pi}2$ 

である. 

よって, $0<\alpha<\dfrac{4-\pi}2$ である. 

東京大学（理系・２０２１）第４問

なんか、久し振りに家で数学の問題を解いているのだが、非常にやりにくいです。

というのも、普段問題を解くときは、バインダーに綴じた裏紙を持ち歩いているので、そこに書いて解いて、それを $\LaTeX$ におこしているのですが・・・

なんか、裏紙が見当たらないんですよね・・・

って事で、紙に書かずに直接、テキストファイルに $\LaTeX$ で記述していき、そのまま解答例のファイルを作成していました。

ただ、数学の回答っていうのは、簡単な問題であればそのまま出来るのですが、このレベルの入試問題となると、色々と試行錯誤したり、前の記述と見比べたりしながら解かないといけないのですが、$\LaTeX$ で作ってると、非常にやりにくい・・・

やっぱり、アナログも必要なんですね。

そんなこんなでだいぶ YouTube にも Prime Video にも飽きてきたので、Nintendo Switch を起動してみました。冷静になって、 Switch に入っているソフトを見てみたのですが・・・買ったのに、全くやってないソフトが多々・・・

• 単純にマリオシリーズが好きなので買った SUPER MARIO 3D WORLD & FURY WORLD
• 同じく買った Luigi Mansion 3
• 同じくだいぶ前に買ったヨッシークラフトワールド
• 期間限定で出たのでとりあえず買った SUPER MARIO 3D COLLECTION
• SUPER MARIO 64 はちょっとやった
• Super Mario Sunshine は全くやったことない
• SUPER MARIO GALAXY も 2 はやったけどこれはやってない
• 暇が出来たらやろうと思って購入だけしてあった FINAL FANTASY VII
• Switch 版なので当然 Remake ではありません。
• 暇が出来たらやろうと思って購入だけしてあった FINAL FANTASY IX
• 暇が出来たらやろうと思って購入だけしてあった FINAL FANTASY X/X-2 HD Remaster
• FINAL FANTASY X は大学生の頃（？）に PS2 で相当やり込んだ
• FINAL FANTASY X-2 はなんかやる気にならなかったからやったことない
• インディーで話題になって面白そうだったので買った HUMAN fall flat
• 懐かしいのを見つけたので買ってしまった聖剣伝説 COLLECTION
• 聖剣伝説-ファイナルファンタジー外伝- はやったことがない
• 聖剣伝説 2 はもちろん SFC でやり込んだ
• 聖剣伝説 3 は友達から借りて SFC でやったくらい
• 聖剣伝説 COLLECTION にちゃんと 3 も入っているのに間違えて買った聖剣伝説3 TRIALS of MANA

うーん・・・やってないゲームが多すぎる・・・しかも、スーパーマリオパーティーがオンライン対応になったようで、その気になれば隣県にいる妹夫婦と３人で対戦、なんてこともできるようになったみたいだし・・・

ちょっと、時間がある今のうちに、少しずつゲームをしておかなくては・・・と思って、キャプチャボードを使ってノート PC につなぎ、 OBS で録画を・・・なんて思ったら、 HDMI ケーブルが足りない・・・ちょっと、このままでは録画が出来ない状態になっていたことに気が付きました。どうやら、ノート PC の鞄に入れておいた HDMI ケーブルが、部活用の配信用セットの中に仕舞われてしまったようでした・・・

今日は連休４日目なので、東京大学の第４問。

以下の問いに答えよ. 

(1) 正の奇数 $K$, $L$ と正の整数 $A$, $B$ が $KA=LB$ と満たしているとする. $K$ を $4$ で割った余りが $L$ を $4$ で割った余りと等しいならば, $A$ を $4$ で割った余りは $B$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ. 

(2) 正の整数 $a$, $b$ が $a>b$ を満たしているとする. このとき, $A={}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}$, $B={}_{a}\mathrm{C}_{b}$ に対して $KA=LB$ となるような正の奇数 $K$, $L$ が存在することを示せ. 

(3) $a$, $b$ は (2) の通りとし, さらに $a-b$ が $2$ で割り切れるとする. ${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}$ を $4$ で割った余りは ${}_{a}\mathrm{C}_{b}$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ. 

(4) ${}_{2021}\mathrm{C}_{37}$ を $4$ で割った余りを求めよ. 

(1) (Proof) 

$K(A-B) = KA-KB = LB-KB = (L-K)B$ 

が成り立つ. ここで, $K \equiv L\pmod4$ より $L-K \equiv 0\pmod4$ であるので, 

$K(A-B) = (L-K)B \equiv 0\pmod4$ 

ここで $K$ は奇数であるので, $A-B \equiv 0\pmod4$ 即ち $A \equiv B \pmod4$ であるので, $A$ を $4$ で割った余りと $B$ を $4$ で割った余りは等しい${}_{\square}$ 

(2) (Proof) 

${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1} = \dfrac{4a+1}{4b+1}\times\dfrac{4a}{4b}\times\dfrac{4a-1}{4b-1}\times\dots\times\dfrac{4a-4b+3}{3}\times\dfrac{4a-4b+2}{2}\times\dfrac{4a-4b+1}{1}$ 

である. ここで, 

$P_0 = \dfrac{4a}{4b}\times\dfrac{4a-4}{4b-4}\times\dots\times\dfrac{4a-4b+4}{4}$ 

$P_1 = \dfrac{4a-1}{4b-1}\times\dfrac{4a-5}{4b-5}\times\dots\times\dfrac{4a-4b+3}{3}$ 

$P_2 = \dfrac{4a-2}{4b-2}\times\dfrac{4a-6}{4b-6}\times\dots\times\dfrac{4a-4b+2}{2}$ 

$P_3 = \dfrac{4a-3}{4b-3}\times\dfrac{4a-7}{4b-7}\times\dots\times\dfrac{4a-4b+1}{1}$ 

とすると, ${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}=\dfrac{4a+1}{4b+1}P_0P_1P_2P_3$ である. 

$P_0$ について, 

$P_0 = \dfrac{4a}{4b}\times\dfrac{4a-4}{4b-4}\times\dots\times\dfrac{4a-4b+4}{4}$ 

$= \dfrac{a}{b}\times\dfrac{a-1}{b-1}\times\cdots\times\dfrac{a-b+1}{1}$ 

$= {}_{a}\mathrm{C}_{b}$ 

である. 

$P_2$ について, 

$P_2 = \dfrac{4a-2}{4b-2}\times\dfrac{4a-6}{4b-6}\times\dots\times\dfrac{4a-4b+2}{2}$ 

$= \dfrac{2a-1}{2b-1}\times\dfrac{2a-3}{2b-3}\times\dots\times\dfrac{2a-2b+1}{1}$ 

であるので, 分子 $(2a-1)(2a-3)\cdots(2a-2b+1)$, 分母 $(2b-1)(2b-3)\cdots1$ は

ともに奇数である. よって, $\dfrac{4a+1}{4b+1}P_1P_2P_3$ は $2$ で繰り返し約分すると, 分子, 分母ともに奇数となる. そこで, この分数を奇数 $K$, $L$ を用いて $\dfrac{4a+1}{4b+1}P_1P_2P_3=\dfrac{K}{L}$ と表すことができる. これより, 

${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1} = \dfrac{K}{L}{}_{a}\mathrm{C}_{b}$ 

$KA = BL$ 

より, この $K$, $L$ が題意を満たす $K$, $L$ であるので成り立つ${}_{\square}$ 

(3) 

(Proof) 

$a-b$ が $2$ で割り切れるとき, 

$a-b \equiv 0 \pmod2$ 

$a \equiv b \pmod2$ 

$2a \equiv 2b \pmod4$ 

$2a-k \equiv 2b-k \pmod4$ 

より, 

$P_2 = \dfrac{2a-1}{2b-1}\times\dfrac{2a-3}{2b-3}\times\cdots\times\dfrac{2a-2b+1}{1}$ 

$\equiv \dfrac{2b-1}{2b-1}\times\dfrac{2b-3}{2b-3}\times\cdots\times\dfrac{1}{1} \pmod4$ 

$= 1$ 

である. また, 

$P_1 = \dfrac{4a-1}{4b-1}\times\dfrac{4a-5}{4b-5}\times\cdots\times\dfrac{4a-4b+3}{3}$ 

$\equiv \dfrac{4b-1}{4b-1}\times\dfrac{4b-5}{4b-5}\times\cdots\times\dfrac{3}{3} \pmod4$ 

$= 1$, 

$P_3 = \dfrac{4a-3}{4b-3}\times\dfrac{4a-7}{4b-7}\times\cdots\times\dfrac{4a-4b+1}{1}$ 

$\equiv \dfrac{4b-3}{4b-3}\times\dfrac{4b-7}{4b-7}\times\cdots\times\dfrac{1}{1} \pmod4$ 

$= 1$ 

であるので, 

${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1} = \dfrac{4a+1}{4b+1}\times{}_{a}\mathrm{C}_{b}\times P_1\times P_2\times P_3$ 

$\equiv 1 \times {}_{a}\mathrm{C}_{b} \times 1 \times 1 \times 1 \pmod4$ 

$= {}_{a}\mathrm{C}_{b}$ 

より成り立つ${}_{\square}$ 

(4) 

$2021 = 4 \times 505 + 1$ 

$37 = 4 \times 9 + 1$ 

$505 = 4 \times 126 + 1$ 

$9 = 4 \times 2 + 1$ 

より, 

${}_{2021}\mathrm{C}_{37} \equiv {}_{505}\mathrm{C}_{9} \pmod4$ 

$\equiv {}_{126}\mathrm{C}_{2} \pmod4$ 

$= \dfrac{126 \times 125}{2 \times 1}$ 

$= 63 \times 125$ 

$\equiv 3 \times 1 \pmod4$ 

$= 3$ 

であるので, 求める余りは $3$ である. 

東京大学（理系・２０２１）第３問

大型連休３日目。

いよいよやる事がなくなってきて・・・

結局、Prime Video を観ているだけで１日を過ごしているような・・・

「ぷっすま」をずっと観ていた世代（？）なので、「なぎスケ」を観始めたらもう止まらなくなってしまいまして・・・

途中で昼寝１時間を挟んで、合計５時間くらい観てた気が・・・

本当に、やる事がないってだけで、家にいなくちゃいけないのがこんなに苦痛になるとは・・・

まあ、１年前もそんな感じでしたけどね・・・

動画を観る、料理をする、食べる、寝る・・・

でも、毎日１問ずつ問題を解いているので、まだ有意義な生活になっている・・・と思うようにしています。

そんなわけで、今日は東京大学の３問目。

関数 

$f(x) = \dfrac{x}{x^2+3}$ 

に対して, $y=f(x)$ のグラフを $C$ とする. 点 $A(1, f(1))$ における $C$ の接線を 

$l : y = g(x)$ 

とする. 

(1) $C$ と $l$ の共有点で $A$ と異なるものがただ $1$ つ存在することを示し, その点の $x$ 座標を求めよ. 

(2) (1) で求めた共有点の $x$ 座標を $\alpha$ とする. 定積分 

$\displaystyle\int_{\alpha}^1\{f(x)-g(x)\}^2dx$ 

を計算せよ. 

(1) $f(x)$ を $x$ で微分すると, 

$f'(x) = \dfrac{(x^2+3)-x\times2x}{(x^2+3)^2}$ 

$= \dfrac{-x^2+3}{(x^2+3)^2}$ 

であるので, $l$ の方程式は 

$y-f(1) = f'(1)(x-1)$ 

$y-\dfrac{1}{1^2+3} = \dfrac{-1^2+3}{(1^2+3)^2}(x-1)$ 

$y = \dfrac{2}{16}(x-1)+\dfrac14$ 

$y = \dfrac18(x+1)$ 

である. 

これより, 

$\dfrac{x}{x^2+3} = \dfrac18(x+1)$ 

$8x = (x+1)(x^2+3)$ 

$x^3+x^2-5x+3 = 0$ 

$(x-1)^2(x+3) = 0$ 

より, 点 $A$ と異なる共有点 $\left(-3, -\dfrac14\right)$ がただ $1$ つ存在する. 

(2) 求める定積分を $I$ とおく. 

$I = \displaystyle\int_{-3}^1\{f(x)-g(x)\}^2dx$ 

$= \displaystyle\int_{-3}^1\{f(x)\}^2dx-2\int_{-3}^1f(x)g(x)dx+\int_{-3}^1\{g(x)\}^2dx$ 

である. 

ここで, $I_1=\displaystyle\int_{-3}^1\{f(x)\}^2dx$, $I_2=\displaystyle\int_{-3}^1f(x)g(x)dx$, $I_3=\displaystyle\int_{-3}^1\{g(x)\}^2dx$ とおき, それぞれを求める.  

$I_1 = \displaystyle\int_{-3}^1\left(\dfrac{x}{x^2+3}\right)^2dx$ 

$= \displaystyle\int_{-3}^1\dfrac{x^2}{(x^2+3)^2}dx$ 

$x=\sqrt3\tan\theta$ とおくと, 

$\dfrac{dx}{d\theta} = \dfrac{\sqrt3}{\cos^2\theta}$, 

x	-3	→	1
θ	-π/3	→	π/6

であるので, 

$I_1 = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\dfrac{\tan^2\theta}{9(1+\tan^2\theta)^2}\times\dfrac{\sqrt3}{\cos^2\theta}d\theta$ 

$= \dfrac{1}{\sqrt3}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\dfrac{\tan^2\theta\cos^4\theta}{\cos^2\theta}d\theta$ 

$= \dfrac{1}{\sqrt3}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\sin^2\theta d\theta$ 

$= \dfrac{1}{2\sqrt3}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}(1-\cos2\theta)d\theta$ 

$= \dfrac{1}{2\sqrt3}\biggl[\theta-\dfrac12\sin2\theta\biggr]_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}$ 

$= \dfrac{1}{2\sqrt3}\left\{\dfrac{\pi}6-\dfrac12 \times\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac{\pi}3+\dfrac12\times\left(-\dfrac{\sqrt3}2\right)\right\}$ 

$= \dfrac{1}{2\sqrt3}\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ 

$= \dfrac{\sqrt3}{12}\pi-\dfrac{1}{4}$, 

$I_2 = \displaystyle\int_{-3}^1\dfrac{x}{x^2+3}\times\dfrac18(x+1)dx$ 

$= \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{-3}^{1}\dfrac{x^2+x}{x^2+3}dx$ 

$= \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{-3}^{1}\left(\dfrac{x^2+3}{x^2+3}+\dfrac{x-3}{x^2+3}\right)dx$ 

$= \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{-3}^{1}\left(1+\dfrac{x-3}{x^2+3}\right)dx$ 

$= \dfrac12+\dfrac18\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\dfrac{\sqrt3(\tan\theta-\sqrt3)}{3(\tan^2\theta+1)}\times\dfrac{\sqrt3}{\cos^2\theta}d\theta$ 

$= \dfrac12+\dfrac18\displaystyle\int_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}(\tan\theta-\sqrt3)d\theta$ 

$= \dfrac12+\dfrac18\biggl[-\log_e|\cos\theta|-\sqrt3\theta\biggr]_{-\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}$ 

$= \dfrac12+\dfrac18\left\{-\log_e\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)-\dfrac{\sqrt3}{6}\pi+\log_e\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}3\pi\right\}$ 

$= \dfrac12+\dfrac18\left\{\log_e\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)-\dfrac{\sqrt3}{2}\pi\right\}$ 

$= \dfrac12-\dfrac1{16}\log_e3-\dfrac{\sqrt3}{16}\pi$, 

$I_3 = \displaystyle\int_{-3}^1\left\{\dfrac18(x+1)\right\}^2dx$ 

$= \dfrac{1}{64}\displaystyle\int_{-3}^1(x+1)^2dx$ 

$= \dfrac{1}{64}\left[\dfrac{(x+1)^3}{3}\right]_{-3}^{1}$ 

$= \dfrac{1}{64}\left\{\dfrac{8}{3}-\dfrac{(-2)^3}{3}\right\}$ 

$= \dfrac{1}{12}$ 

であるので, 

$I = I_1-2I_2+I_3$ 

$= \left(\dfrac{\sqrt3}{12}\pi-\dfrac14\right)-2\left(\dfrac12-\dfrac1{16}\log_e3-\dfrac{\sqrt3}{16}\pi\right)+\dfrac{1}{12}$ 

$= \dfrac{\sqrt3}{12}\pi-\dfrac14-1+\dfrac18\log_e3+\dfrac{\sqrt3}8\pi+\dfrac1{12}$ 

$= \dfrac18\log_e3+\dfrac{5\sqrt3}{24}\pi-\dfrac76$. 

東京大学（理系・２０２１）第２問

 大型連休２日目。

今日も只管アパートに引きこもって・・・

暇だからか、ついに YouTube プレミアムに登録してしまいました・・・CM が流れないって、非常にストレスが無くていいですね。でも、今日はずっと Prime Video を観ていたのですが・・・

今日は東京大学の $2$ 問目。

複素数 $a$, $b$, $c$ に対して整式 $f(z)=az^2+bz+c$ を考える. $i$ を虚数単位とする. 

(1) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ を複素数とする. $f(0)=\alpha$, $f(1)=\beta$, $f(i)=\gamma$ が成り立つとき, $a$, $b$, $c$ をそれぞれ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ で表せ. 

(2) $f(0)$, $f(1)$, $f(i)$ がいずれも $1$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき, $f(2)$ の

とりうる範囲を複素平面上に図示せよ. 

(1) 題意より 

$f(0) = \alpha$ 

$c = \alpha$,

$f(1) = \beta$ 

$a+b+c = \beta$, 

$f(i) = \gamma$ 

$-a+bi+c = \gamma$. 

ここで, $c=\alpha$ を残り $2$ 式に代入し, 更に一方に $i$ をかけると, 

$a+b = -\alpha+\beta$ 

$-a+bi = -\alpha+\gamma$ 

$a+b = -\alpha+\beta$ 

$-ai-b = -\alpha i+\gamma i$ 

それぞれの $2$ 式の和をとると 

$(1+i)b = -2\alpha+\beta+\gamma$ 

$b = \dfrac{-2\alpha+\beta+\gamma}{1+i}$ 

$(1-i)a =(-1-i)\alpha+\beta+\gamma i$

$a = \dfrac{(-1-i)\alpha+\beta+\gamma i}{1-i}$ 

である. 

以上より, 

$a = \dfrac{(-1-i)\alpha+\beta+\gamma i}{1-i}$, $b = \dfrac{-2\alpha+\beta+\gamma}{1+i}$, $c = \alpha$ 

である. 

(2) (1) より, 

$a = \dfrac{(-1-i)\alpha+\beta+\gamma i}{1-i}$ 

$= \dfrac{\{(-\alpha+\beta)+(-\alpha+\gamma)i\}(1+i)}{(1-i)(1+i)}$ 

$= -i\alpha+\dfrac{1+i}{2}\beta+\dfrac{-1+i}{2}\gamma$, 

$b = \dfrac{-2\alpha+\beta+\gamma}{1+i}$

$= \dfrac{(-2\alpha+\beta+\gamma)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$ 

$= (-1+i)\alpha+\dfrac{1-i}{2}\beta+\dfrac{1-i}{2}\gamma$ 

である. これより, 

$f(2) = 4a+2b+c$ 

$= 4\times\left(-i\alpha+\dfrac{1+i}{2}\beta+\dfrac{-1+i}{2}\gamma\right)+2\times\left\{(-1+i)\alpha+\dfrac{1-i}{2}\beta+\dfrac{1-i}{2}\gamma\right\}+\alpha$ 

$= -4\alpha i+2(1+i)\beta+2(-1+i)\gamma+(-2+2i)\alpha+(1-i)\beta+(1-i)\gamma+\alpha$ 

$= (-1-2i)\alpha+(3+i)\beta+(-1+i)\gamma$

である. 

東京大学（理系・２０２１）第１問

世間一般ではゴールデンウィークと呼ばれる、大型連休に入りました。

この「ゴールデンウィーク」っていう名前は、映画業界で使う用語であって、正しい名称としては「大型連休」なんですよね。

仕事は休みになるけど、出かける場所もお金もない、ってことで映画を見に来る人が増えるから、っていうのが理由なんですって。

ただ、去年に続き、今年も新型コロナの影響が国内各所で出ていまして・・・

私の勤務している高校でも、学校関係者に１名出ましたが、日常的に取り組んでいる対策が功を奏してか、他の人には感染者が出ませんでした。

ですが、同じ地区の高校でクラスターが発生し、その影響で本校も臨時休校になったり、大型連休の部活動も禁止になったり、連休明けの予定だった地区総体が中止になったり・・・

そんなわけで、大型連休は自由な時間が・・・出来たのですが・・・出かけられえない、って事で、ずっとアパートに引きこもってます。

そんな連休１日目、何をしていたかというと・・・

昨日買ってきて漬け込んでおいた鶏胸肉をロティサリーグリルで調理したり、安かったので大量に買ってきたきゅうりを漬け込んだり・・・

YouTube を観たり、Twitch を観たり、Prime Video を観たり・・・

気が向いたら掃除をしてみたり、昼寝をしてみたり・・・

そんなわけで、時間が出来たので、今頃になって入試問題を。

今年も、まずは東京大学からスタートです。

$a$, $b$ を実数とする. 

座標平面上の放物線 

$C : y = x^2+ax+b$ 

は放物線 $y=-x^2$ と $2$ つの共有点を持ち, 一方の共有点の $x$ 座標は $-1<x<0$ 

を満たし, 他方の共有点の $x$ 座標は $0<x<1$ を満たす. 

(1) 点 $(a, b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ. 

(2) 放物線 $C$ の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ. 

(1) $2$ つの放物線の共有点を求める方程式は 

$x^2+ax+b = -x^2$ 

$2x^2+ax+b = 0$ 

であり, これは $f(x) = 2x^2+ax+b$ とするとき, $2$ 次関数 $y=f(x)$ と $x$ 軸との

共有点を求めることと同義である. 

これより, 題意を満たすためには, 

$f(-1) > 0$ かつ $f(0) < 0$ かつ $f(1) > 0$ 

$-a+b+2 > 0$ かつ $b < 0$ かつ $a+b+2 > 0$ 

$b > a-2$ かつ $b < 0$ かつ $b > -a-2$ 

であるので, 点 $(a, b)$ のとりうる範囲は, 横軸を $a$ 軸, 縦軸を $b$ 軸としたとき, 以下の塗られた部分である (ただし, 境界線を含まない). 

(2) 放物線 $C$ は $ab$ 平面上では 

$y = x^2+ax+b$ 

$b = -xa + (y-x^2)$ 

という, 傾き $-x$ の直線である. 

これが (1) で求めた領域との共有点をもつときを考えればよい. 

(i) $-x>1$ 即ち $x<-1$ のとき, 

条件より $2x < y-x^2 < -2x$ 即ち 

$2x < y-x^2$ かつ $y-x^2 < -2x$ 

$y > x^2+2x$ かつ $y < x^2-2x$ 

である. 

(ii) $0\leqq -x \leqq 1$ 即ち $-1 \leqq x\leqq0$ のとき, 

条件より, $-2 < y-x^2 < -2x$ 即ち 

$-2 < y-x^2$ かつ $y-x^2 < -2x$ 

$y > x^2-2$ かつ $y < x^2-2x$ 

対称性より, $x\geqq0$ のときについては考察する必要はない. 

以上より, 下図の塗られた部分である. 

ただし, 放物線は左から順に $y=x^2+2x$, $y=x^2-2$, $y=x^2-2x$ である. 

２０２１年新春の問題

新年、あけましておめでとうございます。

今年も、気が向いたらこのブログを更新していきたいと思います。なんてったって、前回の更新が８月５日、という・・・基本的に、凝り性だけど飽きっぽいので、こんな感じでの更新になると思います。

寒くなってきて、雪も多くなってきて, 朝起きるのが辛くなってきた。

羽毛布団を使っているだけではなく、電気毛布もローズテクニーを使っているので、寝るときは５分前くらいに電源を入れるだけで温かくていいのですが・・・ローズテクニーは温かいだけではなく、温熱治療・電位治療もできる、ということですが、その効果の程はよく分かりません・・・まあ、寝てて体調が悪くなった、ってことは、寝違えたくらいしかないので大丈夫だと思いますが。

寝るときは温かくていいのだが、起きるときに布団から出るのが辛い・・・一応、枕元には Google Home Mini (現在は Google Nest Mini) があって、スマート家電リモコンとつながっているので、布団に入ったまま「OK, Google 暖房をつけて」とか言えば、エアコンが起動して暖かくなる・・・

はずなんですが、なぜかエアコンだけ、何度設定し直しても翌日にはつながらなくなってしまい・・・まだしばらくは、寒い朝を迎える必要がありそうですね。

各種 SNS に投稿した、 2021 の問題。

(1) $2021$ を素因数分解し, $2021$ が半素数 ($2$ つの素数の積) であることを確認せよ. 

(2) (1) の結果を $2021 = pq$ ($p$, $q$ は素数で, $p \le q$ とする)　としたとき, $p^q$ と $q^p$ の大小を比較せよ. 

(1) $2021 = 43 \times 47$ であり, $43$, $47$ は素数であるので, $2021$ は半素数である. 

さて, この時点で友人からのクレームが. 

YouTube でも $2021$ を素因数分解する問題が出題されたが, 解説が納得いかない, と. 私は見てないのだが, おそらくその解説は 

$2021 = 2025 - 4$
$= 45^2 - 2^2$
$= (45-2)(45+2)$
$= 43 \times 47$ 

というように, 因数分解の公式 

$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$ 

を用いる方法であろう. 

だが, そこで $2025$ とか $4$ なんてものが出てくる理由が分からん, ということ. なので, そこに辿り着いた流れを説明しておくと... 

まず, 与えられた整数 $n$ が素数かどうかを判定するためには, $\sqrt{n}$ 以下の素数で割り切れるかどうかを調べればよい. 

ということで, ざっくりと調べると, 

$40^2 = 1600 < 2021 < 2500 = 50^2$ 

である. もう少し調べていくと, 

$44^2 = 1936 < 2021 < 2025 = 45^2$ 

であることが分かる. ということは, $44$ 以下の素数で割れるかどうかを調べればよい, ということになる. 

で, この不等式を見ていると気づくのが, 

$2021 = 2025-4 = 45^2-4$ 

である, ということ. これで気づけば, 前述のような解答に辿り着ける. 

(2) 

(解法 1) 数学 III まで履修した人向けの解答

関数 $y = x^{\frac1x}$ ($x>0$) について, 

$\log_ey = \log_ex^{\frac1x}$
$\log_ey = \dfrac1x\log_ex$ 

両辺を $x$ で微分すると, 

$\dfrac{y'}{y} = -\dfrac1{x^2}\log_ex+\dfrac1x\times\dfrac1x$
$y' = \dfrac{y}{x^2}(1-\log_ex)$
$y' = x^{\frac1x-2}(1-\log_ex)$ 

である. $y'=0$ となるのは, $x>0$ のとき $x^{\frac1x-2}>0$ であるので, 

$1-\log_ex = 0$
$\log_ex = 1$
$x = e$ 

である. これより, 増減表は以下の通り. 

x		0	…	e	…
y'			+	0	-
y'			↗		↘

（Google blogger では表を作成できず、TeX を一部サポートしているが array 環境は使えなかったので、 Spreadsheet の表を挿入しているので、明らかに TeX とは違うフォントになっていますが気になさらぬように・・・）

これより, $x=e$ のときに最大となり, $x>e$ のときは減少することが分かる. よって, 

$43^{\frac1{43}} > 47^{\frac1{47}}$ 

両辺を $43 \times 47$ 乗すると, 

$43^{47} > 47^{43}$ 

である. 

この解法自体は一昔前にみた, 「$e^{\pi}$ と $\pi^e$ はどっちが大きいか」という問題の解法 $+\alpha$ である. 

(解法 2) 数学 II まで履修して, 更にあの表を暗記している人向けの解答

$43^{47}$ と $47^{43}$ の大小を調べる. 

$\log_{10}43^{47} = 47\log_{10}43$
$= 47 \log_{10}(4.3 \times 10)$
$= 47(\log_{10}4.3 + 1)$
$= 47 \times (0.6335 + 1)$
$= 47 \times 1.6335$
$= 76.7745$ 

$\log_{10}47^{43} = 43\log_{10}43$
$= 43 \log_{10}(4.7 \times 10)$
$= 43(\log_{10}4.7 + 1)$
$= 43 \times (0.6721 + 1)$
$= 43 \times 1.6721$
$= 71.9003$ 

であるので, 

$\log_{10}43^{47} > \log_{10}47^{43}$ 

$43^{47} > $47^{43}$ 

である. 

えっ, $\log_{10}4.3$ と $\log_{10}4.7$ の値はどこから出てきたのかって ?? だから, この解法は, 教科書に載ってる, 常用対数表を暗記している人のための解法で... もちろん, 私はこんなやり方, してませんけど... 

(解法 3) 数学 I まで履修した人向けの解法（厳密さに欠ける？？）

$\dfrac{47}{43} = 1.093$ 

より, 

$43^{47} \gtrless 47^{43}$ 

$43^{43} \times 43^4 \gtrless (43 \times 1.093)^{43}$ 

$43^{43} \times 43^4 \gtrless 43^{43} \times 1.093^{43}$ 

$43^4 \gtrless 1.093^{43}$ 

であり, 近似式より 

$(1+0.093)^{43} \doteqdot 1 + 0.093 \times 43$ 

$= 4.999$ 

であるので, 

$43^4 > 4.999$

$43^4 > 1.093^{43}$ 

$43^{43} \times 43^4 > 43^{43} \times 1.093^{43}$ 

$43^{43} \times 43^4 > (43 \times 1.093)^{43}$ 

$43^{47} > 47^{43}$ 

である (厳密さに欠けるが, $43^4$ と $5$ の比較なら約 $680000$ 倍も違うので, 有効数字を考慮していけば十分な気もするが... )

翌日追記

近似式

$(1+x)^n \simeq 1+nx$ 

を使うためには, $|x| \ll 1$ である必要があったのだが, この解答では“十分に小さい”とは言えない, ということに気がついた. 

実際, この式の元（導出方法は色々あるが, 今回は二項定理とする）を考えると, (計算は Google Spreadsheet を使っているので, 有効数字は小数第 9 位まで) 

$(1+0.093)^{43} = 1 + 3.999 + 7.810047 + 9.926569737 + 93231709855 + \cdots$ 

というように, 近似するためには項数が少なすぎる. 

n	項	和
0	1	1
1	3.999	4.999
2	7.810047	12.809047
3	9.926569737	22.73561674
4	9.231709855	31.96732659
5	6.696682329	38.66400892
6	3.944345892	42.60835481
7	1.938927745	44.54728256
8	0.8114412612	45.35872382
9	0.2934712561	45.65219508
10	0.09279561119	45.74499069
11	0.02588997552	45.77088066
12	0.00642071393	45.77730138
13	0.001423916789	45.77872529
14	0.0002837662744	45.77900906
15	0.00005102117614	45.77906008
16	0.000008303696417	45.77906838
17	0.000001226504806	45.77906961
18	0.0000001647604789	45.77906978
19	0.00000002016147966	45.7790698
20	0.00000000225002113	45.7790698

整数部分まで確定するためには, $n=9$ のときまで求める必要があるので, これでは手計算で求めるには, やはり難しすぎると考えられる. まあ, ここまで求めることができれば, あとは有効数字を考慮していけば, なんとかなる気も... 

(解法 4) 数学 II・数学 B まで履修した人向けの解法（激ムズ）

二項定理より, ($\binom{n}{r}$ は二項係数であり, 日本の高校数学では ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ と表す) 

$47^{43} = (43+4)^{43}$ 

$= \displaystyle\sum_{k=0}^{43}\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k = (*)$ 

ここで, $B(k)=\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k$ とおき, $B(k)$ の最大値を調べる. $0 \le k \le 42$ のうち, $B(k)$ が増加する $k$ の範囲を調べる. 

$B(k) < B(k+1)$ 

$\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k < \binom{43}{k+1} \times 43^{43-(k+1)} \times 4^{k+1}$ 

$\dfrac{43!}{k!(43-k)!} \times 43^{43-k} \times 4^k < \dfrac{43!}{(k+1)!(42-k)!} \times 43^{42-k} \times 4^{k+1}$ 

$\dfrac{43}{43-k} < \dfrac{4}{k+1}$ 

$43(k+1) < 4(43-k)$ 

$43k+43 < 172-4k$ 

$47k < 129$ 

$k < \dfrac{129}{47} = 2+\dfrac{35}{47}$

であるので, 

$B(0)<B(1)<B(2)<B(3)>B(4)>B(5)>\dots>B(43)$, 

即ち $B(k)\le B(3)$ であることが分かる. 

これより, 

$(*) \le \displaystyle\sum_{k=0}^{43}\binom{43}{3} \times 43^{40} \times 4^3$
$= 44 \times \dfrac{43 \times 42 \times 41}{3 \times 2 \times 1} \times 43^{40} \times 4^3$ 

$= 43^{41} \times 41 \times 7 \times 4^4 \times 11$ 

$= 43^{41} \times 41 \times 7 \times 4^2 \times 4^2 \times 11$ 

$< 43^{41} \times 43 \times 43 \times 43 \times 43 \times 43$ 

$= 43^{46} < 43^{47}$ 

であるので, 

$47^{43}<43^{47}$ が成り立つ.