2020日本数学オリンピック予選 第４問

昨日、今日と勤務校のウィンタースクール。
まあ、東北地方の高校ではよくある、スキー教室です。


ただ、ご存知の通り、今シーズンは異常に積雪が少なく、先週の時点で実施するかどうか、だいぶ難しい判断ではあったのですが・・・


それにしても、うちのクラスで、スキーがしたくないからか、一昨日の昼前から腰が痛くなった、とか言い出すヤツが１人いまして・・・
それも、困ったことに、いい年した担任なのに・・・

はい、私がギックリ腰になってしまったようでした。
もう、スキー場を歩き回って、更に悪化したような気もしてくるのですが・・・


そもそも、私はスキーなんてしません。
平成も終わって令和になったこの時代に、エコだとか環境問題だとか言っているこの時代に、電気エネルギーを使って登って、ただ滑り降りてくるだけ、なんて無駄なことをしても仕方ないんじゃないのか？？
なんて言い訳をして、滑れない事をひた隠しにしています。




今日は第４問。

２０２０日本数学オリンピック予選　第１問はこちら

２０２０日本数学オリンピック予選　第２問はこちら

２０２０日本数学オリンピック予選　第３問はこちら

正の整数 $n$ であって, $n^2$ と $n^3$ の桁数の和が $8$ であり, $n^2$ と $n^3$ の各桁合わせて $1$ 以上 $8$ 以下の整数がちょうど $1$ 個ずつ現れるようなものをすべて求めよ.





一の位について考える.
題意より, この時点で同じ数字が現れたり, $9$ が現れたら不適である.
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
n & n^2 & n^3 & \\
\hline
0 & 0 & 0 & N.G. \\
1 & 1 & 1 & N.G. \\
2 & 4 & 8 & \\
3 & 9 & 7 & N.G. \\
4 & 6 & 4 & \\
5 & 5 & 5 & N.G. \\
6 & 6 & 6 & N.G. \\
7 & 9 & 3 & N.G. \\
8 & 4 & 2 & \\
9 & 1 & 9 & N.G.
\end{array}
\]
これより, 求める整数 $n$ の一の位は $2$, $4$ または $8$ である.

$n$, $n^2$, $n^3$ の桁数について考える.
\[
\begin{array}{c|c|c}
n & n^2 & n^3 \\
\hline
1 & 1, 2 & 1, 2, 3 \\
2 & 3, 4 & 4, 5, 6 \\
3 & 5, 6 & 7, 8, 9
\end{array}
\]
これより, $n^2$ が $3$ 桁, $n^3$ が $5$ 桁のときである.
（表だけを見れば $n^2$ が $4$ 桁, $n^3$ も $4$ 桁のときもありうるが, $n$ は $2$ 桁であるのでこれは不適）

$n^2$ が $3$ 桁なので,
\[
\begin{array}{rcccl}
100 & \leqq & n^2 & < & 1000 \\
10 & \leqq & n & < & 10\sqrt{10} < 31.7
\end{array}
\]
である.

$n^3$ が $5$ 桁なので,
\[
\begin{array}{rcccl}
10000 & \leqq & n^3 & < & 100000 \\
21.5 < 10\sqrt[3]{10} & \leqq & n & < & 10\sqrt[3]{100} < 46.4
\end{array}
\]
である.

以上より, $22\leqq n<31$ である.

****************************************************************************************************
平方根や立方根の計算はザックリとやって,
\[
\begin{array}{rcccccccl}
30^2 & = & 900 & < & 1000 & < & 1024 & = & 32^2 \\
20^3 & = & 8000 & < & 10000 & & & & \\
 & & & & 100000 & < & 125000 & = & 50^3
\end{array}
\]
としても, $20\leqq n<32$ を得ることができる.
****************************************************************************************************

これらの条件を満たす候補は $22$, $24$, $28$ のみであるので, 実際に $2$ 乗, $3$ 乗をしてみる.
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
n & n^2 & n^3 & \\
\hline
22 & 484 & & N.G. \\
24 & 576 & 13824 & O.K. \\
28 & 784 & 21952 & N.G.
\end{array}
\]
より, $24$ のみである.