接骨院に行ったり、安静にしたりで、少しずつ改善しているような気もするのですが・・・
本日、勤務校の入試（２回目）だったのですが、その処理業務中に、柔道部顧問の先生と激突し、また腰痛が悪化したような気が・・・
明日は今度は部活の冬季リーグなので、出張という扱いになっていますし・・・
今日は第５問。
２０２０日本数学オリンピック予選 第１問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第２問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第３問はこちら
正の整数 $n$ は $10$ 個の整数 $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{10}$ を用いて $(x_1^2-1)(x_2^2-2)\dots(x_{10}^2-10)$ と書ける. このような $n$ としてありうる最小の値を求めよ.
因数それぞれが $0$ に一番近い整数と, それと符号が異なる $0$ に一番近い整数を考える.
$i=1$ のとき, $0^2-1=-1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-1=3$.
$i=2$ のとき, $1^2-2=-1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-2=2$.
$i=3$ のとき, $2^2-2=1$ が最小値であり, 逆符号は $1^2-3=-2$.
$i=4$ のとき, $1^2-4=-3$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-4=5$.
$i=5$ のとき, $2^2-5=-1$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-5=4$.
$i=6$ のとき, $2^2-6=-2$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-6=3$.
$i=7$ のとき, $3^2-7=2$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-7=-3$.
$i=8$ のとき, $3^2-8=1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-8=-4$.
$i=9$ のとき, $2^2-9=-5$ が最小値であり, 逆符号は $4^2-9=7$.
$i=10$ のとき, $3^2-10=-1$ が最小値であり, 逆符号は $4^2-10=6$.
となるので, 絶対値が最小になるようにとると,
$n= (-1) \times (-1) \times 1 \times (-3) \times (-1) \times (-2) \times 2 \times 1 \times (-5) \times (-1) = -60$
となるが, 正でないので不適.
これを解消するために, 絶対値をできるだけ大きくせずに符号を変えるとすると, 前述より $i=9$ のときを変えるのが倍率が一番小さいので,
$n = -60 \times \left(-\frac75\right) = 84$
である.
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