なので、今年も作業をし・・・ようとしているのですが・・・
○○さん、卒業おめでとうございます！
○○さんは△△で、□□が・・・
みたいなコメントが入ってる動画を後輩に撮影させて、それを編集して作る・・・
のですが、いつまで経っても送られてこない・・・
三送会は今週末で、あと４日しかないのですが・・・
ひょっとして、インスタくらいの感覚で考えてたりするんでしょうね・・・
最低でも、１０日は欲しかったのですが・・・
今日は第６問。
２０２０日本数学オリンピック予選 第１問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第２問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第３問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第４問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第５問はこちら
平面上に $3$ つの正方形があり, 図のようにそれぞれ $4$ つの頂点のうち $2$ つの頂点を他の正方形と共有している. ここで, 最も小さい正方形の対角線を延長した直線は最も大きい正方形の左下の頂点を通っている. 最も小さい正方形と最も大きい正方形の一辺の長さがそれぞれ $1$, $3$ であるとき, 斜線部の面積を求めよ.
図のように $A \sim J$ とする.
正方形の一辺と対角線の関係より $\triangle ADE$ と $\triangle BDF$ が $1:\sqrt2$,
$\triangle BDF$ と $\triangle BCI$ が $\sqrt2:1$ の相似であるので（どちらも相似条件は「$2$ 組の辺の比が等しくその間の角が等しい」）, $\triangle ADE$ と $\triangle BCI$ は合同である.
よって, $HF \parallel BI \parallel AE$, $HF=BI=AE$ であるので,
四角形 $AEFH$ は平行四辺形である.
これより, $EF \parallel AF$ であるので, 求める面積は $\triangle AEF$ の面積と
等しい.
また, $\angle AED=\angle AEF=135^\circ$, $DE=FD$ であるので, $\triangle ADE$ と
$\triangle AFE$ は合同である.
よって, 求める面積は $\triangle ADE$ の面積と等しい.
$DJ=\frac1{\sqrt2}$ であるので, ピタゴラスの定理より
\begin{align*}
AJ = \sqrt{3^2-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2} = \sqrt{\frac{17}2}
\end{align*}
AJ = \sqrt{3^2-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2} = \sqrt{\frac{17}2}
\end{align*}
である.
よって, 求める面積は
$\frac12 \times AE \times DJ = \frac12 \times \left(\sqrt{\frac{17}2}-\frac1{\sqrt2}\right) \times \frac1{\sqrt2} = \frac{\sqrt{17}-1}4. $
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