Classroom の使い方を再考察しなければならない。
今期の私の授業のレポートは、全て Classroom で提出としているのですが・・・
テスト前になって、一気に提出が増えてきまして、もうチェックが間に合わなくなってきていて・・・土日に一気に処理しないと、全く追いつかないんですよね・・・採点に関しては、 Classroom で Google フォームと連携した「テスト付きの課題」を利用して確認する、なんて方法くらいしか・・・穴埋めにして回答させて、自動採点で確認する、というくらいしか・・・まあ、問題に応じて写真で提出と、フォームによる自動採点とを使い分けていくしかないですかね・・・
(1) は 2018 年の杏林大の、 (2) は 2019 年の日本工大の入試問題です。
次の問に答えよ.
(1) 一辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{OABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{OC}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ をとる. 頂点 $\mathrm{O}$ から $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ の順番で $3$ 点を通り, 頂点 $\mathrm{A}$ に至る最短経路の長さを求めよ.
(2) $a$, $b$ は実数とする. 放物線 $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動し, さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線と $x$ 軸の共有点は $(1, 0)$, $(5, 0)$ であった. このとき, $a=[~~~]$, $b=[~~~]$ である. また, この $a$, $b$ の値に対して, $x$ の方程式 $|x^2+ax+b|=k$ が異なる $4$ つの実数解をもつとき, 定数 $k$ の値の範囲は $[~~~]$ である.
(1) 展開図を考える.
この図より, この経路が最短となるのは $5$ 点$\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{A}$ が一直線上になるときである. これより, 最短経路の長さを $L$ とすると, 余弦定理より
$L^2=\mathrm{OO}'^2+\mathrm{O}'\mathrm{A}'^2-2 \times \mathrm{OO}' \times \mathrm{O}'\mathrm{A}' \times \cos\angle\mathrm{OO}'\mathrm{A}'$
$= 2^2+1^2-2 \times 2 \times 1 \times \left(-\dfrac12\right)$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.
余弦定理を用いずに, $\mathrm{A}'$ から直線 $\mathrm{OO}'$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると, $\mathrm{A}'\mathrm{H}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるので,
$L^2 = \mathrm{OH}^2+\mathrm{HA}'^2$
$= \left(\dfrac52\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$= \dfrac{25}{4}+\dfrac{3}{2}$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.
(2) $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動したものは
$-y=x^2+2ax+b$
$y=-x^2-2ax-b$
である. これをさらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものは
$y+1=-(x-1)^2-2a(x-1)-b$
$y=-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)$
である. これと $x$ 軸との共有点を調べると,
$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
$x=(1-a)\pm\sqrt{a^2-b-1}$
である. 共有点が $(1, 0)$, $(5, 0)$ であるので,
$
\begin{cases}
(1-a)+\sqrt{a^2-b-1} = 5 \\
(1-a)-\sqrt{a^2-b-1} = 1
\end{cases}
$
である. これより
$a=-2$, $b=-1$
を得る.
$|x^2-2x-1|=k$ の実数解の個数と対応する $y=|x^2-2x-1|$ のグラフと $y=k$ のグラフの共有点の個数を考える.
$y=x^2-2x-1$
$= (x-1)^2-2$
より, グラフは以下の通り.
これより, $0<k<2$ を得る.
$2$ 次方程式を求めたところからの, 数学 II で学ぶ内容を用いた別解.
$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
解と係数の関係より,
$
\begin{cases}
1+5=-\dfrac{2(1-a)}{-1} \\
1\times5=\dfrac{2a-b-2}{-1}
\end{cases}
$
これを解いて $a=-2$, $b=-1$ を得る.
最初からの別解.
$x$ 軸に関して対称移動すると $y=-x^2+O(x)$, 更に平行移動すると $y=-x^+O(x)$ である（$O(x)$ は最高次が $x$ である整式）ので, これと $(1, 0)$, $(5, 0)$ を通るの事より
$y=-(x-1)(x-5)$
$=-x^2+6x-5$
である. これを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものは
$y-1=-(x+1)^2+6(x+1)-5$
$y=-x^2+4x+1$
であり, これを更に $x$ 軸に関して対称移動すると
$-y=-x^2+4x+1$
$y=x^2-4x-1$
であるので, $a=-2$, $b=-1$ を得る.
授業で出題した問題（平日課題 No.08）
無茶なルール。
ここ２週間くらい、昼休みは教室に行ってます。密にならない為に、とか色々と理由はあるのですが、毎日担任は昼休みに教室に行く、という事で・・・
なんか、ひたすら担任にばかり負担を増やしているんですね・・・
今日の午前最後の授業は別棟の３階で３年生の授業。それが終わって、本校舎の３階のホームルーム教室へダッシュして戻り、昼休みを教室で過ごす。昼休み終了の５分前の予鈴が鳴ったら職員室へ戻り、道具を持ち替えて再び別棟の３階へ。そのまま２時間授業を行い、終わったら再びダッシュで本校舎の職員室へ戻り、帰りのショートホームルームへ。１５時を過ぎて、ようやくランチを食べることが出来たのですが・・・
明日は、昼前２時間授業をして、昼休みにホームルーム、午後からまたもや２時間の授業、帰りのショートホームルーム、更には主顧問が休みの為、副顧問として部活動で体育館に２時間半ほどいることに・・・この時点で、既に１７時を過ぎているのですが、ランチって、いつ食べるのでしょうか？？
今日も、授業で出題した問題。以前出題した確率の問題で、なんとも正解率の低かったところを復習するためのチョイスです。2018 年の名城大の問題です。
次の問いに答えよ.
(1) $x+y+z=10$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ ($x>0$, $y>0$, $z>0$) の個数を求めよ.
(2) $x+y+z=100$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$) の個数を求めよ.
(3) $x+y+z+w=n$ ($n\ge0$) を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z, w)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$, $w\ge0$) の個数を求めよ.
(1) 具体的にいくつか例を考えてみる.
$(x, y, z)=(1, 2, 7)$ は条件を満たす解の $1$ つである. これを,
○|○○|○○○○○○○
と表すことにする. ○ $10$ 個の間 $9$ 箇所の中から $2$ 箇所を選んで区切りを入れると, このような表記ができる.
このような表し方をすると, $(x, y, z)$ の組とこの並べ方が一対一の対応をしていることが分かる. よって, 求める組の個数は
${}_{9}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$
より $36$ 個.
(2) 同様に考える.
単純に (1) と同様と考えると ${}_{99}\mathrm{C}_{2}$ 個となるのだが, これでは $(0, 0, 100)$ といった組み合わせはできない.
(1) と違い,
||○○○○○○○○○○
というような並べ方も考えなくてはならない (面倒なので○は $10$ 個しか書いてない). この並べ方はどのようなルールになっているか考えると, ○ $100$ 個と | $2$ 個の合計 $102$ 個を並べることになる. よって,
${}_{102}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{102 \times 101}{2 \times 1} = 5151$
より $5151$ 個.
(3) (2) と同様に,
${}_{n+3}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac16(n+3)(n+2)(n+1)$.
ここ２週間くらい、昼休みは教室に行ってます。密にならない為に、とか色々と理由はあるのですが、毎日担任は昼休みに教室に行く、という事で・・・
なんか、ひたすら担任にばかり負担を増やしているんですね・・・
今日の午前最後の授業は別棟の３階で３年生の授業。それが終わって、本校舎の３階のホームルーム教室へダッシュして戻り、昼休みを教室で過ごす。昼休み終了の５分前の予鈴が鳴ったら職員室へ戻り、道具を持ち替えて再び別棟の３階へ。そのまま２時間授業を行い、終わったら再びダッシュで本校舎の職員室へ戻り、帰りのショートホームルームへ。１５時を過ぎて、ようやくランチを食べることが出来たのですが・・・
明日は、昼前２時間授業をして、昼休みにホームルーム、午後からまたもや２時間の授業、帰りのショートホームルーム、更には主顧問が休みの為、副顧問として部活動で体育館に２時間半ほどいることに・・・この時点で、既に１７時を過ぎているのですが、ランチって、いつ食べるのでしょうか？？
今日も、授業で出題した問題。以前出題した確率の問題で、なんとも正解率の低かったところを復習するためのチョイスです。2018 年の名城大の問題です。
次の問いに答えよ.
(1) $x+y+z=10$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ ($x>0$, $y>0$, $z>0$) の個数を求めよ.
(2) $x+y+z=100$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$) の個数を求めよ.
(3) $x+y+z+w=n$ ($n\ge0$) を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z, w)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$, $w\ge0$) の個数を求めよ.
(1) 具体的にいくつか例を考えてみる.
$(x, y, z)=(1, 2, 7)$ は条件を満たす解の $1$ つである. これを,
○|○○|○○○○○○○
と表すことにする. ○ $10$ 個の間 $9$ 箇所の中から $2$ 箇所を選んで区切りを入れると, このような表記ができる.
このような表し方をすると, $(x, y, z)$ の組とこの並べ方が一対一の対応をしていることが分かる. よって, 求める組の個数は
${}_{9}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$
より $36$ 個.
(2) 同様に考える.
単純に (1) と同様と考えると ${}_{99}\mathrm{C}_{2}$ 個となるのだが, これでは $(0, 0, 100)$ といった組み合わせはできない.
(1) と違い,
||○○○○○○○○○○
というような並べ方も考えなくてはならない (面倒なので○は $10$ 個しか書いてない). この並べ方はどのようなルールになっているか考えると, ○ $100$ 個と | $2$ 個の合計 $102$ 個を並べることになる. よって,
${}_{102}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{102 \times 101}{2 \times 1} = 5151$
より $5151$ 個.
(3) (2) と同様に,
${}_{n+3}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac16(n+3)(n+2)(n+1)$.
授業で出題した問題（平日課題 No.06）
運動不足が予想以上に・・・
今日の部活も自主練だったので、走路を走りに行きたい、という部員についていって、見ていました。中身としては、走路を走ってたり、フットワークの練習をしたり、それぞれだったのですが・・・
３年生部員から声をかけられて・・・
「センセーも一緒に走りましょう」
そんなわけで、仕方なく走ることになったのですが・・・
筋肉とか、心臓とか、肺とかが限界、ではないのですが、１周半くらいで力尽きました。
もうなんか、脛が限界を迎えてしまいまして・・・ちょっと汗をかきましたけど、全然“体力”的には余裕だったんですが・・・
恐ろしい、３ヶ月に渡る、運動不足・・・半日過ぎた今（２２時）になっても、筋肉痛とか全然ないのに、脛が痛い・・・
今日も、授業で出題した問題。
なんか、見返していたら、何故か見逃していた、平日課題 No.06 の解説。結構有名な問題なので、知っている人も多いはず。詳しくは覚えていませんが、どっかの大学の入試問題だった気がする。
本論とはずれますが、この手の整数（自然数）問題を出題されると、「自然数に $0$ を含むのか含まないのかを明示しないなんて、問題の不備だ」とか言い出す“自称・数学が分かっている人”がいるんですよね。日本で高校数学を学ぶと、自然数には $0$ は含まれないのですが、海外では $0$ を含むことが多かったり、大学で初等整数論を学ぶと自然数を定義する為に、空集合 $\emptyset$ を $0$ に対応させて定義するので、自然数に $0$ を含むので、「俺はそういった学識の高い人間だぜ」アピールをしているのだと思うのですが・・・問題を見れば、 $\dfrac1p$ とか、分母にきているのを見れば、どっちで定義していても $0$ は解にならない事は直ぐに分かると思うのですが・・・
以下の等式を満たす自然数 $p$, $q$, $r$ の組 $(p, q, r)$ の総数を求めよ.
$\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$p \le q \le r$ と仮定する. すると, $\dfrac1p \ge \dfrac1q \ge \dfrac1r$ である. これより,
$1=\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1p+\dfrac1p+\dfrac1p=\dfrac3p$
即ち $p\le3$ である.
(i) $p=1$ とすると,
$\dfrac11+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $q$, $r$ は存在しない.
(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
ここで,
$\dfrac12=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 4$ である. $p \le q$ であるので $2 \le q \le 4$ である.
(ii-i) $q=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $r$ は存在しない.
(ii-ii) $q=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac16$
$r=6$
であるので, $(p, q, r)=(2, 3, 6)$ を得る.
(ii-iii) $q=4$ とすると,
$\dfrac14+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac14$
$r=4$
であるので, $(p, q, r)=(2, 4, 4)$ を得る.
(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
ここで,
$\dfrac23=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 3$ である. $p \le q$ であるので $q=3$ である.
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac23$
$\dfrac1r=\dfrac13$
$r=3$
であるので, $(p, q, r)=(3, 3, 3)$ を得る.
以上より, $(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$ である. $p \le q \le r$ の仮定を外すと, それぞれ $3!$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{1}$ 通り, $1$ 通りであるので,
$3!+{}_{3}\mathrm{C}_{1}+1=10$
より $10$ 通りである.
$p$ の値を仮定したあとの別解がある.
(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
$2r+2q=qr$
$qr-2q-2r=0$
$(q-2)(r-2)=4$
$p \le q \le r$ より $0 \le q-2 \le r-2$ であるので,
$(q-2, r-2) = (1, 4), (2, 2)$
$(q, r) = (3, 6), (4, 4)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4)$
を得る.
(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
$3r+3q=2qr$
$4qr-6q-6r=0$
$(2q-3)(2r-3)=9$
$p \le q \le r$ より $3 \le 2q-3 \le 2r-3$ であるので,
$(2q-3, 2r-3) = (3, 3)$
$(q, r) = (3, 3)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (3, 3, 3)$
を得る.
以下, 省略.
今日の部活も自主練だったので、走路を走りに行きたい、という部員についていって、見ていました。中身としては、走路を走ってたり、フットワークの練習をしたり、それぞれだったのですが・・・
３年生部員から声をかけられて・・・
「センセーも一緒に走りましょう」
そんなわけで、仕方なく走ることになったのですが・・・
筋肉とか、心臓とか、肺とかが限界、ではないのですが、１周半くらいで力尽きました。
もうなんか、脛が限界を迎えてしまいまして・・・ちょっと汗をかきましたけど、全然“体力”的には余裕だったんですが・・・
恐ろしい、３ヶ月に渡る、運動不足・・・半日過ぎた今（２２時）になっても、筋肉痛とか全然ないのに、脛が痛い・・・
今日も、授業で出題した問題。
なんか、見返していたら、何故か見逃していた、平日課題 No.06 の解説。結構有名な問題なので、知っている人も多いはず。詳しくは覚えていませんが、どっかの大学の入試問題だった気がする。
本論とはずれますが、この手の整数（自然数）問題を出題されると、「自然数に $0$ を含むのか含まないのかを明示しないなんて、問題の不備だ」とか言い出す“自称・数学が分かっている人”がいるんですよね。日本で高校数学を学ぶと、自然数には $0$ は含まれないのですが、海外では $0$ を含むことが多かったり、大学で初等整数論を学ぶと自然数を定義する為に、空集合 $\emptyset$ を $0$ に対応させて定義するので、自然数に $0$ を含むので、「俺はそういった学識の高い人間だぜ」アピールをしているのだと思うのですが・・・問題を見れば、 $\dfrac1p$ とか、分母にきているのを見れば、どっちで定義していても $0$ は解にならない事は直ぐに分かると思うのですが・・・
以下の等式を満たす自然数 $p$, $q$, $r$ の組 $(p, q, r)$ の総数を求めよ.
$\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$p \le q \le r$ と仮定する. すると, $\dfrac1p \ge \dfrac1q \ge \dfrac1r$ である. これより,
$1=\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1p+\dfrac1p+\dfrac1p=\dfrac3p$
即ち $p\le3$ である.
(i) $p=1$ とすると,
$\dfrac11+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $q$, $r$ は存在しない.
(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
ここで,
$\dfrac12=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 4$ である. $p \le q$ であるので $2 \le q \le 4$ である.
(ii-i) $q=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $r$ は存在しない.
(ii-ii) $q=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac16$
$r=6$
であるので, $(p, q, r)=(2, 3, 6)$ を得る.
(ii-iii) $q=4$ とすると,
$\dfrac14+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac14$
$r=4$
であるので, $(p, q, r)=(2, 4, 4)$ を得る.
(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
ここで,
$\dfrac23=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 3$ である. $p \le q$ であるので $q=3$ である.
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac23$
$\dfrac1r=\dfrac13$
$r=3$
であるので, $(p, q, r)=(3, 3, 3)$ を得る.
以上より, $(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$ である. $p \le q \le r$ の仮定を外すと, それぞれ $3!$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{1}$ 通り, $1$ 通りであるので,
$3!+{}_{3}\mathrm{C}_{1}+1=10$
より $10$ 通りである.
$p$ の値を仮定したあとの別解がある.
(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
$2r+2q=qr$
$qr-2q-2r=0$
$(q-2)(r-2)=4$
$p \le q \le r$ より $0 \le q-2 \le r-2$ であるので,
$(q-2, r-2) = (1, 4), (2, 2)$
$(q, r) = (3, 6), (4, 4)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4)$
を得る.
(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
$3r+3q=2qr$
$4qr-6q-6r=0$
$(2q-3)(2r-3)=9$
$p \le q \le r$ より $3 \le 2q-3 \le 2r-3$ であるので,
$(2q-3, 2r-3) = (3, 3)$
$(q, r) = (3, 3)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (3, 3, 3)$
を得る.
以下, 省略.
授業で出題した問題（週末課題 No.08）
土日の部活も（自主練ですが）始まりました。まあ、それでも半日のみなので、午後からは帰宅してゆっくりと・・・力尽きて昼寝をしていました。
授業で、演習のクラスの生徒から課題を Classroom で提出させているのですが、体育館に行くと、学校の Wi-Fi が入らないので、全然チェックが出来ませんでした。なので、帰宅して、力尽きる前になんとか提出されていたものを全部チェックし、返却しました。
Rakuten UN-LIMIT にして、色々と実験していたところで、まだ今月になってから 6 日なのに、今月の通信容量がなくなる直前となっています。特に普段からは見るつもりもないのに、外出先で YouTube を観てみたり、Prime Video を観てみたり、色々と実験をしていたら、あっという間に容量がなくなりました。
ただ、実験をしていった結果、Prime Video はデータ節約モードでは観れないようです。公式に、 SD（標準画質）コンテンツの場合は1MB/s以上が必要だと出ていますし、節約モードや低速モードでは 1Mbps が上限なので、ここから不可能であることは分かるわけです。YouTube は画質が色々とあって、自動設定になっていれば、通信速度に合わせて画質が変更されるので、前述の 1Mbps のままでも快適に観れるような画質になります。なので、問題なく観ることができました。まあ、外で観ることも、ほとんどないんでしょうけど・・・
しかし、 Classroom はどれだけの速度がないと難しいのか？？普通にアクセスしたりするにはそんなに速度は必要ないと思うのですが、困ったのは提出されたレポートの確認のとき。恐らく、生徒が撮った写真の画質そのままの状態でダウンロードしているので・・・
って思って、調べてみたんですが、どの写真も、大きくても 1.7MB 程度。当然ですが、スマホで撮った程度の写真なので、そんなもんですよね。
でも、問題はそこではないんですよ。受信した画像を編集（赤ペンで採点、コメント入れ）をする際に、編集状態で開くことができないんですよ・・・これがどういう仕様になっているのか分かりませんが、まさか編集機能自体を毎回ダウンロードしている、なんて事は・・・流石にないと思いますが、だとしたら、何故開けないのでしょうか？？
今日も授業で出題した問題。(1), (2) は藤田医大、 (3) は甲南大の入試問題です。
次の問いに答えよ.
(1) 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある. $\mathrm{AB}=1$, $\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{CD}=12$, $\mathrm{DA}=9$ のとき, この四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ.
(2) $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ の $7$ 個の数字から, 異なる $4$ 個を選び出して並べ, $4$ 桁の整数を作るとき, $3600$ より大きい奇数の個数を求めよ.
(3) $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りを求めよ.
(1) 一般的な解法としては, 余弦定理, 相互関係の順に用いて面積を求める.
$\angle\mathrm{ABC}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{AC}^2=1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta$
$\mathrm{AC}^2=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
$65-16\cos\theta=225+216\cos\theta$
$-232\cos\theta=160$
$\cos\theta=-\dfrac{160}{232}=-\dfrac{20}{29}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2}=\dfrac{21}{29}$
であるので, $\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ とおくと,
$S=S_{ABC}+S_{CDA}$
$= \dfrac12 \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} \times \sin\theta + \dfrac12 \times \mathrm{CD} \times \mathrm{DA} \times \sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 1 \times 8 \times \dfrac{21}{29} + \dfrac12 \times 12 \times 9 \times \dfrac{21}{29}
= \dfrac{84+1134}{29}
= \dfrac{1218}{29}
= 42$.
もちろん, $\angle\mathrm{BCD}=\theta$ としても同様に解くことができる.
（別解）$\angle\mathrm{BCD}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{BD}^2=8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta$
$\mathrm{BD}^2=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
$208-192\cos\theta=82+18\cos\theta$
$-210\cos\theta=-126$
$\cos\theta=\dfrac{126}{210}=\dfrac{3}{5}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2} = \dfrac45$
であるので,
$S=S_{BCD}+S_{DAB}$
$= \dfrac12\times\mathrm{BC}\times\mathrm{CD}\times\sin\theta + \dfrac12\times\mathrm{DA}\times\mathrm{AB}\times\sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 8 \times 12 \times \dfrac45 + \dfrac12 \times 9 \times 1 \times \dfrac45 = \dfrac{192+18}{5} = \dfrac{210}{5} = 42$.
更に別解として, 一発で面積を求めることのできる公式がある.
Brahmagupta's formula (ブラーマグプタの公式)
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.
これを用いると,
$s=\dfrac{1+8+12+9}{2}=\dfrac{30}{2}=15$,
$S=\sqrt{(15-1)(15-8)(15-12)(15-9)}=\sqrt{14 \times 7 \times 3 \times 6}
= \sqrt{(2 \times 7) \times 3 \times (2 \times 3)} = 2 \times 3 \times 7 = 42$.
この公式自体は, 三角形の面積を求める Heron's formula (ヘロンの公式) の拡張であると考えることができる. 更に拡張して, 任意の四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求める Bretschneider's formula (ブレートシュナイダーの公式) が知られている.
Bretschneider's formula
四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.
この証明に関しては, なかなか (難しい, ではなく) 面倒なので, 機会があれば別のときに.
(2) この問題は, 場合分けをして考えていけば問題ない.
千の位が $4$ または $6$ のとき ($2$ 通り), 一の位は $1$, $3$, $5$ の $3$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.
千の位が $5$ のとき, 一の位は $1$, $3$ の $2$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.
千の位が $3$ のとき, 百の位は $6$, 一の位は $1$ または $5$ の $2$ 通り, 十の位は残りの $4$ 個があるので $4$ 通り.
以上より,
$2 \times 3 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 2 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 1 \times 2 \times 4 = 120 + 40 + 8 = 168$
より $168$ 通り.
(3) 私が想定した解法としては, 以下の通り.
$9^1\equiv9\pmod{100}$
$9^2\equiv81\pmod{100}$
$9^3\equiv81\times9=729\equiv29\pmod{100}$
$9^4\equiv29\times9=261\equiv61\pmod{100}$
$9^5\equiv61\times9=549\equiv49\pmod{100}$
$9^6\equiv49\times9=441\equiv41\pmod{100}$
$9^7\equiv41\times9=369\equiv69\pmod{100}$
$9^8\equiv69\times9=621\equiv21\pmod{100}$
$9^9\equiv21\times9=189\equiv89\pmod{100}$
$9^{10}\equiv89\times9=801\equiv1\pmod{100}$
より,
$9^{100} = (9^{10})^{10} \equiv 1^{10} = 1\pmod{100}$
であるので, 求める余りは $1$ である.
別解として, 数学 II で学んだ二項定理を用いる方法もある (出題した授業自体は数学 I・A を範囲としているのに, こっちで解いてきた生徒が非常に多かった).
$9^{100}=(10-1)^{100}=\displaystyle\sum_{r=0}^{100}{}_{100}\mathrm{C}_{r} \times 10^r \times (-1)^{100-r}$
ここで, $r\ge2$ のとき
$10^r=100\times10^{r-2}\equiv0\pmod{100}$
より $100$ の倍数, $r=1$ のとき
${}_{100}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{100}{1}=100$
より $100$ の倍数であるので, $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りは
$9^{100}\equiv{}_{100}\mathrm{C}_{0}\times10^0\times(-1)^{100}=1\pmod{100}$
であるので $1$ である.
授業で、演習のクラスの生徒から課題を Classroom で提出させているのですが、体育館に行くと、学校の Wi-Fi が入らないので、全然チェックが出来ませんでした。なので、帰宅して、力尽きる前になんとか提出されていたものを全部チェックし、返却しました。
Rakuten UN-LIMIT にして、色々と実験していたところで、まだ今月になってから 6 日なのに、今月の通信容量がなくなる直前となっています。特に普段からは見るつもりもないのに、外出先で YouTube を観てみたり、Prime Video を観てみたり、色々と実験をしていたら、あっという間に容量がなくなりました。
ただ、実験をしていった結果、Prime Video はデータ節約モードでは観れないようです。公式に、 SD（標準画質）コンテンツの場合は1MB/s以上が必要だと出ていますし、節約モードや低速モードでは 1Mbps が上限なので、ここから不可能であることは分かるわけです。YouTube は画質が色々とあって、自動設定になっていれば、通信速度に合わせて画質が変更されるので、前述の 1Mbps のままでも快適に観れるような画質になります。なので、問題なく観ることができました。まあ、外で観ることも、ほとんどないんでしょうけど・・・
しかし、 Classroom はどれだけの速度がないと難しいのか？？普通にアクセスしたりするにはそんなに速度は必要ないと思うのですが、困ったのは提出されたレポートの確認のとき。恐らく、生徒が撮った写真の画質そのままの状態でダウンロードしているので・・・
って思って、調べてみたんですが、どの写真も、大きくても 1.7MB 程度。当然ですが、スマホで撮った程度の写真なので、そんなもんですよね。
でも、問題はそこではないんですよ。受信した画像を編集（赤ペンで採点、コメント入れ）をする際に、編集状態で開くことができないんですよ・・・これがどういう仕様になっているのか分かりませんが、まさか編集機能自体を毎回ダウンロードしている、なんて事は・・・流石にないと思いますが、だとしたら、何故開けないのでしょうか？？
今日も授業で出題した問題。(1), (2) は藤田医大、 (3) は甲南大の入試問題です。
次の問いに答えよ.
(1) 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある. $\mathrm{AB}=1$, $\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{CD}=12$, $\mathrm{DA}=9$ のとき, この四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ.
(2) $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ の $7$ 個の数字から, 異なる $4$ 個を選び出して並べ, $4$ 桁の整数を作るとき, $3600$ より大きい奇数の個数を求めよ.
(3) $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りを求めよ.
(1) 一般的な解法としては, 余弦定理, 相互関係の順に用いて面積を求める.
$\angle\mathrm{ABC}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{AC}^2=1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta$
$\mathrm{AC}^2=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
$65-16\cos\theta=225+216\cos\theta$
$-232\cos\theta=160$
$\cos\theta=-\dfrac{160}{232}=-\dfrac{20}{29}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2}=\dfrac{21}{29}$
であるので, $\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ とおくと,
$S=S_{ABC}+S_{CDA}$
$= \dfrac12 \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} \times \sin\theta + \dfrac12 \times \mathrm{CD} \times \mathrm{DA} \times \sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 1 \times 8 \times \dfrac{21}{29} + \dfrac12 \times 12 \times 9 \times \dfrac{21}{29}
= \dfrac{84+1134}{29}
= \dfrac{1218}{29}
= 42$.
もちろん, $\angle\mathrm{BCD}=\theta$ としても同様に解くことができる.
（別解）$\angle\mathrm{BCD}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{BD}^2=8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta$
$\mathrm{BD}^2=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
$208-192\cos\theta=82+18\cos\theta$
$-210\cos\theta=-126$
$\cos\theta=\dfrac{126}{210}=\dfrac{3}{5}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2} = \dfrac45$
であるので,
$S=S_{BCD}+S_{DAB}$
$= \dfrac12\times\mathrm{BC}\times\mathrm{CD}\times\sin\theta + \dfrac12\times\mathrm{DA}\times\mathrm{AB}\times\sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 8 \times 12 \times \dfrac45 + \dfrac12 \times 9 \times 1 \times \dfrac45 = \dfrac{192+18}{5} = \dfrac{210}{5} = 42$.
更に別解として, 一発で面積を求めることのできる公式がある.
Brahmagupta's formula (ブラーマグプタの公式)
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.
これを用いると,
$s=\dfrac{1+8+12+9}{2}=\dfrac{30}{2}=15$,
$S=\sqrt{(15-1)(15-8)(15-12)(15-9)}=\sqrt{14 \times 7 \times 3 \times 6}
= \sqrt{(2 \times 7) \times 3 \times (2 \times 3)} = 2 \times 3 \times 7 = 42$.
この公式自体は, 三角形の面積を求める Heron's formula (ヘロンの公式) の拡張であると考えることができる. 更に拡張して, 任意の四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求める Bretschneider's formula (ブレートシュナイダーの公式) が知られている.
Bretschneider's formula
四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.
この証明に関しては, なかなか (難しい, ではなく) 面倒なので, 機会があれば別のときに.
(2) この問題は, 場合分けをして考えていけば問題ない.
千の位が $4$ または $6$ のとき ($2$ 通り), 一の位は $1$, $3$, $5$ の $3$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.
千の位が $5$ のとき, 一の位は $1$, $3$ の $2$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.
千の位が $3$ のとき, 百の位は $6$, 一の位は $1$ または $5$ の $2$ 通り, 十の位は残りの $4$ 個があるので $4$ 通り.
以上より,
$2 \times 3 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 2 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 1 \times 2 \times 4 = 120 + 40 + 8 = 168$
より $168$ 通り.
(3) 私が想定した解法としては, 以下の通り.
$9^1\equiv9\pmod{100}$
$9^2\equiv81\pmod{100}$
$9^3\equiv81\times9=729\equiv29\pmod{100}$
$9^4\equiv29\times9=261\equiv61\pmod{100}$
$9^5\equiv61\times9=549\equiv49\pmod{100}$
$9^6\equiv49\times9=441\equiv41\pmod{100}$
$9^7\equiv41\times9=369\equiv69\pmod{100}$
$9^8\equiv69\times9=621\equiv21\pmod{100}$
$9^9\equiv21\times9=189\equiv89\pmod{100}$
$9^{10}\equiv89\times9=801\equiv1\pmod{100}$
より,
$9^{100} = (9^{10})^{10} \equiv 1^{10} = 1\pmod{100}$
であるので, 求める余りは $1$ である.
別解として, 数学 II で学んだ二項定理を用いる方法もある (出題した授業自体は数学 I・A を範囲としているのに, こっちで解いてきた生徒が非常に多かった).
$9^{100}=(10-1)^{100}=\displaystyle\sum_{r=0}^{100}{}_{100}\mathrm{C}_{r} \times 10^r \times (-1)^{100-r}$
ここで, $r\ge2$ のとき
$10^r=100\times10^{r-2}\equiv0\pmod{100}$
より $100$ の倍数, $r=1$ のとき
${}_{100}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{100}{1}=100$
より $100$ の倍数であるので, $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りは
$9^{100}\equiv{}_{100}\mathrm{C}_{0}\times10^0\times(-1)^{100}=1\pmod{100}$
であるので $1$ である.
授業で出題した問題（平日課題 No.07)
６時間授業の１週間が終わりました。
約３ヶ月間も授業をしていなかったからか、やはりペースが戻らない。ペースが分からないのか、授業をする体力が無くなっているのか・・・５０分の授業をすると、それだけでもうぐったりとしてしまう・・・
そして、来週からは３学年、即ち全校生徒が登校してくる・・・それでも、昼休みにはクラスの生徒の行動を見張る為に、昼食も食べずに教室に行かなくてはならないし、放課後には生徒に清掃をさせられないということで、担任が１人で掃除をするという・・・
そりゃ、感染対策とか、三密を避けるとか、分かりますけど、それによる担任への負担増が過ぎませんか？？
今回も授業で出題した問題。 2020 年の大阪学院大の入試問題で、絶対値を含む方程式の問題。絶対値記号の外し方をちゃんと分かっているかが問われるところ。
次の問いに答えよ.
(1) $x+|x+1|+|x-1|=6$ を解け.
(2) $|x-|x-1||=1$ を解け.
(3) $|x-|x-1||=\dfrac14x+a$ が異なる $3$ つの解をもつとき, 定数 $a$ がとる範囲を求めよ.
(1) 絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値は $x=-1$, $1$ である.
(i) $x<-1$ のとき, $x+1<0$, $x-1<0$ であるので,
$x-(x+1)-(x-1) = 6$
$-x = 6$
$x = -6$
これは $x<-1$ を満たす.
(ii) $-1\le x<1$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1<0$ であるので,
$x+(x+1)-(x-1) = 6$
$x+2 = 6$
$x = 4$
これは $-1\le x<1$ を満たさない.
(iii) $1\le x$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1\ge0$ であるので,
$x+(x+1)+(x-1) = 6$
$3x = 6$
$x = 2$
これは $1\le x$ を満たす.
(i), (ii), (iii) より, $x=-6, 2$ である.
(2) それぞれの絶対値で順に場合分けをしていく.
(i) $x-1\ge0$ 即ち $x\ge1$ のとき
$|x-(x-1)|=1$
$|1|=1$
これはすべての実数で成り立つので, $x\ge1$ である.
(ii) $x-1<0$ 即ち $x<1$ のとき
$|x+(x-1)|=1$
$|2x-1|=1$
(ii-i) $2x-1\ge0$ 即ち $x\ge\dfrac12$ のとき
$2x-1=1$
$x=1$
であるが, これは $\dfrac12\le x<1$ であるので不適.
(ii-ii) $2x-1<0$ 即ち $x<\dfrac12$ のとき
$-(2x-1)=1$
$x=0$
であり, これは $x<\dfrac12$ を満たす.
以上より, $x=0$, $x\ge1$ である.
(3) (2) と同様に場合分けをして考える.
(i) $x<\dfrac12$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$-(2x-1)=\dfrac14x+a$
$-2x+1=\dfrac14x+a$
$-\dfrac94x=a-1$
$x=-\dfrac49(a-1)$
(ii) $\dfrac12\le x<1$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$2x-1=\dfrac14x+a$
$\dfrac74x=a+1$
$x=\dfrac47(a+1)$
(iii) $1\le x$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x-(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|1|=\dfrac14x+a$
$-\dfrac14x=a-1$
$x=-4(a-1)$
これより, 異なる $3$ つの解をもつためには, (i), (ii), (iii) それぞれが解をもつときである. よって,
$
\begin{cases}
-\dfrac49(a-1)<\dfrac12 \\
\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1 \\
1 \le -4(a-1)
\end{cases}
$
を同時に満たす.
第 $1$ 式より
$-\dfrac49(a-1)<\dfrac12$
$a-1>-\dfrac98$
$a>-\dfrac18$
第 $2$ 式より
$\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1$
$\dfrac78 \le a+1 < \dfrac74$
$-\dfrac18 \le a < \dfrac34$
第 $3$ 式より
$1 \le -4(a-1)$
$-\dfrac14 \ge a-1$
$\dfrac34 \ge a$
以上より, $-\dfrac18<a<\dfrac34$ である.
これが, 「絶対値は場合分け」という考え方に基づく一般的な解法である. が, もっと分かりやすい解法が, 「関数のグラフを考える」である.
(2) $f(x)=|x-|x-1||$ とおく.
先程の解法と同様に場合分けをすると,
$
f(x)=
\begin{cases}
-2x+1 & (x<\frac12) \\
2x-1 & (\frac12 \le x < 1) \\
1 & (1 \le x)
\end{cases}
$
である. これより, グラフは以下の通りである.
これより, $y=1$ との共有点は...
グラフより, $x=0$, $x\ge1$ である.
(3) 同様に, $g(x)=\dfrac14x+1$ とおくと, 方程式の解は $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点である.
このグラフより, 傾き $\dfrac14$ の直線と $3$ つの共有点をもつための必要十分条件は, $\dfrac12 < x < 1$ の範囲で共有点をもつときである.
これらの条件を満たすための必要十分条件は, $g\left(\frac12\right)>0$ かつ $g(1)<1$ が成り立つことである.
$g\left(\frac12\right) > 0$
$\dfrac14 \times \dfrac12 + a > 0$
$a > -\dfrac18$,
$g(1) < 1$
$\dfrac14 \times 1 + a < 1$
$a < \dfrac34$
以上より, $-\dfrac18 < a < \dfrac34$.
約３ヶ月間も授業をしていなかったからか、やはりペースが戻らない。ペースが分からないのか、授業をする体力が無くなっているのか・・・５０分の授業をすると、それだけでもうぐったりとしてしまう・・・
そして、来週からは３学年、即ち全校生徒が登校してくる・・・それでも、昼休みにはクラスの生徒の行動を見張る為に、昼食も食べずに教室に行かなくてはならないし、放課後には生徒に清掃をさせられないということで、担任が１人で掃除をするという・・・
そりゃ、感染対策とか、三密を避けるとか、分かりますけど、それによる担任への負担増が過ぎませんか？？
今回も授業で出題した問題。 2020 年の大阪学院大の入試問題で、絶対値を含む方程式の問題。絶対値記号の外し方をちゃんと分かっているかが問われるところ。
次の問いに答えよ.
(1) $x+|x+1|+|x-1|=6$ を解け.
(2) $|x-|x-1||=1$ を解け.
(3) $|x-|x-1||=\dfrac14x+a$ が異なる $3$ つの解をもつとき, 定数 $a$ がとる範囲を求めよ.
(1) 絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値は $x=-1$, $1$ である.
(i) $x<-1$ のとき, $x+1<0$, $x-1<0$ であるので,
$x-(x+1)-(x-1) = 6$
$-x = 6$
$x = -6$
これは $x<-1$ を満たす.
(ii) $-1\le x<1$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1<0$ であるので,
$x+(x+1)-(x-1) = 6$
$x+2 = 6$
$x = 4$
これは $-1\le x<1$ を満たさない.
(iii) $1\le x$ のとき, $x+1\ge0$, $x-1\ge0$ であるので,
$x+(x+1)+(x-1) = 6$
$3x = 6$
$x = 2$
これは $1\le x$ を満たす.
(i), (ii), (iii) より, $x=-6, 2$ である.
(2) それぞれの絶対値で順に場合分けをしていく.
(i) $x-1\ge0$ 即ち $x\ge1$ のとき
$|x-(x-1)|=1$
$|1|=1$
これはすべての実数で成り立つので, $x\ge1$ である.
(ii) $x-1<0$ 即ち $x<1$ のとき
$|x+(x-1)|=1$
$|2x-1|=1$
(ii-i) $2x-1\ge0$ 即ち $x\ge\dfrac12$ のとき
$2x-1=1$
$x=1$
であるが, これは $\dfrac12\le x<1$ であるので不適.
(ii-ii) $2x-1<0$ 即ち $x<\dfrac12$ のとき
$-(2x-1)=1$
$x=0$
であり, これは $x<\dfrac12$ を満たす.
以上より, $x=0$, $x\ge1$ である.
(3) (2) と同様に場合分けをして考える.
(i) $x<\dfrac12$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$-(2x-1)=\dfrac14x+a$
$-2x+1=\dfrac14x+a$
$-\dfrac94x=a-1$
$x=-\dfrac49(a-1)$
(ii) $\dfrac12\le x<1$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x+(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|2x-1|=\dfrac14x+a$
$2x-1=\dfrac14x+a$
$\dfrac74x=a+1$
$x=\dfrac47(a+1)$
(iii) $1\le x$ のとき,
$|x-|x-1||=\dfrac14x+a$
$|x-(x-1)|=\dfrac14x+a$
$|1|=\dfrac14x+a$
$-\dfrac14x=a-1$
$x=-4(a-1)$
これより, 異なる $3$ つの解をもつためには, (i), (ii), (iii) それぞれが解をもつときである. よって,
$
\begin{cases}
-\dfrac49(a-1)<\dfrac12 \\
\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1 \\
1 \le -4(a-1)
\end{cases}
$
を同時に満たす.
第 $1$ 式より
$-\dfrac49(a-1)<\dfrac12$
$a-1>-\dfrac98$
$a>-\dfrac18$
第 $2$ 式より
$\dfrac12 \le \dfrac47(a+1) < 1$
$\dfrac78 \le a+1 < \dfrac74$
$-\dfrac18 \le a < \dfrac34$
第 $3$ 式より
$1 \le -4(a-1)$
$-\dfrac14 \ge a-1$
$\dfrac34 \ge a$
以上より, $-\dfrac18<a<\dfrac34$ である.
これが, 「絶対値は場合分け」という考え方に基づく一般的な解法である. が, もっと分かりやすい解法が, 「関数のグラフを考える」である.
(2) $f(x)=|x-|x-1||$ とおく.
先程の解法と同様に場合分けをすると,
$
f(x)=
\begin{cases}
-2x+1 & (x<\frac12) \\
2x-1 & (\frac12 \le x < 1) \\
1 & (1 \le x)
\end{cases}
$
である. これより, グラフは以下の通りである.
これより, $y=1$ との共有点は...
グラフより, $x=0$, $x\ge1$ である.
(3) 同様に, $g(x)=\dfrac14x+1$ とおくと, 方程式の解は $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点である.
このグラフより, 傾き $\dfrac14$ の直線と $3$ つの共有点をもつための必要十分条件は, $\dfrac12 < x < 1$ の範囲で共有点をもつときである.
これらの条件を満たすための必要十分条件は, $g\left(\frac12\right)>0$ かつ $g(1)<1$ が成り立つことである.
$g\left(\frac12\right) > 0$
$\dfrac14 \times \dfrac12 + a > 0$
$a > -\dfrac18$,
$g(1) < 1$
$\dfrac14 \times 1 + a < 1$
$a < \dfrac34$
以上より, $-\dfrac18 < a < \dfrac34$.
正 n 角形の対角線の積
本日から、部活動が再開されました。とはいえ、まだ分散登校中なので、登校している学年のみの部活なのですが・・・
１年生を、初めて見ました。だって、今年は１年生の授業をもっていないものでして・・・
正確に言えば、１学年の登校日とかに、サポートで特定のクラスに行ったときに見ているのですが、その中のどの子が部員なのかは分かりませんでしたから・・・
３年生が９人、２年生が１８人、１年生が１２人と、合計で３９人に・・・
世間ではインターハイがなくなり、３年生の最後の大会がなくなり、というように話題になっていますが、この人数で大会に行ってたら、もう大変だったんでしょうね・・・
先日、インターネットで見つけた面白い問題。幾何学的な性質です。なんとなく、正六角形のときについては聞いたことがありましたが、一般の正 $n$ 角形でも成り立っていたんですね。
半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の $1$ 点からそれ以外の点への線分（辺および対角線）を引く. このとき, これら $n-1$ 本の線分の長さの積は $n$ である.
ちょっと分かりにくい内容なので, 具体的に確認してみる.
$n=3$ のとき, 正三角形になる. $1$ 辺の長さは $\sqrt3$ であるので,
$\sqrt3 \times \sqrt3 = 3$
である.
$n=4$ のとき, 正方形になる. $1$ 辺の長さは $\sqrt2$ であるので,
$\sqrt2 \times 2 \times \sqrt2 = 4$
である.
では, 一般の場合を考えて, 証明していく.
Definition 1.
$3$ 以上の整数 $n$ に対し, $\omega$ を $1$ の $n$ 乗根のうち, 偏角が正で最小のものとする.
Theorem 2.
$1$, $\omega$, $\omega^2$, ... , $\omega^{n-1}$
はすべて $1$ の $n$ 乗根である.
(Proof)
$(\omega^k)^n = \omega^{kn} = (\omega^n)^k = 1^k = 1$
より成り立つ${}_{\square}$
Definition 3.
$z$ についての多項式 $P(z)$ を
$P(z) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}z^k$
と定義する.
Theorem 4.
$P(z)$ を因数分解すると
$P(z) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$
である.
(Proof)
定義より
$P(z) = 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\dots+\omega^{n-1} = \dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}$
である. これと Theorem 2. より $k=1, 2, \dots, n-1$ のとき
$P(\omega^k) = \dfrac{1-1}{1-\omega} = 0$
である. 因数定理より, $P(z)$ は $z-\omega^k$ ($k=1, 2, ..., n-1$) を因数にもつことが分かる. 即ち $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$ を因数にもつ.
定義より, $\deg(P(z)) = n-1$ であり, 積の個数より $\deg\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)\right)=n-1$ であるので, $P(z)$ は $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$ の定数倍である.
最高次係数を比較すると, どちらも $1$ であるので,
$P(z) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$
である${}_{\square}$
$1$, $\omega$, $\omega^2$, ..., $\omega^{n-1}$ は複素数平面上の単位円上の $n$ 個の点である. これより, 証明すべき式は,
$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|=n$
である.
$T=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|$ とおくと,
$T^2=\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|\right)^2$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|^2$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)(\overline{\omega^k-1})$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)(\omega^{n-k}-1)$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1) \times \prod_{k=1}^{n-1}(\omega^{n-k}-1)$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1) \times \prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)$
$= P(1) \times P(1)$
$= \left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}1^k\right)^2$
$= n^2$
$T$ は絶対値の積なので正であるから
$T = n$
が成り立つ${}_{\square}$
１年生を、初めて見ました。だって、今年は１年生の授業をもっていないものでして・・・
正確に言えば、１学年の登校日とかに、サポートで特定のクラスに行ったときに見ているのですが、その中のどの子が部員なのかは分かりませんでしたから・・・
３年生が９人、２年生が１８人、１年生が１２人と、合計で３９人に・・・
世間ではインターハイがなくなり、３年生の最後の大会がなくなり、というように話題になっていますが、この人数で大会に行ってたら、もう大変だったんでしょうね・・・
先日、インターネットで見つけた面白い問題。幾何学的な性質です。なんとなく、正六角形のときについては聞いたことがありましたが、一般の正 $n$ 角形でも成り立っていたんですね。
半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の $1$ 点からそれ以外の点への線分（辺および対角線）を引く. このとき, これら $n-1$ 本の線分の長さの積は $n$ である.
ちょっと分かりにくい内容なので, 具体的に確認してみる.
$n=3$ のとき, 正三角形になる. $1$ 辺の長さは $\sqrt3$ であるので,
$\sqrt3 \times \sqrt3 = 3$
である.
$n=4$ のとき, 正方形になる. $1$ 辺の長さは $\sqrt2$ であるので,
$\sqrt2 \times 2 \times \sqrt2 = 4$
である.
では, 一般の場合を考えて, 証明していく.
Definition 1.
$3$ 以上の整数 $n$ に対し, $\omega$ を $1$ の $n$ 乗根のうち, 偏角が正で最小のものとする.
Theorem 2.
$1$, $\omega$, $\omega^2$, ... , $\omega^{n-1}$
はすべて $1$ の $n$ 乗根である.
(Proof)
$(\omega^k)^n = \omega^{kn} = (\omega^n)^k = 1^k = 1$
より成り立つ${}_{\square}$
Definition 3.
$z$ についての多項式 $P(z)$ を
$P(z) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}z^k$
と定義する.
Theorem 4.
$P(z)$ を因数分解すると
$P(z) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$
である.
(Proof)
定義より
$P(z) = 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\dots+\omega^{n-1} = \dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}$
である. これと Theorem 2. より $k=1, 2, \dots, n-1$ のとき
$P(\omega^k) = \dfrac{1-1}{1-\omega} = 0$
である. 因数定理より, $P(z)$ は $z-\omega^k$ ($k=1, 2, ..., n-1$) を因数にもつことが分かる. 即ち $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$ を因数にもつ.
定義より, $\deg(P(z)) = n-1$ であり, 積の個数より $\deg\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)\right)=n-1$ であるので, $P(z)$ は $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$ の定数倍である.
最高次係数を比較すると, どちらも $1$ であるので,
$P(z) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$
である${}_{\square}$
$1$, $\omega$, $\omega^2$, ..., $\omega^{n-1}$ は複素数平面上の単位円上の $n$ 個の点である. これより, 証明すべき式は,
$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|=n$
である.
$T=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|$ とおくと,
$T^2=\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|\right)^2$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|\omega^k-1|^2$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)(\overline{\omega^k-1})$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)(\omega^{n-k}-1)$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1) \times \prod_{k=1}^{n-1}(\omega^{n-k}-1)$
$= \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1) \times \prod_{k=1}^{n-1}(\omega^k-1)$
$= P(1) \times P(1)$
$= \left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}1^k\right)^2$
$= n^2$
$T$ は絶対値の積なので正であるから
$T = n$
が成り立つ${}_{\square}$
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