一昨日の夜、同寮と一緒に隣の市で焼肉を食べました。
ただ、もう若くはない我々なので、食べ放題はキツかった・・・
それが原因か、昨日の朝７時に寮のチャイムが鳴ると同時に、足をつって目が覚めました。
所謂、こむら返りと呼ばれるヤツと考えて、間違いないのだと思います。
多分、食べ過ぎとか、栄養バランスとか・・・
そんなわけで、昨日は１日空きができました。
なので、ちょいとお出かけを。
某県庁所在地にある、南高校に行ってきました。
その高校の学園祭がある、っていう情報を消息筋（学校HP）から入手したので。
先日も書きましたが、私は生徒会も担当しています。
まあ、メインではなく、サブなのですが・・・
勤務校もあと１ヶ月少々で学園祭がありますので、他校はどんな企画をやっているのかを調べに行こうかと・・・
思ったってのも少しありますが、本当の理由はそれ以外にあります。
私が“センセー”と呼ばれる仕事をした初めての職場での同僚と、懲りずに“センセー”と呼ばれ続けていた昨年度の同僚が、今年４月に同時に同じ学校に異動になったので、これは会いに行かねば！！って事で行きました。
結局、１人にしか会えませんでしたが、それ以上に面白いものを見つけました。
SSHに選ばれている学校なだけあって、理系の課題研究（？）の発表もありました。
そんな中で見た、高校生が頑張って考えていた問題があったので、私もそのうち時間ができたら考えてみたいと思います。
そういえばこの高校、今の職場の同僚の母校でもありました。
その同僚から先日、この問題はどうやって解きますか、と聞かれた問題。
その場で解いたので、正確には覚えていませんが・・・
$xyz=1$ のとき,
$\frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2z}{z+zx+1}$
の値を求めよ.
ってな感じだったと思います。
最近ずっと挙げていた入試問題、旧帝大も３大学が終わったので、ここで一旦一休みして、たまには息抜きにこんな問題への考え方を書いておきます。
まず、この問題を見たときに、最初に気づくこと.
“$x$ と $y$ と $z$ がサイクルになってるな”
対称式とか交代式とはちょっと違うのですが, $x \mapsto y \mapsto z \mapsto x$ と置換したとき, 全体としては値が変わらない.
ということは, 同じ作用を施して, 何か都合のいい形になるのかな.
（具体的に, $1$ 項目の分子・分母には $\times x$, $2$ 項目の分子・分母には $\times y$, $3$ 項目の分子・分母には $\times z$ というように, 作用自体もサイクルさせますが）
と思ったのですが, 分母が $x+xy+1$ という, 対称性がなさそうな形になっています.
ということで, 同じ作用をそれぞれに施す, というのはちょっと諦めました.
で, 次に考えたのが, 条件式の $xyz=1$ を使う.
通常, この手の条件式では, $z=\frac1{xy}$ を代入することで簡単になる, という問題が多いので, それを試してみる.
$\frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2z}{z+zx+1}$
$= \frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2y}{y+\frac1x+1}+\frac{\frac2{xy}}{\frac1{xy}+\frac1y+1}$
$= \frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2xy}{xy+1+x}+\frac{2}{1+x+xy}$
$= \frac{2(x+xy+1)}{x+xy+1}$
$= 2$.
こんな感じで解ける問題だったわけです.
ですが, 実は私も, 最初に思いついた解法はこんなのではなく...
$\frac{2x}{x+xy+1}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2z}{z+zx+1}$
$= \frac{2}{1+y+\frac1x}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2yz}{yz+xyz+y}$
$= \frac{2}{1+y+yz}+\frac{2y}{y+yz+1}+\frac{2yz}{yz+1+y}$
$= \frac{2(1+y+yz)}{1+y+yz}$
$= 2$
だったのでした.
まあ, 本質的には何も違わないのですが...
東北大学・理系（２０１７年）
学校という環境で、１週間という単位で区切ってスケジュールを考える際に、非常に重要になってくるのが、時間割です。
生徒のときは、結局毎日６時間目まで（学校によっては７時間目まで）あるので、そんなに気にしていなかったのですが、教員になって、特に今の勤務校に来てからは、非常に重要性を痛感しています。
数学は単位数が比較的多い教科なので、ある程度は仕方ないのですが・・・
５単位ある授業で、週５日ある授業なら、普通に考えて１時間／日で時間割を作成すると思うのですが、１０月からの時間割案が出てきて、それを見ると、あるクラスの数学が、
・月曜 なし
・火曜 ２時間（連続）
・水曜 ２時間（間に２時間挟む）
・木曜 １時間
・金曜 なし
なんていう、非常にバランスの悪い時間の組み方になっています。
何故、こんな時間しか組めないのでしょうか？
そりゃ、この学校、特性というか、変なシステムを取ってることが多いので、時間割に制約が出て来るのは仕方ないのですが・・・
時間割を作ってる教務のある先生の時間を抽出してみると、バランスよく授業が散らばって、程よく休憩も取れそうな時間になってるように見えますけど、それは偶然なんですよね？？
東北大学も今日で最後となります。
ガッツリと積分の問題です。
ただ、そんなに珍しいものではなく、よくある問題、って感じですね。
$a$, $b$, $c$ を実数とし,
$I(a, b) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$,
$J(a, b, c) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bx\sin cxdx$
とおく.
ただし, $a\neq0$ とする.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1)
$I(a, b)$ を求めよ.
(2)
$J(a, b, c)$ を $I(a, b+c)$ と $I(a, b-c)$ を用いて表せ.
(3)
次の極限を求めよ.
$\lim_{t\to\infty}8\int_0^{\frac{\pi}2}e^x\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4txdx$
---解答例---
(1)
$I(a, b) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}\frac1a(e^{ax})'\cos bxdx$
$= \left[\frac1ae^{ax}\cos bx\right]_0^{\frac{\pi}2}-\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{b}ae^{ax}(-\sin bx)dx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}a\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bxdx$,
ここで,
$\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bxdx = \int_0^{\frac{\pi}2}\frac1a(e^{ax})'\sin bxdx$
$= \left[\frac1ae^{ax}\sin bx\right]_0^{\frac{\pi}2}-\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{b}ae^{ax}\cos bxdx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}a\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}aI(a, b)$
であるので,
$I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}a\left(\frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}aI(a, b)\right)$
$I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b^2}{a^2}I(a, b)$
$\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi$
$\frac{a^2+b^2}{a^2}I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi$
$I(a, b) = \frac{a}{a^2+b^2}e^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi+\frac{b}{a^2+b^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{a}{a^2+b^2}$.
(2)
加法定理より
$\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$
であるので,
$J(a, b, c) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bx\sin cxdx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\{\cos(b-c)x-\cos(b+c)x\}dx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos(b-c)xdx-\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos(b+c)xdx$
$= I(a, b-c)-I(a, b+c)$.
(3)
加法定理より
$2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$
$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)$
であるので
$8\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4tx = 2(\cos tx-\cos3tx)(\cos tx+\cos7tx)$
$= 2\cos tx\cos tx+2\cos tx\cos7tx-2\cos3tx\cos tx-2\cos3tx\cos7tx$
$= \cos0+\cos2tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos2tx-\cos4tx-\cos4tx-\cos10tx$
$= 1-2\cos4tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos10tx$
であるので,
$\lim_{t\to\infty}8\int_0^{\frac{\pi}2}e^x\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4txdx = \lim_{t\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}2}e^x(1-2\cos4tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos10tx)dx$
$= \lim_{t\to\infty}\left(\int_0^{\frac{\pi}2}e^xdx-2I(1,4t)+I(1,6t)+I(1,8t)-I(1,10t)\right) = (*)$
である.
ここで, (1) より
$\lim_{t\to\infty}I(1,nt) = \frac1{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\cos\frac{nx}2\pi+\frac{nt}{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\sin\frac{nt}2\pi-\frac1{1+n^2t^2}$
であり,
$-\frac1{1+n^2t^2} \le \frac1{1+n^2t^2}\cos\frac{nt}2\pi\le\frac1{1+n^2t^2}$
$-\frac{nt}{1+n^2t^2} \le \frac{nt}{1+n^2t^2}\cos\frac{nt}2\pi \le \frac{nt}{1+n^2t^2}$
であり,
$\lim_{t\to\infty}\frac{\pm1}{1+n^2t^2} = \lim_{t\to\infty}\frac{\pm\frac1{t^2}}{\frac1{t^2}+n^2}$ $\lim_{t\to\infty}\frac{\pm nt}{1+n^2t^2} = \lim_{t\to\infty}\frac{\pm\frac{n}{t}}{\frac1{t^2}+n^2}$
$= \frac{\pm0}{0+n^2} = 0$, $= \frac{\pm0}{0+n^2} = 0$
であるので, はさみうちの原理より
$\lim_{t\to\infty}\frac1{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\cos\frac{nx}2\pi = 0$, \lim_{t\to\infty}\frac{nt}{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\sin\frac{nt}2\pi = 0$, \lim_{t\to\infty}\frac1{1+n^2t^2} = 0$
であるので,
$\lim_{t\to\infty}I(1, nt) = 0$
である.
これより,
$(*) = \lim_{t\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}2}e^xdx$
$= \biggl[e^x\biggr]_0^{\frac{\pi}2}$
$= e^{\frac{\pi}2}-1$.
生徒のときは、結局毎日６時間目まで（学校によっては７時間目まで）あるので、そんなに気にしていなかったのですが、教員になって、特に今の勤務校に来てからは、非常に重要性を痛感しています。
数学は単位数が比較的多い教科なので、ある程度は仕方ないのですが・・・
５単位ある授業で、週５日ある授業なら、普通に考えて１時間／日で時間割を作成すると思うのですが、１０月からの時間割案が出てきて、それを見ると、あるクラスの数学が、
・月曜 なし
・火曜 ２時間（連続）
・水曜 ２時間（間に２時間挟む）
・木曜 １時間
・金曜 なし
なんていう、非常にバランスの悪い時間の組み方になっています。
何故、こんな時間しか組めないのでしょうか？
そりゃ、この学校、特性というか、変なシステムを取ってることが多いので、時間割に制約が出て来るのは仕方ないのですが・・・
時間割を作ってる教務のある先生の時間を抽出してみると、バランスよく授業が散らばって、程よく休憩も取れそうな時間になってるように見えますけど、それは偶然なんですよね？？
東北大学も今日で最後となります。
ガッツリと積分の問題です。
ただ、そんなに珍しいものではなく、よくある問題、って感じですね。
$a$, $b$, $c$ を実数とし,
$I(a, b) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$,
$J(a, b, c) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bx\sin cxdx$
とおく.
ただし, $a\neq0$ とする.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1)
$I(a, b)$ を求めよ.
(2)
$J(a, b, c)$ を $I(a, b+c)$ と $I(a, b-c)$ を用いて表せ.
(3)
次の極限を求めよ.
$\lim_{t\to\infty}8\int_0^{\frac{\pi}2}e^x\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4txdx$
---解答例---
(1)
$I(a, b) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}\frac1a(e^{ax})'\cos bxdx$
$= \left[\frac1ae^{ax}\cos bx\right]_0^{\frac{\pi}2}-\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{b}ae^{ax}(-\sin bx)dx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}a\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bxdx$,
ここで,
$\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bxdx = \int_0^{\frac{\pi}2}\frac1a(e^{ax})'\sin bxdx$
$= \left[\frac1ae^{ax}\sin bx\right]_0^{\frac{\pi}2}-\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{b}ae^{ax}\cos bxdx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}a\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos bxdx$
$= \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}aI(a, b)$
であるので,
$I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}a\left(\frac1ae^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b}aI(a, b)\right)$
$I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{b^2}{a^2}I(a, b)$
$\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi$
$\frac{a^2+b^2}{a^2}I(a, b) = \frac1ae^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi-\frac1a+\frac{b}{a^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi$
$I(a, b) = \frac{a}{a^2+b^2}e^{\frac{a}2\pi}\cos\frac{b}2\pi+\frac{b}{a^2+b^2}e^{\frac{a}2\pi}\sin\frac{b}2\pi-\frac{a}{a^2+b^2}$.
(2)
加法定理より
$\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$
であるので,
$J(a, b, c) = \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\sin bx\sin cxdx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\{\cos(b-c)x-\cos(b+c)x\}dx$
$= \int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos(b-c)xdx-\int_0^{\frac{\pi}2}e^{ax}\cos(b+c)xdx$
$= I(a, b-c)-I(a, b+c)$.
(3)
加法定理より
$2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$
$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)$
であるので
$8\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4tx = 2(\cos tx-\cos3tx)(\cos tx+\cos7tx)$
$= 2\cos tx\cos tx+2\cos tx\cos7tx-2\cos3tx\cos tx-2\cos3tx\cos7tx$
$= \cos0+\cos2tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos2tx-\cos4tx-\cos4tx-\cos10tx$
$= 1-2\cos4tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos10tx$
であるので,
$\lim_{t\to\infty}8\int_0^{\frac{\pi}2}e^x\sin tx\sin2tx\cos3tx\cos4txdx = \lim_{t\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}2}e^x(1-2\cos4tx+\cos6tx+\cos8tx-\cos10tx)dx$
$= \lim_{t\to\infty}\left(\int_0^{\frac{\pi}2}e^xdx-2I(1,4t)+I(1,6t)+I(1,8t)-I(1,10t)\right) = (*)$
である.
ここで, (1) より
$\lim_{t\to\infty}I(1,nt) = \frac1{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\cos\frac{nx}2\pi+\frac{nt}{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\sin\frac{nt}2\pi-\frac1{1+n^2t^2}$
であり,
$-\frac1{1+n^2t^2} \le \frac1{1+n^2t^2}\cos\frac{nt}2\pi\le\frac1{1+n^2t^2}$
$-\frac{nt}{1+n^2t^2} \le \frac{nt}{1+n^2t^2}\cos\frac{nt}2\pi \le \frac{nt}{1+n^2t^2}$
であり,
$\lim_{t\to\infty}\frac{\pm1}{1+n^2t^2} = \lim_{t\to\infty}\frac{\pm\frac1{t^2}}{\frac1{t^2}+n^2}$ $\lim_{t\to\infty}\frac{\pm nt}{1+n^2t^2} = \lim_{t\to\infty}\frac{\pm\frac{n}{t}}{\frac1{t^2}+n^2}$
$= \frac{\pm0}{0+n^2} = 0$, $= \frac{\pm0}{0+n^2} = 0$
であるので, はさみうちの原理より
$\lim_{t\to\infty}\frac1{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\cos\frac{nx}2\pi = 0$, \lim_{t\to\infty}\frac{nt}{1+n^2t^2}e^{\frac{\pi}2}\sin\frac{nt}2\pi = 0$, \lim_{t\to\infty}\frac1{1+n^2t^2} = 0$
であるので,
$\lim_{t\to\infty}I(1, nt) = 0$
である.
これより,
$(*) = \lim_{t\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}2}e^xdx$
$= \biggl[e^x\biggr]_0^{\frac{\pi}2}$
$= e^{\frac{\pi}2}-1$.
東北大学・理系（２０１７年）
昨日もちょっと書いた、新型リーフの話。
昨日の仕事終わりに、ひとっ走り行きつけの日産へ行ってきました。
そこの店舗は、配送屋が何を間違えたのか、営業店が休みだと勘違いして配送に来なかった、と。
で、配送屋に電話をして持ってきて貰った直後に私が到着した、と。
まあ、私としては無事に入手できたので問題なかったのですが、奥で１人、怒り気味に電話していましたね・・・
発売日が１０月２日らしいですが、試乗するのが楽しみですね。
今日は、東北大学の第５問。
１つ前のカリキュラムではやってなかった複素数。
正確には、数学IIで、「こんなのもあるよー」くらいにやってたのですが。
で、複素数の計算の問題。
ただただ力技で計算するだけ、って感じでした。
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ を複素数とし,
$z\overline{z}+\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma = 0 \cdots(*)$
を満たす複素数 $z$ を考える.
以下の問いに答えよ.
(1) $z$ は
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma} = 0$
を満たすことを示せ.
(2)
$|\alpha|=|\beta|\neq0$ と仮定し, また $\gamma$ は負の実数であると仮定する.
このとき, $(*)$ を満たす $z$ がちょうど $2$ 個あるための必要十分条件を
$\alpha$, $\beta$ を用いて表せ.
---解答例---
(1)
仮定より
$z\overline{z}+\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma = 0$
$z\overline{z}+\overline{\alpha}\overline{z}+\overline{\beta}z+\overline{\gamma} = 0$
この $2$ 式の差をとると,
$\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma-\overline{\alpha}\overline{z}+\overline{\beta}z-\overline{\gamma} = 0$
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma} = 0$
より成り立つ.
(2)
$\gamma<0$ より $\overline{\gamma}=\gamma$ であるので, (1) より
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z} = 0$
$(\alpha-\overline{\beta})z = (\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}$
$(\alpha-\overline{\beta})z = \overline{(\alpha-\overline{\beta})z}$
となる.
これより, $(\alpha-\overline{\beta})z$ も実数である.
case.1. $\alpha=\overline{\beta}$ のとき,
$z\overline{z}+\alpha z+\overline{\alpha}\overline{z}+\gamma = 0$
$z(\overline{z}+\alpha)+\overline{\alpha}(\overline{z}+\alpha)+\alpha\overline{\alpha} = -\gamma$
$(z+\overline{\alpha})(\overline{z}+\alpha)+\alpha\overline{\alpha} = -\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2+|\alpha|^2 = -\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2 = -|\alpha|^2-\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2 = \sqrt{-|\alpha|^2-\gamma}^2$
である.
これは $z$ は $\alpha$ を中心とする半径 $\sqrt{-|\alpha|^2-\gamma}$ の円を表す.
これを満たす $z$ は無限に存在するので不適.
case.2. $\alpha\neq\overline{\beta}$ のとき, $(\alpha-\overline{\beta})z=r$ とおくと,
$(\alpha-\overline{\beta})z = r$
$z = \frac{r}{\alpha-\overline{\beta}}$,
$\overline{z} = \frac{r}{\overline{\alpha}-\beta}$
である.
これより
$\frac{r}{\alpha-\overline{\beta}}\frac{r}{\overline{\alpha}-\beta}+\frac{r\alpha}{\alpha-\overline{\beta}}+\frac{r\beta}{\overline{\alpha}-\beta}+\gamma = 0$
$r^2+\{\alpha(\overline{\alpha}-\beta)+\beta(\alpha-\overline{\beta})\}r+\gamma(\alpha-\overline{\beta})(\overline{\alpha}-\beta) = 0$
$r^2+(|\alpha|^2-|\beta|^2)r+|\alpha-\overline{\beta}|^2\gamma = 0$
ここで $|\alpha|=|\beta|$ であるので
$r^2+|\alpha-\overline{\beta}|^2\gamma = 0$
$r^2 = -\gamma|\alpha-\overline{\beta}|^2$
ここで,
$z$ がちょうど $2$ 個ある $\iff$ $r$ がちょうど $2$ 個ある
が成り立つので,
$\alpha-\overline{\beta} \neq 0$
$\alpha = \overline{\beta}$
を得る.
昨日の仕事終わりに、ひとっ走り行きつけの日産へ行ってきました。
そこの店舗は、配送屋が何を間違えたのか、営業店が休みだと勘違いして配送に来なかった、と。
で、配送屋に電話をして持ってきて貰った直後に私が到着した、と。
まあ、私としては無事に入手できたので問題なかったのですが、奥で１人、怒り気味に電話していましたね・・・
発売日が１０月２日らしいですが、試乗するのが楽しみですね。
今日は、東北大学の第５問。
１つ前のカリキュラムではやってなかった複素数。
正確には、数学IIで、「こんなのもあるよー」くらいにやってたのですが。
で、複素数の計算の問題。
ただただ力技で計算するだけ、って感じでした。
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ を複素数とし,
$z\overline{z}+\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma = 0 \cdots(*)$
を満たす複素数 $z$ を考える.
以下の問いに答えよ.
(1) $z$ は
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma} = 0$
を満たすことを示せ.
(2)
$|\alpha|=|\beta|\neq0$ と仮定し, また $\gamma$ は負の実数であると仮定する.
このとき, $(*)$ を満たす $z$ がちょうど $2$ 個あるための必要十分条件を
$\alpha$, $\beta$ を用いて表せ.
---解答例---
(1)
仮定より
$z\overline{z}+\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma = 0$
$z\overline{z}+\overline{\alpha}\overline{z}+\overline{\beta}z+\overline{\gamma} = 0$
この $2$ 式の差をとると,
$\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma-\overline{\alpha}\overline{z}+\overline{\beta}z-\overline{\gamma} = 0$
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma} = 0$
より成り立つ.
(2)
$\gamma<0$ より $\overline{\gamma}=\gamma$ であるので, (1) より
$(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z} = 0$
$(\alpha-\overline{\beta})z = (\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}$
$(\alpha-\overline{\beta})z = \overline{(\alpha-\overline{\beta})z}$
となる.
これより, $(\alpha-\overline{\beta})z$ も実数である.
case.1. $\alpha=\overline{\beta}$ のとき,
$z\overline{z}+\alpha z+\overline{\alpha}\overline{z}+\gamma = 0$
$z(\overline{z}+\alpha)+\overline{\alpha}(\overline{z}+\alpha)+\alpha\overline{\alpha} = -\gamma$
$(z+\overline{\alpha})(\overline{z}+\alpha)+\alpha\overline{\alpha} = -\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2+|\alpha|^2 = -\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2 = -|\alpha|^2-\gamma$
$|z-\overline{\alpha}|^2 = \sqrt{-|\alpha|^2-\gamma}^2$
である.
これは $z$ は $\alpha$ を中心とする半径 $\sqrt{-|\alpha|^2-\gamma}$ の円を表す.
これを満たす $z$ は無限に存在するので不適.
case.2. $\alpha\neq\overline{\beta}$ のとき, $(\alpha-\overline{\beta})z=r$ とおくと,
$(\alpha-\overline{\beta})z = r$
$z = \frac{r}{\alpha-\overline{\beta}}$,
$\overline{z} = \frac{r}{\overline{\alpha}-\beta}$
である.
これより
$\frac{r}{\alpha-\overline{\beta}}\frac{r}{\overline{\alpha}-\beta}+\frac{r\alpha}{\alpha-\overline{\beta}}+\frac{r\beta}{\overline{\alpha}-\beta}+\gamma = 0$
$r^2+\{\alpha(\overline{\alpha}-\beta)+\beta(\alpha-\overline{\beta})\}r+\gamma(\alpha-\overline{\beta})(\overline{\alpha}-\beta) = 0$
$r^2+(|\alpha|^2-|\beta|^2)r+|\alpha-\overline{\beta}|^2\gamma = 0$
ここで $|\alpha|=|\beta|$ であるので
$r^2+|\alpha-\overline{\beta}|^2\gamma = 0$
$r^2 = -\gamma|\alpha-\overline{\beta}|^2$
ここで,
$z$ がちょうど $2$ 個ある $\iff$ $r$ がちょうど $2$ 個ある
が成り立つので,
$\alpha-\overline{\beta} \neq 0$
$\alpha = \overline{\beta}$
を得る.
東北大学・理系（２０１７年）
本日、９月６日。
日産リーフの新型が発表されました。
進路指導部の会議が終わってからその事に気が付いたので、直ぐに検索したのですが・・・
噂では、バッテリー容量が今までの $30$ kWh から $60$ kWh に倍増する、と言われていたのですが、結果は $40$ kWh という数字になっていました・・・
なんか、半端な気がするのですが・・・
航続可能距離が $400$ km になる、って事でしたが、これもカタログでの距離でしょうから、実際はどうなるのか・・・
私の乗っている $24$ kWh のモデルで、カタログでは $228$ km なのですが、実際に私が乗ってての感覚では $150$ km 程度（エアコンを常時使ってたり、職場が山の上にあったりと影響が多いですが）なので、割合としては、
$\frac{228}{150}\doteqdot 65\%$
となっているので、この割合でいくとしたら、
$400 \times 65\% = 260$
より、$260$ km 程度となる、って事ですよね・・・
まあ、技術革新とか色々あって、この $65\%$ というのが向上しているだろうけど、仮に $80\%$ だとすると $320$ km となるわけです。
うーん、思っていたよりも、厳しいですね・・・
東北大学の４問目。
幾何ってラベルを付けましたけど、ベクトルだけでも解けるので、必要はないのですが、使った方が断然楽なので。
メネラウスの定理とチェバの定理って、忘れられそうランキングの第２位タイの定理（当社調べ、１位は方ベキの定理）ですが、使うとすごく便利なんですよね。
$s$ を正の実数とする. 鋭角三角形 $ABC$ において, 辺 $AB$ を $s:1$ に内分する点を $D$ とし, 辺 $BC$ を $s:3$ に内分する点を $E$ とする.
線分 $CD$ と線分 $AE$ の交点を $F$ とする.
以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{AF}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$ とするとき, $\alpha$ と $\beta$ を
求めよ.
(2) $F$ から辺 $AC$ に下ろした垂線を $FG$ とする.
$FG$ の長さが最大となるときの $s$ を求めよ.
---解答例---
(1)
メネラウスの定理より
$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\times\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CE}}\times\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FA}} = 1$
$\frac{s}{1}\times\frac{s+3}{3}\times\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FA}} = 1$
$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FE}} = \frac{s(s+3)}3$
を得るので,
$\overrightarrow{AF} = \frac{s(s+3)}{s(s+3)+3}\overrightarrow{AE}$
$= \frac{s(s+3)}{s(s+3)+3}\times\frac{3\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}}{s+3}$
$= \frac{3s}{s^2+3s+3}\overrightarrow{AB}+\frac{s^2}{s^2+3s+3}\overrightarrow{AC}$
より $\alpha=\frac{3s}{s^2+3s+3}$, $\beta=\frac{s^2}{s^2+3s+3}$.
(2)
$\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{\triangle\mathrm{XYZ}}$ と表すことにする.
$S_{\triangle\mathrm{AFC}} = \frac{s(s+3)}{s^2+3s+3}S_{\triangle\mathrm{AEC}}$
$= \frac{s(s+3)}{s^2+3s+s}\times\frac{3}{s+3}S_{\triangle\mathrm{ABC}}$
$= \frac{3s}{s^2+3s+3}S_{\triangle\mathrm{ABC}}$
であり, FG が最大になるとき, $\triangle\mathrm{AFC}$ の面積も最大になるので, $f(s)=\frac{3s}{s^2+3s+3}$ も最大となる.
$\frac{d}{ds}f(s) = \frac{3(s^2+3s+3)-3s(2s+3)}{(s^2+3s+3)^2}$
$= \frac{-3s^2+9}{\left\{\left(s+\frac32\right)^2+\frac34\right\}^2}$
$= \frac{-3(s^2-3)}{\left\{\left(s+\frac32\right)^2+\frac34\right\}^2}$
である.
分母は常に正であり, $\frac{d}{ds}f(s)=0$ となるのは $s=\sqrt3$ である.
これより, 増減表を作成する.
$
\begin{array}{c||c|c|c|c}
s & 0 & \cdots & \sqrt3 & \cdots \\
\hline
\frac{d}{ds}f & & + & 0 & - \\
\hline
f & & \nearrow & f(\sqrt3) & \searrow
\end{array}
$
これより, $s=\sqrt3$ のとき最大となる.
日産リーフの新型が発表されました。
進路指導部の会議が終わってからその事に気が付いたので、直ぐに検索したのですが・・・
噂では、バッテリー容量が今までの $30$ kWh から $60$ kWh に倍増する、と言われていたのですが、結果は $40$ kWh という数字になっていました・・・
なんか、半端な気がするのですが・・・
航続可能距離が $400$ km になる、って事でしたが、これもカタログでの距離でしょうから、実際はどうなるのか・・・
私の乗っている $24$ kWh のモデルで、カタログでは $228$ km なのですが、実際に私が乗ってての感覚では $150$ km 程度（エアコンを常時使ってたり、職場が山の上にあったりと影響が多いですが）なので、割合としては、
$\frac{228}{150}\doteqdot 65\%$
となっているので、この割合でいくとしたら、
$400 \times 65\% = 260$
より、$260$ km 程度となる、って事ですよね・・・
まあ、技術革新とか色々あって、この $65\%$ というのが向上しているだろうけど、仮に $80\%$ だとすると $320$ km となるわけです。
うーん、思っていたよりも、厳しいですね・・・
東北大学の４問目。
幾何ってラベルを付けましたけど、ベクトルだけでも解けるので、必要はないのですが、使った方が断然楽なので。
メネラウスの定理とチェバの定理って、忘れられそうランキングの第２位タイの定理（当社調べ、１位は方ベキの定理）ですが、使うとすごく便利なんですよね。
$s$ を正の実数とする. 鋭角三角形 $ABC$ において, 辺 $AB$ を $s:1$ に内分する点を $D$ とし, 辺 $BC$ を $s:3$ に内分する点を $E$ とする.
線分 $CD$ と線分 $AE$ の交点を $F$ とする.
以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{AF}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$ とするとき, $\alpha$ と $\beta$ を
求めよ.
(2) $F$ から辺 $AC$ に下ろした垂線を $FG$ とする.
$FG$ の長さが最大となるときの $s$ を求めよ.
---解答例---
(1)
メネラウスの定理より
$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\times\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CE}}\times\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FA}} = 1$
$\frac{s}{1}\times\frac{s+3}{3}\times\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FA}} = 1$
$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FE}} = \frac{s(s+3)}3$
を得るので,
$\overrightarrow{AF} = \frac{s(s+3)}{s(s+3)+3}\overrightarrow{AE}$
$= \frac{s(s+3)}{s(s+3)+3}\times\frac{3\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}}{s+3}$
$= \frac{3s}{s^2+3s+3}\overrightarrow{AB}+\frac{s^2}{s^2+3s+3}\overrightarrow{AC}$
より $\alpha=\frac{3s}{s^2+3s+3}$, $\beta=\frac{s^2}{s^2+3s+3}$.
(2)
$\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{\triangle\mathrm{XYZ}}$ と表すことにする.
$S_{\triangle\mathrm{AFC}} = \frac{s(s+3)}{s^2+3s+3}S_{\triangle\mathrm{AEC}}$
$= \frac{s(s+3)}{s^2+3s+s}\times\frac{3}{s+3}S_{\triangle\mathrm{ABC}}$
$= \frac{3s}{s^2+3s+3}S_{\triangle\mathrm{ABC}}$
であり, FG が最大になるとき, $\triangle\mathrm{AFC}$ の面積も最大になるので, $f(s)=\frac{3s}{s^2+3s+3}$ も最大となる.
$\frac{d}{ds}f(s) = \frac{3(s^2+3s+3)-3s(2s+3)}{(s^2+3s+3)^2}$
$= \frac{-3s^2+9}{\left\{\left(s+\frac32\right)^2+\frac34\right\}^2}$
$= \frac{-3(s^2-3)}{\left\{\left(s+\frac32\right)^2+\frac34\right\}^2}$
である.
分母は常に正であり, $\frac{d}{ds}f(s)=0$ となるのは $s=\sqrt3$ である.
これより, 増減表を作成する.
$
\begin{array}{c||c|c|c|c}
s & 0 & \cdots & \sqrt3 & \cdots \\
\hline
\frac{d}{ds}f & & + & 0 & - \\
\hline
f & & \nearrow & f(\sqrt3) & \searrow
\end{array}
$
これより, $s=\sqrt3$ のとき最大となる.
東北大学・理系（２０１７年）
先週のLHRの時間に面談をした。
その中で、警察官になるための勉強は何をしたらいいのかと聞かれ、まずは書店で問題集なり参考書なりを買って、それで勉強してみろ、と言ったのだが・・・
勤務校の、良くも悪くもある点、生徒の殆どが寮生。
更には毎日部活をしているので、書店に行く暇がない。
とはいえ、この手の買物は、自分で見て、これならできそうだ、ってものを見つけないと、無駄遣いになってしまうものですから・・・
そう思っていたら昨日のSHRで、生徒から「今日はオフになりました」と。
そんなわけで、書店巡りに行ってきました。
ただ、勤務校のある市の市内の書店って、そんなに大きい書店はないような・・・
って事で、隣の市まで連れて行きました。
書店を巡って、改めて気が付いた事なのですが・・・
高卒の警察官用って、そんなに出てないんですね・・・
大学の書籍部ではいっぱい見たけど、それは（当然ですが）大卒用であり、需要が高い場所だったからあったわけで・・・
一応、これで勉強してみる、って事で１冊買ってましたので、あとはどれだけ自分でできるかですね。
今日は東北大学の第３問。
整数の問題なのですが・・・
なんか、場合分けをしまくって、力技で無理やり解いた感が強いのですが・・・
他に、スマートな解法がありそうな気がするんですよね・・・
$a$, $b$, $c$ を $1$ 以上 $7$ 以下の互いに異なる整数とする.
(1) $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が有理数解をもつような組 $(a, b, c)$ の
総数を求めよ.
(2) $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が少なくとも $1$ つの整数解をもつような組
$(a, b, c)$ の総数を求めよ.
---解答例---
(1)
有理数解をもつ為には, 判別式 $D$ が 平方数となることが必要十分条件である.
$D = b^2-4ac$
であるので, $1\le a\le7$, $1\le c\le7$, $a\neq c$ より $4ac\ge8$ であるので, $b^2\ge9$ 即ち $b\ge3$ である.
case.1. $b=3$ のとき,
$9-4ac = 1$
$4ac = 8$
$ac = 2$
より $(a, c)=(1, 2)$, $(2, 1)$ を得る.
case.2. $b=4$ のとき,
$16-4ac = 4$
$4ac = 12$
$ac = 3$
より $(a, c)=(1, 3)$, $(3, 1)$ を得る.
case.3. $b=5$ のとき,
$25-4ac = 1, 9$
$4ac = 24, 16$
$ac = 6, 4$
より $(a, c) = (1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(6, 1)$, $(1, 4)$, $(4, 1)$
を得る.
case.4. $b=6$ のとき,
$36-4ac = 4, 16$
$4ac = 32, 20$
$ac = 8, 5$
より $(a, c) = (2, 4)$, $(4, 2)$, $(1, 5)$, $(5, 1)$ を得る.
case.5. $b=7$ のとき,
$49-4ac = 1, 9, 25$
$4ac = 48, 40, 24$
$ac = 12, 10, 6$
より $(a, c) = (2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(6, 2)$, $(2, 5)$, $(5, 2)$,
$(1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(6, 1)$ を得る.
以上より, 有理数解をもつ組 $(a, b, c)$ の総数は
$2+2+6+4+10 = 24$.
(2)
(1) のうち, 整数解をもつ組を調べる.
case.1. $b=3$ のとき,
$x = \frac{-3\pm\sqrt1}{2a}$
$= -\frac1a, -\frac2a$
より, $(a, b, c)=(1, 3, 2)$, $(2, 1, 3)$ となるので, $2$ 組である.
case.2. $b=4$ のとき,
$x = \frac{-4\pm\sqrt{4}}{2a}$
$= \frac{-2}{2a}, \frac{-6}{2a}$
$= -\frac1a, -\frac3a$
より, $(a, b, c)=(1, 4, 3)$, $(3, 4, 1)$ となるので, $2$ 組である.
case.3. $b=5$ のとき,
$x = \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2a}$ $x = \frac{-5\pm\sqrt9}{2a}$
$= \frac{-4}{2a}$, $\frac{-6}{2a}$ $= \frac{-2}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$
$= -\frac2a$, $-\frac3a$ $= -\frac1a$, $-\frac4a$
より, $(a, b, c)=(1, 5, 6)$, $(2, 5, 3)$, $(3, 5, 2)$, $(1, 5, 4)$, $(4, 5, 1)$
となるので, $5$ 組である.
case.4. $b=6$ のとき,
$x = \frac{-6\pm\sqrt4}{2a}$ $x = \frac{-6\pm\sqrt{16}}{2a}$
$= \frac{-4}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$ $= \frac{-2}{2a}$, $\frac{-10}{2a}$
$= -\frac2a$, $-\frac4a$ $= -\frac1a$, $-\frac5a$
より $(a, b, c)=(2, 6, 4)$, $(4, 6, 2)$, $(1, 6, 5)$, $(5, 6, 1)$ となるので $4$ 組である.
case.5. $b=7$ のとき,
$x = \frac{-7\pm\sqrt{1}}{2a}$ $x = \frac{-7\pm\sqrt{9}}{2a}$ $x = \frac{-7\pm\sqrt{25}}{2a}$
$= \frac{-6}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$ $= \frac{-10}{2a}$, $\frac{-4}{2a}$ $= \frac{-12}{2a}$, $\frac{-2}{2a}$
$= -\frac3a$, $-\frac4a$ $= -\frac5a$, $-\frac2a$ $= -\frac6a$, $-\frac1a$
より $(a, b, c)=(2, 7, 6)$, $(3, 7, 4)$, $(4, 7, 3)$, $(2, 7, 5)$, $(5, 7, 2)$,
$(1, 7, 6)$, $(2, 7, 3)$, $(3, 7, 2)$, $(6, 7, 1)$ となるので $9$ 組である.
以上より, 少なくとも $1$ つの整数解をもつような組 $(a, b, c)$ の総数は
$2+2+5+4+9 = 22$.
その中で、警察官になるための勉強は何をしたらいいのかと聞かれ、まずは書店で問題集なり参考書なりを買って、それで勉強してみろ、と言ったのだが・・・
勤務校の、良くも悪くもある点、生徒の殆どが寮生。
更には毎日部活をしているので、書店に行く暇がない。
とはいえ、この手の買物は、自分で見て、これならできそうだ、ってものを見つけないと、無駄遣いになってしまうものですから・・・
そう思っていたら昨日のSHRで、生徒から「今日はオフになりました」と。
そんなわけで、書店巡りに行ってきました。
ただ、勤務校のある市の市内の書店って、そんなに大きい書店はないような・・・
って事で、隣の市まで連れて行きました。
書店を巡って、改めて気が付いた事なのですが・・・
高卒の警察官用って、そんなに出てないんですね・・・
大学の書籍部ではいっぱい見たけど、それは（当然ですが）大卒用であり、需要が高い場所だったからあったわけで・・・
一応、これで勉強してみる、って事で１冊買ってましたので、あとはどれだけ自分でできるかですね。
今日は東北大学の第３問。
整数の問題なのですが・・・
なんか、場合分けをしまくって、力技で無理やり解いた感が強いのですが・・・
他に、スマートな解法がありそうな気がするんですよね・・・
$a$, $b$, $c$ を $1$ 以上 $7$ 以下の互いに異なる整数とする.
(1) $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が有理数解をもつような組 $(a, b, c)$ の
総数を求めよ.
(2) $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が少なくとも $1$ つの整数解をもつような組
$(a, b, c)$ の総数を求めよ.
---解答例---
(1)
有理数解をもつ為には, 判別式 $D$ が 平方数となることが必要十分条件である.
$D = b^2-4ac$
であるので, $1\le a\le7$, $1\le c\le7$, $a\neq c$ より $4ac\ge8$ であるので, $b^2\ge9$ 即ち $b\ge3$ である.
case.1. $b=3$ のとき,
$9-4ac = 1$
$4ac = 8$
$ac = 2$
より $(a, c)=(1, 2)$, $(2, 1)$ を得る.
case.2. $b=4$ のとき,
$16-4ac = 4$
$4ac = 12$
$ac = 3$
より $(a, c)=(1, 3)$, $(3, 1)$ を得る.
case.3. $b=5$ のとき,
$25-4ac = 1, 9$
$4ac = 24, 16$
$ac = 6, 4$
より $(a, c) = (1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(6, 1)$, $(1, 4)$, $(4, 1)$
を得る.
case.4. $b=6$ のとき,
$36-4ac = 4, 16$
$4ac = 32, 20$
$ac = 8, 5$
より $(a, c) = (2, 4)$, $(4, 2)$, $(1, 5)$, $(5, 1)$ を得る.
case.5. $b=7$ のとき,
$49-4ac = 1, 9, 25$
$4ac = 48, 40, 24$
$ac = 12, 10, 6$
より $(a, c) = (2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(6, 2)$, $(2, 5)$, $(5, 2)$,
$(1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(6, 1)$ を得る.
以上より, 有理数解をもつ組 $(a, b, c)$ の総数は
$2+2+6+4+10 = 24$.
(2)
(1) のうち, 整数解をもつ組を調べる.
case.1. $b=3$ のとき,
$x = \frac{-3\pm\sqrt1}{2a}$
$= -\frac1a, -\frac2a$
より, $(a, b, c)=(1, 3, 2)$, $(2, 1, 3)$ となるので, $2$ 組である.
case.2. $b=4$ のとき,
$x = \frac{-4\pm\sqrt{4}}{2a}$
$= \frac{-2}{2a}, \frac{-6}{2a}$
$= -\frac1a, -\frac3a$
より, $(a, b, c)=(1, 4, 3)$, $(3, 4, 1)$ となるので, $2$ 組である.
case.3. $b=5$ のとき,
$x = \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2a}$ $x = \frac{-5\pm\sqrt9}{2a}$
$= \frac{-4}{2a}$, $\frac{-6}{2a}$ $= \frac{-2}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$
$= -\frac2a$, $-\frac3a$ $= -\frac1a$, $-\frac4a$
より, $(a, b, c)=(1, 5, 6)$, $(2, 5, 3)$, $(3, 5, 2)$, $(1, 5, 4)$, $(4, 5, 1)$
となるので, $5$ 組である.
case.4. $b=6$ のとき,
$x = \frac{-6\pm\sqrt4}{2a}$ $x = \frac{-6\pm\sqrt{16}}{2a}$
$= \frac{-4}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$ $= \frac{-2}{2a}$, $\frac{-10}{2a}$
$= -\frac2a$, $-\frac4a$ $= -\frac1a$, $-\frac5a$
より $(a, b, c)=(2, 6, 4)$, $(4, 6, 2)$, $(1, 6, 5)$, $(5, 6, 1)$ となるので $4$ 組である.
case.5. $b=7$ のとき,
$x = \frac{-7\pm\sqrt{1}}{2a}$ $x = \frac{-7\pm\sqrt{9}}{2a}$ $x = \frac{-7\pm\sqrt{25}}{2a}$
$= \frac{-6}{2a}$, $\frac{-8}{2a}$ $= \frac{-10}{2a}$, $\frac{-4}{2a}$ $= \frac{-12}{2a}$, $\frac{-2}{2a}$
$= -\frac3a$, $-\frac4a$ $= -\frac5a$, $-\frac2a$ $= -\frac6a$, $-\frac1a$
より $(a, b, c)=(2, 7, 6)$, $(3, 7, 4)$, $(4, 7, 3)$, $(2, 7, 5)$, $(5, 7, 2)$,
$(1, 7, 6)$, $(2, 7, 3)$, $(3, 7, 2)$, $(6, 7, 1)$ となるので $9$ 組である.
以上より, 少なくとも $1$ つの整数解をもつような組 $(a, b, c)$ の総数は
$2+2+5+4+9 = 22$.
東北大学・理系（２０１７年）
先日、ドローンを買ったと書いたのですが、そのドローンを午前中、飛ばしてみました。
ちょっと使って、風に煽られることも多かったですが、それなりに面白いと思っていた矢先に・・・
突然、コントロール不能に陥り、どんどん勝手に上昇し、見えなくなってしまいました・・・
あぁ、私の７２８６円が・・・
まあ、こうなってしまった以上、今更後悔しても仕方ないので、気持ちを切り替えて、次はどんなドローンを買おうか・・・
えぇ、諦めていませんけど何か？？
本日は東北大学の第２問。
旧帝大のくせに（失礼な言い方）、確率だけの問題です。
まあ、条件付き確率ではありますが、確率単品で出てくるって、あまりないような気がするんですよね・・・
A 君と B 君はそれぞれ, $0$ から $5$ までの数字が $1$ つずつ書かれた $6$ 枚の
カードが入った箱を $1$ つもっている.
$2$ 人は, 自分の箱の中から無作為に $3$ 枚のカードを取り出して得点を競うゲーム
をする.
取り出された $3$ 枚のカードに $0$ が含まれていない場合の得点は $3$ 枚のカードに
書かれた数の平均値とし, $0$ が含まれている場合は残り $2$ 枚のカードに書かれた
数の合計とする.
このとき, 次の問いに答えよ.
(1) A 君, B 君の少なくとも一方が $0$ を取り出して, しかも双方とも得点が $3$ 点と
なる確率を求めよ.
(2) A 君の得点が B 君の得点より大きいときの, A 君の得点が整数ではない確率を求めよ.
---解答例---
(1)
$0$ を含まないで $3$ 点となるとき, $3$ 枚の組み合わせは $(1, 3, 5)$, $(2, 3, 4)$ の $2$ 通り, $0$ を含んで $3$ 点となるとき, $3$ 枚の組み合わせは
$(0, 1, 2)$ の $1$ 通りである.
よって, 求める確率は
$\frac{2\times1+1\times2+1\times1}{({}_6\mathrm{C}_3)^2}$
$= \frac{5}{20^2}$
$= \frac1{80}$.
(2)
確率分布を調べる.
得点 $X$ の確率を $P(X)$ とすると
$0$ を含まないとき,
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
X & 2 & \frac73 & \frac83 & 3 & \frac{10}3 & \frac{11}3 & 4 \\
\hline
P(X)\times{}_6\mathrm{C}_3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1
\end{array}
$
$0$ を含むとき,
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
X & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
P(X) \times {}_6\mathrm{C}_3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1
\end{array}
$
以上より, $X$ の確率分布は
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c}
X & 2 & \frac73 & \frac83 & 3 & \frac{10}3 & \frac{11}3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 計 \\
\hline
P(X) \times 20 & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 20
\end{array}
$
同点となる確率は
$\frac{1^2+1^2+2^2+3^2+2^2+1^2+2^2+2^2+2^2+2^2+1^2+1^2}{20^2}$
$= \frac{38}{400}$
$= \frac{19}{200}$
であるので, A 君の得点が B 君の得点より大きい確率は
$\left(1-\frac{19}{200}\right)\times\frac12 = \frac{181}{400}$
であり, A 君が非整数の得点で B 君の得点より大きい確率は
$\frac{1\times1+2\times2+2\times7+1\times9}{20^2} = \frac{28}{400}$
$= \frac7{100}$
であるので, 求める条件付き確率は
$\frac{\frac7{100}}{\frac{181}{400}} = \frac{28}{181}$.
ちょっと使って、風に煽られることも多かったですが、それなりに面白いと思っていた矢先に・・・
突然、コントロール不能に陥り、どんどん勝手に上昇し、見えなくなってしまいました・・・
あぁ、私の７２８６円が・・・
まあ、こうなってしまった以上、今更後悔しても仕方ないので、気持ちを切り替えて、次はどんなドローンを買おうか・・・
えぇ、諦めていませんけど何か？？
本日は東北大学の第２問。
旧帝大のくせに（失礼な言い方）、確率だけの問題です。
まあ、条件付き確率ではありますが、確率単品で出てくるって、あまりないような気がするんですよね・・・
A 君と B 君はそれぞれ, $0$ から $5$ までの数字が $1$ つずつ書かれた $6$ 枚の
カードが入った箱を $1$ つもっている.
$2$ 人は, 自分の箱の中から無作為に $3$ 枚のカードを取り出して得点を競うゲーム
をする.
取り出された $3$ 枚のカードに $0$ が含まれていない場合の得点は $3$ 枚のカードに
書かれた数の平均値とし, $0$ が含まれている場合は残り $2$ 枚のカードに書かれた
数の合計とする.
このとき, 次の問いに答えよ.
(1) A 君, B 君の少なくとも一方が $0$ を取り出して, しかも双方とも得点が $3$ 点と
なる確率を求めよ.
(2) A 君の得点が B 君の得点より大きいときの, A 君の得点が整数ではない確率を求めよ.
---解答例---
(1)
$0$ を含まないで $3$ 点となるとき, $3$ 枚の組み合わせは $(1, 3, 5)$, $(2, 3, 4)$ の $2$ 通り, $0$ を含んで $3$ 点となるとき, $3$ 枚の組み合わせは
$(0, 1, 2)$ の $1$ 通りである.
よって, 求める確率は
$\frac{2\times1+1\times2+1\times1}{({}_6\mathrm{C}_3)^2}$
$= \frac{5}{20^2}$
$= \frac1{80}$.
(2)
確率分布を調べる.
得点 $X$ の確率を $P(X)$ とすると
$0$ を含まないとき,
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
X & 2 & \frac73 & \frac83 & 3 & \frac{10}3 & \frac{11}3 & 4 \\
\hline
P(X)\times{}_6\mathrm{C}_3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1
\end{array}
$
$0$ を含むとき,
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
X & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
P(X) \times {}_6\mathrm{C}_3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1
\end{array}
$
以上より, $X$ の確率分布は
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c}
X & 2 & \frac73 & \frac83 & 3 & \frac{10}3 & \frac{11}3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 計 \\
\hline
P(X) \times 20 & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 20
\end{array}
$
同点となる確率は
$\frac{1^2+1^2+2^2+3^2+2^2+1^2+2^2+2^2+2^2+2^2+1^2+1^2}{20^2}$
$= \frac{38}{400}$
$= \frac{19}{200}$
であるので, A 君の得点が B 君の得点より大きい確率は
$\left(1-\frac{19}{200}\right)\times\frac12 = \frac{181}{400}$
であり, A 君が非整数の得点で B 君の得点より大きい確率は
$\frac{1\times1+2\times2+2\times7+1\times9}{20^2} = \frac{28}{400}$
$= \frac7{100}$
であるので, 求める条件付き確率は
$\frac{\frac7{100}}{\frac{181}{400}} = \frac{28}{181}$.
東北大学・理系（２０１７年）
昨日、昨年度勤務していた学校の、数学科の歓送迎会がありまして、仕事終わりに（正確には１０分ほど早く脱走して）参加しました。
実家から通ってた昨年度の勤務校だったので、歓送迎会の会場も実家のある市町村内。
色々と、だいぶ愚痴みたいな現状報告などをしてきました。
終わってから、温泉に行く予定だったのですが、盛り上がり過ぎて、とっくに温泉の入館時間を過ぎていまして・・・
仕方なく、温泉は諦めて、久しぶりにガストに行ってきました。
ガストで、山盛りポテトとドリンクバーを注文し、ずっと喋り続ける・・・
なんか、高校生みたいなことをしていましたが・・・
私は普段、炭酸水を飲んでいまして、ドリンクバーでも炭酸水を飲むのですが・・・
ガストの炭酸水、結構炭酸が強くていいですね。
そのまま実家に泊まり、昼過ぎに温泉に行ってから、日産で充電。
暇つぶしにX-TRAILの試乗をしてから帰ってきたのですが、ちょっと気になることが・・・
以前もちょっと書きましたが、私は寮監をしています。
で、ある部活の顧問もしているのですが、その部活の部員からLINE電話がありまして・・・
部員A「今、どこにいますか？」
私「今、地元にいる。どうした？」
部員A「部員Bが買いたいモノがあるって言ってるのですが、大きくて自転車では買ってこれないので乗せていってもらえませんか？」
もう、この時点で可怪しいとは思ったのですが・・・
この部員Bも私のLINEアカウントを知っているので、用件があるのであれば、直接言えばいいのに、何故部員Aからの電話なのか・・・
Bの方がどっちかと言うと真面目で、Aの方が調子のいい性格をしている、っていうことを踏まえると・・・
寮に戻ってくると、出てきたのはA、Bの他にもいて、部員が４人。
私「何を買いに行くの？」
部員A「あっ、いや、買い物はもう大丈夫なんで、◯◯のイオンまで送ってもらえますか？」
結局、最初からそういう目的だったわけでしょう。
顧問の１人として、甘やかすのはダメだという人もいるかも知れませんが、私は息抜きも必要だと思っています。
特に、遠方から来て寮で生活しているのだから、自分の練習時間とかの管理が出来ているなら、息抜きの為なら送って行くのですが・・・
実際、前にも同じイオンまで送ってあげたのですが・・・
なんか、そんな嘘までついて、って思うと、なんですかね・・・
さて、京都大学の問題も終わったので、今日からは東北大学に挑戦です。
ラベルでは微分積分（数学II）を設定しましたが、接線を求めるだけなので、微積は使わなくても解けるのですが・・・
$a$, $b$ を実数とする. $y=|x^2-4|$ で表される曲線を $C$ とし, $y=ax+b$ で表される直線 $l$ とする.
(1) $l$ が点 $(-2, 0)$ を通り, $l$ と $C$ がちょうど $3$ つの共有点をもつような
$a$, $b$ の条件を求めよ.
(2) $l$ と $C$ がちょうど $3$ つの共有点をもつような点 $(a, b)$ の軌跡を $ab$ 平面上に図示せよ.
---解答例---
(1)
直線 $l$ が点 $(-2,0)$ を通るので
$0 = -2a+b$
$b = 2a$
が成り立つ.
$C$ と $l$ は $(-2, 0)$ を共有点としてもつので, この他に $2$ つの共有点をもつ条件を考える.
直線 $l$ は
$y = ax+2a$
である.
グラフより, $3$ つの共有点は, $(-2, 0)$ と $-2<x<2$ の範囲に $1$ つと $2<x$ の範囲に $1$ つである.
$y = -x^2+4$
$\frac{d}{dx}y = -2x$
より, $x=-2$ における $y=-x^2+4$ の接線の傾きは $4$ であるので, $0<a<4$ を得る.
以上より
$b = 2a$ ($0<a<4$)
である.
(2)
$l$ と $C$ が $3$ つの共有点をもつには,
(a) $(-2, 0)$ を通るとき
(b) $(2, 0)$ を通るとき
(c) $-2<x<2$ のときに接するとき
$3$ 通りがあり得る.
(a) のとき, (1) より
$b=2a$ ($0<a<4$)
である.
(b) のとき, (1) と同様に
$b = -2a$ ($-4<a<0$)
である.
(c) のとき, $x=t$ $(-2<t<2)$ における接線の方程式は
$y-(-t^2+4) = -2t(x-t)$
$y = -2tx+(t^2+4)$
より
$
\begin{cases}
a = -2t \\
b = t^2+4
\end{cases}
$
であるので,
$b = \left(-\frac12a\right)^2+4$
$b = \frac14a^2+4$ ($-4<a<4$)
以上より, 点 $(a, b)$ の軌跡は以下の通り.
ただし, 端点 $(0, 0)$, $(4, 8)$, $(-4, 8)$ は除く.
実家から通ってた昨年度の勤務校だったので、歓送迎会の会場も実家のある市町村内。
色々と、だいぶ愚痴みたいな現状報告などをしてきました。
終わってから、温泉に行く予定だったのですが、盛り上がり過ぎて、とっくに温泉の入館時間を過ぎていまして・・・
仕方なく、温泉は諦めて、久しぶりにガストに行ってきました。
ガストで、山盛りポテトとドリンクバーを注文し、ずっと喋り続ける・・・
なんか、高校生みたいなことをしていましたが・・・
私は普段、炭酸水を飲んでいまして、ドリンクバーでも炭酸水を飲むのですが・・・
ガストの炭酸水、結構炭酸が強くていいですね。
そのまま実家に泊まり、昼過ぎに温泉に行ってから、日産で充電。
暇つぶしにX-TRAILの試乗をしてから帰ってきたのですが、ちょっと気になることが・・・
以前もちょっと書きましたが、私は寮監をしています。
で、ある部活の顧問もしているのですが、その部活の部員からLINE電話がありまして・・・
部員A「今、どこにいますか？」
私「今、地元にいる。どうした？」
部員A「部員Bが買いたいモノがあるって言ってるのですが、大きくて自転車では買ってこれないので乗せていってもらえませんか？」
もう、この時点で可怪しいとは思ったのですが・・・
この部員Bも私のLINEアカウントを知っているので、用件があるのであれば、直接言えばいいのに、何故部員Aからの電話なのか・・・
Bの方がどっちかと言うと真面目で、Aの方が調子のいい性格をしている、っていうことを踏まえると・・・
寮に戻ってくると、出てきたのはA、Bの他にもいて、部員が４人。
私「何を買いに行くの？」
部員A「あっ、いや、買い物はもう大丈夫なんで、◯◯のイオンまで送ってもらえますか？」
結局、最初からそういう目的だったわけでしょう。
顧問の１人として、甘やかすのはダメだという人もいるかも知れませんが、私は息抜きも必要だと思っています。
特に、遠方から来て寮で生活しているのだから、自分の練習時間とかの管理が出来ているなら、息抜きの為なら送って行くのですが・・・
実際、前にも同じイオンまで送ってあげたのですが・・・
なんか、そんな嘘までついて、って思うと、なんですかね・・・
さて、京都大学の問題も終わったので、今日からは東北大学に挑戦です。
ラベルでは微分積分（数学II）を設定しましたが、接線を求めるだけなので、微積は使わなくても解けるのですが・・・
$a$, $b$ を実数とする. $y=|x^2-4|$ で表される曲線を $C$ とし, $y=ax+b$ で表される直線 $l$ とする.
(1) $l$ が点 $(-2, 0)$ を通り, $l$ と $C$ がちょうど $3$ つの共有点をもつような
$a$, $b$ の条件を求めよ.
(2) $l$ と $C$ がちょうど $3$ つの共有点をもつような点 $(a, b)$ の軌跡を $ab$ 平面上に図示せよ.
---解答例---
(1)
直線 $l$ が点 $(-2,0)$ を通るので
$0 = -2a+b$
$b = 2a$
が成り立つ.
$C$ と $l$ は $(-2, 0)$ を共有点としてもつので, この他に $2$ つの共有点をもつ条件を考える.
直線 $l$ は
$y = ax+2a$
である.
グラフより, $3$ つの共有点は, $(-2, 0)$ と $-2<x<2$ の範囲に $1$ つと $2<x$ の範囲に $1$ つである.
$y = -x^2+4$
$\frac{d}{dx}y = -2x$
より, $x=-2$ における $y=-x^2+4$ の接線の傾きは $4$ であるので, $0<a<4$ を得る.
以上より
$b = 2a$ ($0<a<4$)
である.
(2)
$l$ と $C$ が $3$ つの共有点をもつには,
(a) $(-2, 0)$ を通るとき
(b) $(2, 0)$ を通るとき
(c) $-2<x<2$ のときに接するとき
$3$ 通りがあり得る.
(a) のとき, (1) より
$b=2a$ ($0<a<4$)
である.
(b) のとき, (1) と同様に
$b = -2a$ ($-4<a<0$)
である.
(c) のとき, $x=t$ $(-2<t<2)$ における接線の方程式は
$y-(-t^2+4) = -2t(x-t)$
$y = -2tx+(t^2+4)$
より
$
\begin{cases}
a = -2t \\
b = t^2+4
\end{cases}
$
であるので,
$b = \left(-\frac12a\right)^2+4$
$b = \frac14a^2+4$ ($-4<a<4$)
以上より, 点 $(a, b)$ の軌跡は以下の通り.
ただし, 端点 $(0, 0)$, $(4, 8)$, $(-4, 8)$ は除く.
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