２０２１年新春の問題

新年、あけましておめでとうございます。

今年も、気が向いたらこのブログを更新していきたいと思います。なんてったって、前回の更新が８月５日、という・・・基本的に、凝り性だけど飽きっぽいので、こんな感じでの更新になると思います。

寒くなってきて、雪も多くなってきて, 朝起きるのが辛くなってきた。

羽毛布団を使っているだけではなく、電気毛布もローズテクニーを使っているので、寝るときは５分前くらいに電源を入れるだけで温かくていいのですが・・・ローズテクニーは温かいだけではなく、温熱治療・電位治療もできる、ということですが、その効果の程はよく分かりません・・・まあ、寝てて体調が悪くなった、ってことは、寝違えたくらいしかないので大丈夫だと思いますが。

寝るときは温かくていいのだが、起きるときに布団から出るのが辛い・・・一応、枕元には Google Home Mini (現在は Google Nest Mini) があって、スマート家電リモコンとつながっているので、布団に入ったまま「OK, Google 暖房をつけて」とか言えば、エアコンが起動して暖かくなる・・・

はずなんですが、なぜかエアコンだけ、何度設定し直しても翌日にはつながらなくなってしまい・・・まだしばらくは、寒い朝を迎える必要がありそうですね。

各種 SNS に投稿した、 2021 の問題。

(1) $2021$ を素因数分解し, $2021$ が半素数 ($2$ つの素数の積) であることを確認せよ. 

(2) (1) の結果を $2021 = pq$ ($p$, $q$ は素数で, $p \le q$ とする)　としたとき, $p^q$ と $q^p$ の大小を比較せよ. 

(1) $2021 = 43 \times 47$ であり, $43$, $47$ は素数であるので, $2021$ は半素数である. 

さて, この時点で友人からのクレームが. 

YouTube でも $2021$ を素因数分解する問題が出題されたが, 解説が納得いかない, と. 私は見てないのだが, おそらくその解説は 

$2021 = 2025 - 4$
$= 45^2 - 2^2$
$= (45-2)(45+2)$
$= 43 \times 47$ 

というように, 因数分解の公式 

$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$ 

を用いる方法であろう. 

だが, そこで $2025$ とか $4$ なんてものが出てくる理由が分からん, ということ. なので, そこに辿り着いた流れを説明しておくと... 

まず, 与えられた整数 $n$ が素数かどうかを判定するためには, $\sqrt{n}$ 以下の素数で割り切れるかどうかを調べればよい. 

ということで, ざっくりと調べると, 

$40^2 = 1600 < 2021 < 2500 = 50^2$ 

である. もう少し調べていくと, 

$44^2 = 1936 < 2021 < 2025 = 45^2$ 

であることが分かる. ということは, $44$ 以下の素数で割れるかどうかを調べればよい, ということになる. 

で, この不等式を見ていると気づくのが, 

$2021 = 2025-4 = 45^2-4$ 

である, ということ. これで気づけば, 前述のような解答に辿り着ける. 

(2) 

(解法 1) 数学 III まで履修した人向けの解答

関数 $y = x^{\frac1x}$ ($x>0$) について, 

$\log_ey = \log_ex^{\frac1x}$
$\log_ey = \dfrac1x\log_ex$ 

両辺を $x$ で微分すると, 

$\dfrac{y'}{y} = -\dfrac1{x^2}\log_ex+\dfrac1x\times\dfrac1x$
$y' = \dfrac{y}{x^2}(1-\log_ex)$
$y' = x^{\frac1x-2}(1-\log_ex)$ 

である. $y'=0$ となるのは, $x>0$ のとき $x^{\frac1x-2}>0$ であるので, 

$1-\log_ex = 0$
$\log_ex = 1$
$x = e$ 

である. これより, 増減表は以下の通り. 

x		0	…	e	…
y'			+	0	-
y'			↗		↘

（Google blogger では表を作成できず、TeX を一部サポートしているが array 環境は使えなかったので、 Spreadsheet の表を挿入しているので、明らかに TeX とは違うフォントになっていますが気になさらぬように・・・）

これより, $x=e$ のときに最大となり, $x>e$ のときは減少することが分かる. よって, 

$43^{\frac1{43}} > 47^{\frac1{47}}$ 

両辺を $43 \times 47$ 乗すると, 

$43^{47} > 47^{43}$ 

である. 

この解法自体は一昔前にみた, 「$e^{\pi}$ と $\pi^e$ はどっちが大きいか」という問題の解法 $+\alpha$ である. 

(解法 2) 数学 II まで履修して, 更にあの表を暗記している人向けの解答

$43^{47}$ と $47^{43}$ の大小を調べる. 

$\log_{10}43^{47} = 47\log_{10}43$
$= 47 \log_{10}(4.3 \times 10)$
$= 47(\log_{10}4.3 + 1)$
$= 47 \times (0.6335 + 1)$
$= 47 \times 1.6335$
$= 76.7745$ 

$\log_{10}47^{43} = 43\log_{10}43$
$= 43 \log_{10}(4.7 \times 10)$
$= 43(\log_{10}4.7 + 1)$
$= 43 \times (0.6721 + 1)$
$= 43 \times 1.6721$
$= 71.9003$ 

であるので, 

$\log_{10}43^{47} > \log_{10}47^{43}$ 

$43^{47} > $47^{43}$ 

である. 

えっ, $\log_{10}4.3$ と $\log_{10}4.7$ の値はどこから出てきたのかって ?? だから, この解法は, 教科書に載ってる, 常用対数表を暗記している人のための解法で... もちろん, 私はこんなやり方, してませんけど... 

(解法 3) 数学 I まで履修した人向けの解法（厳密さに欠ける？？）

$\dfrac{47}{43} = 1.093$ 

より, 

$43^{47} \gtrless 47^{43}$ 

$43^{43} \times 43^4 \gtrless (43 \times 1.093)^{43}$ 

$43^{43} \times 43^4 \gtrless 43^{43} \times 1.093^{43}$ 

$43^4 \gtrless 1.093^{43}$ 

であり, 近似式より 

$(1+0.093)^{43} \doteqdot 1 + 0.093 \times 43$ 

$= 4.999$ 

であるので, 

$43^4 > 4.999$

$43^4 > 1.093^{43}$ 

$43^{43} \times 43^4 > 43^{43} \times 1.093^{43}$ 

$43^{43} \times 43^4 > (43 \times 1.093)^{43}$ 

$43^{47} > 47^{43}$ 

である (厳密さに欠けるが, $43^4$ と $5$ の比較なら約 $680000$ 倍も違うので, 有効数字を考慮していけば十分な気もするが... )

翌日追記

近似式

$(1+x)^n \simeq 1+nx$ 

を使うためには, $|x| \ll 1$ である必要があったのだが, この解答では“十分に小さい”とは言えない, ということに気がついた. 

実際, この式の元（導出方法は色々あるが, 今回は二項定理とする）を考えると, (計算は Google Spreadsheet を使っているので, 有効数字は小数第 9 位まで) 

$(1+0.093)^{43} = 1 + 3.999 + 7.810047 + 9.926569737 + 93231709855 + \cdots$ 

というように, 近似するためには項数が少なすぎる. 

n	項	和
0	1	1
1	3.999	4.999
2	7.810047	12.809047
3	9.926569737	22.73561674
4	9.231709855	31.96732659
5	6.696682329	38.66400892
6	3.944345892	42.60835481
7	1.938927745	44.54728256
8	0.8114412612	45.35872382
9	0.2934712561	45.65219508
10	0.09279561119	45.74499069
11	0.02588997552	45.77088066
12	0.00642071393	45.77730138
13	0.001423916789	45.77872529
14	0.0002837662744	45.77900906
15	0.00005102117614	45.77906008
16	0.000008303696417	45.77906838
17	0.000001226504806	45.77906961
18	0.0000001647604789	45.77906978
19	0.00000002016147966	45.7790698
20	0.00000000225002113	45.7790698

整数部分まで確定するためには, $n=9$ のときまで求める必要があるので, これでは手計算で求めるには, やはり難しすぎると考えられる. まあ, ここまで求めることができれば, あとは有効数字を考慮していけば, なんとかなる気も... 

(解法 4) 数学 II・数学 B まで履修した人向けの解法（激ムズ）

二項定理より, ($\binom{n}{r}$ は二項係数であり, 日本の高校数学では ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ と表す) 

$47^{43} = (43+4)^{43}$ 

$= \displaystyle\sum_{k=0}^{43}\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k = (*)$ 

ここで, $B(k)=\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k$ とおき, $B(k)$ の最大値を調べる. $0 \le k \le 42$ のうち, $B(k)$ が増加する $k$ の範囲を調べる. 

$B(k) < B(k+1)$ 

$\binom{43}{k} \times 43^{43-k} \times 4^k < \binom{43}{k+1} \times 43^{43-(k+1)} \times 4^{k+1}$ 

$\dfrac{43!}{k!(43-k)!} \times 43^{43-k} \times 4^k < \dfrac{43!}{(k+1)!(42-k)!} \times 43^{42-k} \times 4^{k+1}$ 

$\dfrac{43}{43-k} < \dfrac{4}{k+1}$ 

$43(k+1) < 4(43-k)$ 

$43k+43 < 172-4k$ 

$47k < 129$ 

$k < \dfrac{129}{47} = 2+\dfrac{35}{47}$

であるので, 

$B(0)<B(1)<B(2)<B(3)>B(4)>B(5)>\dots>B(43)$, 

即ち $B(k)\le B(3)$ であることが分かる. 

これより, 

$(*) \le \displaystyle\sum_{k=0}^{43}\binom{43}{3} \times 43^{40} \times 4^3$
$= 44 \times \dfrac{43 \times 42 \times 41}{3 \times 2 \times 1} \times 43^{40} \times 4^3$ 

$= 43^{41} \times 41 \times 7 \times 4^4 \times 11$ 

$= 43^{41} \times 41 \times 7 \times 4^2 \times 4^2 \times 11$ 

$< 43^{41} \times 43 \times 43 \times 43 \times 43 \times 43$ 

$= 43^{46} < 43^{47}$ 

であるので, 

$47^{43}<43^{47}$ が成り立つ. 

授業で出題した問題（週末課題 Season.2 No.01）

8 月になって、三者面談をしています。

8 月 3 日（月）に 8 人、 4 日（火）に 5 人、 5 日に 8 人、というハイペースで。

何故、こんなにハイペースで行っているのかというと・・・


日程が、この 3 日間しかないんですよね・・・

まあ、それでも急な日程にも関わらず 21 人も来てくれるってのはありがたいですね。


そんな三者面談でも、最近（私とその周辺で流行っている）Google Docs をフル活用しています。

面談の案内は（紙でも配布しているが） ドキュメントを使い、日時の希望調査は Google form で回答してもらい、日程表は Spreadsheet で送って、面談の資料は Spreadsheet で作成し、聞き取った内容も Spreadsheet に記入していく・・・

なんか、 Google Docs がないと、もう仕事を出来ないのではないでしょうか？？





授業で出題した課題。週末課題 Season.2 です。何故、 Season.2 になったのかというと・・・単純に、前期中間考査が終わって、気分転換です。
今回の問題は、第 357 回実用数学技能検定 (2020.07.11 実施) の 2 次試験の第 4 問と第 7 問です。




第 1 問
箱の中に, 赤球 $4$ 個, 白球 $3$ 個, 青球 $2$ 個の合計 $9$ 個の球が入っています. この中から無作為に選んだ $2$ 個の球を同時に取り出すとき, 次の問いに答えなさい.
(1) $2$ 個とも青球である確率を求めなさい.
(2) $2$ 個とも同じ色である確率を求めなさい.

第 2 問
$X$ を $0$ から $9$ までの数字とするとき,
$10X1$, $10X3$, $106X$, $109X$ (いずれも $4$ 桁の整数を表します. )
がすべて素数となる $X$ が $1$ つだけあります.
この $X$ を求めなさい.





解答例
第 1 問
(1) 全事象は $9$ 個の中から $2$ 個を選ぶので ${}_{9}\mathrm{C}_{2}$ 通り,
確率を求める事象は $2$ 個の中から $2$ 個を選ぶので ${}_{2}\mathrm{C}_{2}$ 通り,
よって求める確率は
$\dfrac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{9}\mathrm{C}_{2}} = \dfrac{1}{36}$.

(2)
同様に $2$ 個とも赤球, $2$ 個とも白球である組み合わせは ${}_{4}\mathrm{C}_{2}$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるので, 求める確率は
$\dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{9}\mathrm{C}_{2}} = \dfrac{6+3+1}{36} = \dfrac{5}{18}$.

第 2 問
倍数の判定法のうち,
「$2$ の倍数 $\iff$ 下 $1$ 桁が $2$ の倍数」
「$3$ の倍数 $\iff$ 各位の数の和が $3$ の倍数」
は, 比較的簡単に倍数かどうかが分かる. これより,
$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
\pmod2 & \times & & \times & & \times & & \times & & \times & \\
\hline
\pmod3 & & \times & \times & & \times & \times & & \times & \times &
\end{array}
$

ここまでくると, $X$ の候補は $3$ と $9$ のみに絞られる.
あとはどちらかで合成数になるものを見つければ, 答えが分かる.

考える数は...
$
\begin{array}{cccccc}
X=3 & \longrightarrow & 1031 & 1033 & 1063 & 1093 \\
X=9 & \longrightarrow & 1091 & 1093 & 1069 & 1099
\end{array}
$
であるが, $1093$ は両方に含まれているので, これは素数である（はずである）.

あとは, 残りの $6$ つの整数の中で合成数になっているものを探せばよい.


どれも $5$ の倍数でないことは明らかである.

次に $7$ の倍数になっているかを確認すると,
$1099 = 7 \times 157$
であるので, $X=9$ のときは不適である.


以上より, $X=3$ である.

授業で出題した問題（平日課題 No.09）

８月になって、勤務校も夏休みになりました。


三者面談をしたいと思っていたのだが、このタイミングで、（変な言い方ですが）保護者を学校に呼び出すのはどうなのか、って事で、三者面談をしてもいいかの返事が遅くなりまして・・・

実施の２週間前になって、やっと許可がおりまして・・・


で、ここ最近、今まで以上に Google Docs を使いまくっています。今回の三者面談のお知らせも、紙で配布する前に４連休に突入してしまったので、生徒に Gmail で実施のお知らせを送り、 Google form で日程アンケートを行い、その結果を Spreadsheets で作成し、 Gmail で共有して知らせる。

なんか、私の仕事はもう、 Google なしでは出来ない・・・って事ではないんですが、使えるものはどんどん使っています。


前期中間考査の点数も、別ファイルに全員分の一覧を作成し、 vlookup と importrange で生徒それぞれのファイルに引用させる形で成績表を見れるようにして、そのファイルを閲覧のみでその生徒と共有する。編集権限を与えると、他の生徒の成績まで見えてしまうので・・・（正確には元ファイルへのアクセス権限がないので見れないのですが、例えば出席番号から vlookup で拾うようになっている場合、勝手に書き換えても #N/A というエラーが出る。それを担任に知らせて直させる際に、担任のアカウントで開いた瞬間に、アクセス出来てしまうので、違う生徒の成績が表示されてしまうので・・・）


そんなわけで、これからも Google Docs を使いまくっていきたいと思います。





授業で出題した課題。なんか、忙しくなったから、１ヶ月も前の課題なのですが・・・

不定方程式の問題で、 2016 年のセンター試験追試の問題。


$a=407$, $b=481$ とする.
(1) $a$, と $b$ の最大公約数は $[アイ]$ であり, 最小公倍数は $[ウエオカ]$ である.
$\sqrt{abc}$ が整数となる正の整数 $c$ の中で, 最小のものは $[キクケ]$ である.
(2) $a$ と $b$ の最大公約数が $[アイ]$ であることに注意すると, 不定方程式
$ax=-by$
の整数解は, $x= [コサシ]k$, $y= [スセ]k$ ($k$ は整数) である.
(3) 不定方程式
$ax+by=40700$
を満たす $0$ 以上の整数 $x$, $y$ の組は $[ソ]$ 組あり, その中で $x$ が最も小さいものは $x= [タ]$, $y= [チツ]$ である. また,
$ax+by = 40700+ [アイ]$
を満たす $0$ 以上の整数 $x$, $y$ の組は $[テ]$ 組あり, その中で $x$ が最も小さいものは $x= [ト]$, $y= [ナニ]$ である.




(1)
$481 = 407+74$
$407 = 74 \times 5 + 37$
$407 = 37 \times 11$
であるので, ユークリッドの互除法より最大公約数は $37$ である.

最大公約数と最小公倍数の関係より, 最小公倍数は
$\dfrac{407 \times 481}{37} = 5291$
である.

これより,
$ab = 407 \times 481 = (37 \times 11) \times (37 \times 13)$
であるので, 求める最小の $c$ は
$c=11 \times 13 = 143$
である.

(2)
$ax = -by$
$407x = -481y$
$11x = -13y$
ここで, $11$ と $13$ は互いに素であるので, 整数 $k$ を用いて
$x=-13k$, $y=11k$
を得る.

(3)
$407 x + 481 y = 40700$
$407(x-100) = -481$
$11(x-100) = -13y$
(2) と同様に
$x-100=-13k$, $y=11k$
$x=100-13k$
これより, $x$, $y$ がともに $0$ 以上となるのは
$100-13k \ge 0$
$-13k \ge -100$
$k \le \dfrac{100}{13} = 7 + \dfrac{9}{13}$,
$11k \ge 0$
$k \ge 0$
より,
$0 \le k \le 7+\dfrac{9}{13}$
であるので, $k=0, \dots, 7$ の $8$ 組あり, その中で $x$ が最小となるのは $k=7$ のときであり,
$x = 100-13 \times 7 = 9$,
$y = 11 \times 7 = 77$
である.

同様に,
$407x + 481y = 40700+37$
$407(x-100)+481y = 37$
$11(x-100)+13y = 1$
であり,
$11 \times 6 + 13 \times (-5) = 1$
であるので, この $2$ 式の差をとると
$11(x-106) + 13(y+5) = 0$
$11(x-106) = -13(y+5)$,
であり,
$x-106 = -13k$, $y+5 = 11k$
$x=106-13k$, $y=11k-5$
と表すことができる.
これらが $0$ 以上となるのは
$106-13k \ge 0$
$-13k \ge -106$
$k \le \dfrac{106}{13} = 8+\dfrac{2}{13}$
$11k-5 \ge 0$
$11k \ge 5$
$k \ge \dfrac{5}{11}$
より,
$\dfrac{5}{11} \le k \le 8+\dfrac{2}{13}$
であるので, $k=1, \dots, 8$ の $8$ 組あり, その中で $x$ が最小となるのは $k=8$ のときであり,
$x = 106 - 13 \times 8 = 2$,
$y = 11 \times 8 - 5 = 83$
である.

授業で出題した問題（週末課題 No.09）

Classroom の使い方を再考察しなければならない。

今期の私の授業のレポートは、全て Classroom で提出としているのですが・・・

テスト前になって、一気に提出が増えてきまして、もうチェックが間に合わなくなってきていて・・・土日に一気に処理しないと、全く追いつかないんですよね・・・採点に関しては、 Classroom で Google フォームと連携した「テスト付きの課題」を利用して確認する、なんて方法くらいしか・・・穴埋めにして回答させて、自動採点で確認する、というくらいしか・・・まあ、問題に応じて写真で提出と、フォームによる自動採点とを使い分けていくしかないですかね・・・






(1) は 2018 年の杏林大の、 (2) は 2019 年の日本工大の入試問題です。


次の問に答えよ.
(1) 一辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{OABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{OC}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ をとる. 頂点 $\mathrm{O}$ から $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ の順番で $3$ 点を通り, 頂点 $\mathrm{A}$ に至る最短経路の長さを求めよ.
(2) $a$, $b$ は実数とする. 放物線 $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動し, さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線と $x$ 軸の共有点は $(1, 0)$, $(5, 0)$ であった. このとき, $a=[~~~]$, $b=[~~~]$ である. また, この $a$, $b$ の値に対して, $x$ の方程式 $|x^2+ax+b|=k$ が異なる $4$ つの実数解をもつとき, 定数 $k$ の値の範囲は $[~~~]$ である.




(1) 展開図を考える.


この図より, この経路が最短となるのは $5$ 点$\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{A}$ が一直線上になるときである. これより, 最短経路の長さを $L$ とすると, 余弦定理より
$L^2=\mathrm{OO}'^2+\mathrm{O}'\mathrm{A}'^2-2 \times \mathrm{OO}' \times \mathrm{O}'\mathrm{A}' \times \cos\angle\mathrm{OO}'\mathrm{A}'$
$= 2^2+1^2-2 \times 2 \times 1 \times \left(-\dfrac12\right)$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.




余弦定理を用いずに, $\mathrm{A}'$ から直線 $\mathrm{OO}'$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると, $\mathrm{A}'\mathrm{H}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるので,
$L^2 = \mathrm{OH}^2+\mathrm{HA}'^2$
$= \left(\dfrac52\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$= \dfrac{25}{4}+\dfrac{3}{2}$
$= 7$,
$L>0$ より
$L=\sqrt{7}$
である.



(2) $y=x^2+2ax+b$ を $x$ 軸に関して対称移動したものは
$-y=x^2+2ax+b$
$y=-x^2-2ax-b$
である. これをさらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものは
$y+1=-(x-1)^2-2a(x-1)-b$
$y=-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)$
である. これと $x$ 軸との共有点を調べると,
$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
$x=(1-a)\pm\sqrt{a^2-b-1}$
である. 共有点が $(1, 0)$, $(5, 0)$ であるので,
$
\begin{cases}
(1-a)+\sqrt{a^2-b-1} = 5 \\
(1-a)-\sqrt{a^2-b-1} = 1
\end{cases}
$
である. これより
$a=-2$, $b=-1$
を得る.

$|x^2-2x-1|=k$ の実数解の個数と対応する $y=|x^2-2x-1|$ のグラフと $y=k$ のグラフの共有点の個数を考える.

$y=x^2-2x-1$
$= (x-1)^2-2$
より, グラフは以下の通り.



これより, $0<k<2$ を得る.


$2$ 次方程式を求めたところからの, 数学 II で学ぶ内容を用いた別解.

$-x^2+2(1-a)x+(2a-b-2)=0$
解と係数の関係より,
$
\begin{cases}
1+5=-\dfrac{2(1-a)}{-1} \\
1\times5=\dfrac{2a-b-2}{-1}
\end{cases}
$
これを解いて $a=-2$, $b=-1$ を得る.


最初からの別解.
$x$ 軸に関して対称移動すると $y=-x^2+O(x)$, 更に平行移動すると $y=-x^+O(x)$ である（$O(x)$ は最高次が $x$ である整式）ので, これと $(1, 0)$, $(5, 0)$ を通るの事より
$y=-(x-1)(x-5)$
$=-x^2+6x-5$
である. これを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものは
$y-1=-(x+1)^2+6(x+1)-5$
$y=-x^2+4x+1$
であり, これを更に $x$ 軸に関して対称移動すると
$-y=-x^2+4x+1$
$y=x^2-4x-1$
であるので, $a=-2$, $b=-1$ を得る.

授業で出題した問題（平日課題 No.08）

無茶なルール。


ここ２週間くらい、昼休みは教室に行ってます。密にならない為に、とか色々と理由はあるのですが、毎日担任は昼休みに教室に行く、という事で・・・

なんか、ひたすら担任にばかり負担を増やしているんですね・・・


今日の午前最後の授業は別棟の３階で３年生の授業。それが終わって、本校舎の３階のホームルーム教室へダッシュして戻り、昼休みを教室で過ごす。昼休み終了の５分前の予鈴が鳴ったら職員室へ戻り、道具を持ち替えて再び別棟の３階へ。そのまま２時間授業を行い、終わったら再びダッシュで本校舎の職員室へ戻り、帰りのショートホームルームへ。１５時を過ぎて、ようやくランチを食べることが出来たのですが・・・

明日は、昼前２時間授業をして、昼休みにホームルーム、午後からまたもや２時間の授業、帰りのショートホームルーム、更には主顧問が休みの為、副顧問として部活動で体育館に２時間半ほどいることに・・・この時点で、既に１７時を過ぎているのですが、ランチって、いつ食べるのでしょうか？？





今日も、授業で出題した問題。以前出題した確率の問題で、なんとも正解率の低かったところを復習するためのチョイスです。2018 年の名城大の問題です。





次の問いに答えよ.
(1) $x+y+z=10$ を満たす自然数の組 $(x, y, z)$ ($x>0$, $y>0$, $z>0$) の個数を求めよ.
(2) $x+y+z=100$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$) の個数を求めよ.
(3) $x+y+z+w=n$ ($n\ge0$) を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y, z, w)$ ($x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$, $w\ge0$) の個数を求めよ.



(1) 具体的にいくつか例を考えてみる.

$(x, y, z)=(1, 2, 7)$ は条件を満たす解の $1$ つである. これを,
○|○○|○○○○○○○
と表すことにする. ○ $10$ 個の間 $9$ 箇所の中から $2$ 箇所を選んで区切りを入れると, このような表記ができる.
このような表し方をすると, $(x, y, z)$ の組とこの並べ方が一対一の対応をしていることが分かる. よって, 求める組の個数は
${}_{9}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$
より $36$ 個.


(2) 同様に考える.

単純に (1) と同様と考えると ${}_{99}\mathrm{C}_{2}$ 個となるのだが, これでは $(0, 0, 100)$ といった組み合わせはできない.

(1) と違い,
||○○○○○○○○○○
というような並べ方も考えなくてはならない (面倒なので○は $10$ 個しか書いてない). この並べ方はどのようなルールになっているか考えると, ○ $100$ 個と | $2$ 個の合計 $102$ 個を並べることになる. よって,
${}_{102}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{102 \times 101}{2 \times 1} = 5151$
より $5151$ 個.


(3) (2) と同様に,
${}_{n+3}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac16(n+3)(n+2)(n+1)$.

授業で出題した問題（平日課題 No.06）

運動不足が予想以上に・・・


今日の部活も自主練だったので、走路を走りに行きたい、という部員についていって、見ていました。中身としては、走路を走ってたり、フットワークの練習をしたり、それぞれだったのですが・・・

３年生部員から声をかけられて・・・
「センセーも一緒に走りましょう」
そんなわけで、仕方なく走ることになったのですが・・・


筋肉とか、心臓とか、肺とかが限界、ではないのですが、１周半くらいで力尽きました。

もうなんか、脛が限界を迎えてしまいまして・・・ちょっと汗をかきましたけど、全然“体力”的には余裕だったんですが・・・

恐ろしい、３ヶ月に渡る、運動不足・・・半日過ぎた今（２２時）になっても、筋肉痛とか全然ないのに、脛が痛い・・・






今日も、授業で出題した問題。
なんか、見返していたら、何故か見逃していた、平日課題 No.06 の解説。結構有名な問題なので、知っている人も多いはず。詳しくは覚えていませんが、どっかの大学の入試問題だった気がする。

本論とはずれますが、この手の整数（自然数）問題を出題されると、「自然数に $0$ を含むのか含まないのかを明示しないなんて、問題の不備だ」とか言い出す“自称・数学が分かっている人”がいるんですよね。日本で高校数学を学ぶと、自然数には $0$ は含まれないのですが、海外では $0$ を含むことが多かったり、大学で初等整数論を学ぶと自然数を定義する為に、空集合 $\emptyset$ を $0$ に対応させて定義するので、自然数に $0$ を含むので、「俺はそういった学識の高い人間だぜ」アピールをしているのだと思うのですが・・・問題を見れば、 $\dfrac1p$ とか、分母にきているのを見れば、どっちで定義していても $0$ は解にならない事は直ぐに分かると思うのですが・・・





以下の等式を満たす自然数 $p$, $q$, $r$ の組 $(p, q, r)$ の総数を求めよ.
$\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r=1$




$p \le q \le r$ と仮定する. すると, $\dfrac1p \ge \dfrac1q \ge \dfrac1r$ である. これより,
$1=\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1p+\dfrac1p+\dfrac1p=\dfrac3p$
即ち $p\le3$ である.

(i) $p=1$ とすると,
$\dfrac11+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $q$, $r$ は存在しない.

(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
ここで,
$\dfrac12=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 4$ である. $p \le q$ であるので $2 \le q \le 4$ である.

(ii-i) $q=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=0$
これを満たす自然数 $r$ は存在しない.

(ii-ii) $q=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac16$
$r=6$
であるので, $(p, q, r)=(2, 3, 6)$ を得る.

(ii-iii) $q=4$ とすると,
$\dfrac14+\dfrac1r=\dfrac12$
$\dfrac1r=\dfrac14$
$r=4$
であるので, $(p, q, r)=(2, 4, 4)$ を得る.

(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
ここで,
$\dfrac23=\dfrac1q+\dfrac1r\le\dfrac1q+\dfrac1q=\dfrac2q$
即ち $q \le 3$ である. $p \le q$ であるので $q=3$ である.
$\dfrac13+\dfrac1r=\dfrac23$
$\dfrac1r=\dfrac13$
$r=3$
であるので, $(p, q, r)=(3, 3, 3)$ を得る.

以上より, $(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$ である. $p \le q \le r$ の仮定を外すと, それぞれ $3!$ 通り, ${}_{3}\mathrm{C}_{1}$ 通り, $1$ 通りであるので,
$3!+{}_{3}\mathrm{C}_{1}+1=10$
より $10$ 通りである.



$p$ の値を仮定したあとの別解がある.

(ii) $p=2$ とすると,
$\dfrac12+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac12$
$2r+2q=qr$
$qr-2q-2r=0$
$(q-2)(r-2)=4$
$p \le q \le r$ より $0 \le q-2 \le r-2$ であるので,
$(q-2, r-2) = (1, 4), (2, 2)$
$(q, r) = (3, 6), (4, 4)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (2, 3, 6), (2, 4, 4)$
を得る.

(iii) $p=3$ とすると,
$\dfrac13+\dfrac1q+\dfrac1r=1$
$\dfrac1q+\dfrac1r=\dfrac23$
$3r+3q=2qr$
$4qr-6q-6r=0$
$(2q-3)(2r-3)=9$
$p \le q \le r$ より $3 \le 2q-3 \le 2r-3$ であるので,
$(2q-3, 2r-3) = (3, 3)$
$(q, r) = (3, 3)$
を得る. これより,
$(p, q, r) = (3, 3, 3)$
を得る.

以下, 省略.

授業で出題した問題（週末課題 No.08）

土日の部活も（自主練ですが）始まりました。まあ、それでも半日のみなので、午後からは帰宅してゆっくりと・・・力尽きて昼寝をしていました。


授業で、演習のクラスの生徒から課題を Classroom で提出させているのですが、体育館に行くと、学校の Wi-Fi が入らないので、全然チェックが出来ませんでした。なので、帰宅して、力尽きる前になんとか提出されていたものを全部チェックし、返却しました。

Rakuten UN-LIMIT にして、色々と実験していたところで、まだ今月になってから 6 日なのに、今月の通信容量がなくなる直前となっています。特に普段からは見るつもりもないのに、外出先で YouTube を観てみたり、Prime Video を観てみたり、色々と実験をしていたら、あっという間に容量がなくなりました。

ただ、実験をしていった結果、Prime Video はデータ節約モードでは観れないようです。公式に、 SD（標準画質）コンテンツの場合は1MB/s以上が必要だと出ていますし、節約モードや低速モードでは 1Mbps が上限なので、ここから不可能であることは分かるわけです。YouTube は画質が色々とあって、自動設定になっていれば、通信速度に合わせて画質が変更されるので、前述の 1Mbps のままでも快適に観れるような画質になります。なので、問題なく観ることができました。まあ、外で観ることも、ほとんどないんでしょうけど・・・


しかし、 Classroom はどれだけの速度がないと難しいのか？？普通にアクセスしたりするにはそんなに速度は必要ないと思うのですが、困ったのは提出されたレポートの確認のとき。恐らく、生徒が撮った写真の画質そのままの状態でダウンロードしているので・・・

って思って、調べてみたんですが、どの写真も、大きくても 1.7MB 程度。当然ですが、スマホで撮った程度の写真なので、そんなもんですよね。

でも、問題はそこではないんですよ。受信した画像を編集（赤ペンで採点、コメント入れ）をする際に、編集状態で開くことができないんですよ・・・これがどういう仕様になっているのか分かりませんが、まさか編集機能自体を毎回ダウンロードしている、なんて事は・・・流石にないと思いますが、だとしたら、何故開けないのでしょうか？？







今日も授業で出題した問題。(1), (2) は藤田医大、 (3) は甲南大の入試問題です。





次の問いに答えよ.
(1) 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある. $\mathrm{AB}=1$, $\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{CD}=12$, $\mathrm{DA}=9$ のとき, この四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ.
(2) $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ の $7$ 個の数字から, 異なる $4$ 個を選び出して並べ, $4$ 桁の整数を作るとき, $3600$ より大きい奇数の個数を求めよ.
(3) $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りを求めよ.





(1) 一般的な解法としては, 余弦定理, 相互関係の順に用いて面積を求める.

$\angle\mathrm{ABC}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{AC}^2=1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta$
$\mathrm{AC}^2=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$1^2+8^2-2\times1\times8\times\cos\theta=12^2+9^2-2\times12\times9\times\cos(180^\circ-\theta)$
$65-16\cos\theta=225+216\cos\theta$
$-232\cos\theta=160$
$\cos\theta=-\dfrac{160}{232}=-\dfrac{20}{29}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2}=\dfrac{21}{29}$
であるので, $\triangle\mathrm{XYZ}$ の面積を $S_{XYZ}$ とおくと,
$S=S_{ABC}+S_{CDA}$
$= \dfrac12 \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} \times \sin\theta + \dfrac12 \times \mathrm{CD} \times \mathrm{DA} \times \sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 1 \times 8 \times \dfrac{21}{29} + \dfrac12 \times 12 \times 9 \times \dfrac{21}{29}
= \dfrac{84+1134}{29}
= \dfrac{1218}{29}
= 42$.


もちろん, $\angle\mathrm{BCD}=\theta$ としても同様に解くことができる.

（別解）$\angle\mathrm{BCD}=\theta$ とおくと, 余弦定理より
$\mathrm{BD}^2=8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta$
$\mathrm{BD}^2=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
が成り立つ. これより,
$8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos\theta=9^2+1^2-2\times9\times1\times\cos(180^\circ-\theta)$
$208-192\cos\theta=82+18\cos\theta$
$-210\cos\theta=-126$
$\cos\theta=\dfrac{126}{210}=\dfrac{3}{5}$,
三角比の相互関係より
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2} = \dfrac45$
であるので,
$S=S_{BCD}+S_{DAB}$
 $= \dfrac12\times\mathrm{BC}\times\mathrm{CD}\times\sin\theta + \dfrac12\times\mathrm{DA}\times\mathrm{AB}\times\sin(180^\circ-\theta)$
$= \dfrac12 \times 8 \times 12 \times \dfrac45 + \dfrac12 \times 9 \times 1 \times \dfrac45 = \dfrac{192+18}{5} = \dfrac{210}{5} = 42$.


更に別解として, 一発で面積を求めることのできる公式がある.


Brahmagupta's formula (ブラーマグプタの公式)
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.


これを用いると,
$s=\dfrac{1+8+12+9}{2}=\dfrac{30}{2}=15$,
$S=\sqrt{(15-1)(15-8)(15-12)(15-9)}=\sqrt{14 \times 7 \times 3 \times 6}
= \sqrt{(2 \times 7) \times 3 \times (2 \times 3)} = 2 \times 3 \times 7 = 42$.



この公式自体は, 三角形の面積を求める Heron's formula (ヘロンの公式) の拡張であると考えることができる. 更に拡張して, 任意の四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求める Bretschneider's formula (ブレートシュナイダーの公式) が知られている.


Bretschneider's formula
四角形 $\mathrm{ABCD}$ について, $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$, $\mathrm{CD}=c$, $\mathrm{DA}=d$ とする. このとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は
$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$
で求めることができる.


この証明に関しては, なかなか (難しい, ではなく) 面倒なので, 機会があれば別のときに.





(2) この問題は, 場合分けをして考えていけば問題ない.

千の位が $4$ または $6$ のとき ($2$ 通り), 一の位は $1$, $3$, $5$ の $3$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.

千の位が $5$ のとき, 一の位は $1$, $3$ の $2$ 通りであり, 百の位, 十の位は残りの $5$ 個の中から $2$ 個を選んで並べればよいので ${}_{5}\mathrm{P}_{2}$ 通り.

千の位が $3$ のとき, 百の位は $6$, 一の位は $1$ または $5$ の $2$ 通り, 十の位は残りの $4$ 個があるので $4$ 通り.

以上より,
$2 \times 3 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 2 \times {}_{5}\mathrm{P}_{2} + 1 \times 1 \times 2 \times 4 = 120 + 40 + 8 = 168$
より $168$ 通り.





(3) 私が想定した解法としては, 以下の通り.
$9^1\equiv9\pmod{100}$
$9^2\equiv81\pmod{100}$
$9^3\equiv81\times9=729\equiv29\pmod{100}$
$9^4\equiv29\times9=261\equiv61\pmod{100}$
$9^5\equiv61\times9=549\equiv49\pmod{100}$
$9^6\equiv49\times9=441\equiv41\pmod{100}$
$9^7\equiv41\times9=369\equiv69\pmod{100}$
$9^8\equiv69\times9=621\equiv21\pmod{100}$
$9^9\equiv21\times9=189\equiv89\pmod{100}$
$9^{10}\equiv89\times9=801\equiv1\pmod{100}$
より,
$9^{100} = (9^{10})^{10} \equiv 1^{10} = 1\pmod{100}$
であるので, 求める余りは $1$ である.




別解として, 数学 II で学んだ二項定理を用いる方法もある (出題した授業自体は数学 I・A を範囲としているのに, こっちで解いてきた生徒が非常に多かった).

$9^{100}=(10-1)^{100}=\displaystyle\sum_{r=0}^{100}{}_{100}\mathrm{C}_{r} \times 10^r \times (-1)^{100-r}$
ここで, $r\ge2$ のとき
$10^r=100\times10^{r-2}\equiv0\pmod{100}$
より $100$ の倍数, $r=1$ のとき
${}_{100}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{100}{1}=100$
より $100$ の倍数であるので, $9^{100}$ を $100$ で割ったときの余りは
$9^{100}\equiv{}_{100}\mathrm{C}_{0}\times10^0\times(-1)^{100}=1\pmod{100}$
であるので $1$ である.