2020日本数学オリンピック予選 第７問

放課後に仕事をしていたら、２年生の生徒が来まして・・・
あのときに質問に来た生徒が、またもや化学を教えてくれ、って。
だから、私は理科の先生ではないのですが・・・


で、今日の問題は、この表って何、って。

周期表か？それともイオン化傾向のやつ？？

なんて思ったのですが、見てみたら・・・

問題（正確な問題文は覚えていないけど、確かこんな数字だった・・・）
$10 \%$ の希硫酸 $19.6$ g を $1$ mol$/$L の水酸化カリウムだと何 mL で中和できるか。

細かい解法とかは書きませんが、ここで注意して教えたのが“次元”のこと。

小学校で速さの問題に対して、「みはじ」とか「はじき」とか言われる特異なワードを用いた解法。

はっきり言うと、私はこのやり方が嫌いです。
次元を理解できれば、こんなものを使わなくてもちゃんと計算式が分かるのです。

例えば、$500$ m の道のりを毎分 $20$ m の速さで移動したら何分かかるか。
なんて問題のとき、速さを求めるので「みはじ」だと「速さ 分の 道のり」になるのですが・・・

次元を理解していると、毎分 $20$ m の単位は $20$ m$/$分 であるので、
m と m$/$分 を掛けたり割ったりして 分 を求めるにはどうしたらいいか。
そこを考えたら、m$\div$(m$/$分) というのが分かると思うので、計算式が出てくる。
これが分かれば、前述の問題も同様の考え方で分かってくるものなのですが・・・

で、最初に言っていた表ってのは、分子の物質量と価数を並べて、イオンの物質量を求める為に掛けてるものでした。
はっきり言って、表にする意味、まったく無いんじゃね？？





今日は第７問。

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$2 \times 1010$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $5$ 以下の整数を $1$ ずつ書き込む. 辺を共有して隣りあうどの $2$ マスについても書き込まれた数の差が $2$ または $3$
となるように書き込む方法は何通りあるか. ただし, 回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える.




隣り合うことができる組み合わせは, $(1, 3)$, $(1, 4)$, $(2, 4)$, $(2, 5)$, $(3, 5)$ である. これより, 対称性があることが分かる.


$1$ 列目の $2$ 数の選び方は $5 \times 2= 10$ 通り.

前述の通り対称性があるので, $1$ 列目を $1$, $3$ としても一般性を失わない. このとき, $2$ 列目の選び方は
\[
\begin{array}{|c|c|c}
\hline
1 & 3 & \\
\hline
3 & 1 & \\
\hline
\end{array}
~~~~~
\begin{array}{|c|c|c}
\hline
1 & 3 & \\
\hline
3 & 5 & \\
\hline
\end{array}
~~~~~
\begin{array}{|c|c|c}
\hline
1 & 4 & \\
\hline
3 & 1 & \\
\hline
\end{array}
\]
の $3$ 通りである.

$3$ 列目以降も $2$ 列目に依らず $3$ 通りであるので, 総数は $10 \times 3^{1009}$ 通りである.
（こんな値, どう考えても計算するようなものではない）

2020日本数学オリンピック予選 第６問

部活の保護者から、三送会で流す動画を作ってくれ、と依頼されている。

なので、今年も作業をし・・・ようとしているのですが・・・


○○さん、卒業おめでとうございます！
○○さんは△△で、□□が・・・

みたいなコメントが入ってる動画を後輩に撮影させて、それを編集して作る・・・


のですが、いつまで経っても送られてこない・・・

三送会は今週末で、あと４日しかないのですが・・・


ひょっとして、インスタくらいの感覚で考えてたりするんでしょうね・・・

最低でも、１０日は欲しかったのですが・・・






今日は第６問。

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平面上に $3$ つの正方形があり, 図のようにそれぞれ $4$ つの頂点のうち $2$ つの頂点を他の正方形と共有している. ここで, 最も小さい正方形の対角線を延長した直線は最も大きい正方形の左下の頂点を通っている. 最も小さい正方形と最も大きい正方形の一辺の長さがそれぞれ $1$, $3$ であるとき, 斜線部の面積を求めよ.

図のように $A \sim J$ とする.

正方形の一辺と対角線の関係より $\triangle ADE$ と $\triangle BDF$ が $1:\sqrt2$,
$\triangle BDF$ と $\triangle BCI$ が $\sqrt2:1$ の相似であるので（どちらも相似条件は「$2$ 組の辺の比が等しくその間の角が等しい」）, $\triangle ADE$ と $\triangle BCI$ は合同である.

よって, $HF \parallel BI \parallel AE$, $HF=BI=AE$ であるので,
四角形 $AEFH$ は平行四辺形である.

これより, $EF \parallel AF$ であるので, 求める面積は $\triangle AEF$ の面積と
等しい.

また, $\angle AED=\angle AEF=135^\circ$, $DE=FD$ であるので, $\triangle ADE$ と
$\triangle AFE$ は合同である.
よって, 求める面積は $\triangle ADE$ の面積と等しい.

$DJ=\frac1{\sqrt2}$ であるので, ピタゴラスの定理より 

\begin{align*}
AJ = \sqrt{3^2-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2} = \sqrt{\frac{17}2}
\end{align*}

である. 

よって, 求める面積は 

$\frac12 \times AE \times DJ = \frac12 \times \left(\sqrt{\frac{17}2}-\frac1{\sqrt2}\right) \times \frac1{\sqrt2} = \frac{\sqrt{17}-1}4. $

2020日本数学オリンピック予選 第５問

月曜日から発症している、ギックリ腰と思われる腰痛が治らない。

接骨院に行ったり、安静にしたりで、少しずつ改善しているような気もするのですが・・・


本日、勤務校の入試（２回目）だったのですが、その処理業務中に、柔道部顧問の先生と激突し、また腰痛が悪化したような気が・・・

明日は今度は部活の冬季リーグなので、出張という扱いになっていますし・・・





今日は第５問。


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正の整数 $n$ は $10$ 個の整数 $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{10}$ を用いて $(x_1^2-1)(x_2^2-2)\dots(x_{10}^2-10)$ と書ける. このような $n$ としてありうる最小の値を求めよ.

因数それぞれが $0$ に一番近い整数と, それと符号が異なる $0$ に一番近い整数を考える. 

$i=1$ のとき, $0^2-1=-1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-1=3$. 

$i=2$ のとき, $1^2-2=-1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-2=2$. 

$i=3$ のとき, $2^2-2=1$ が最小値であり, 逆符号は $1^2-3=-2$. 

$i=4$ のとき, $1^2-4=-3$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-4=5$. 

$i=5$ のとき, $2^2-5=-1$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-5=4$. 

$i=6$ のとき, $2^2-6=-2$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-6=3$. 

$i=7$ のとき, $3^2-7=2$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-7=-3$.

$i=8$ のとき, $3^2-8=1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-8=-4$. 

$i=9$ のとき, $2^2-9=-5$ が最小値であり, 逆符号は $4^2-9=7$. 

$i=10$ のとき, $3^2-10=-1$ が最小値であり, 逆符号は $4^2-10=6$.  

となるので, 絶対値が最小になるようにとると, 

$n= (-1) \times (-1) \times 1 \times (-3) \times (-1) \times (-2) \times 2 \times 1 \times (-5) \times (-1) = -60$ 

となるが, 正でないので不適. 

これを解消するために, 絶対値をできるだけ大きくせずに符号を変えるとすると, 前述より $i=9$ のときを変えるのが倍率が一番小さいので,

$n = -60 \times \left(-\frac75\right) = 84$

である. 

2020日本数学オリンピック予選 第４問

昨日、今日と勤務校のウィンタースクール。
まあ、東北地方の高校ではよくある、スキー教室です。


ただ、ご存知の通り、今シーズンは異常に積雪が少なく、先週の時点で実施するかどうか、だいぶ難しい判断ではあったのですが・・・


それにしても、うちのクラスで、スキーがしたくないからか、一昨日の昼前から腰が痛くなった、とか言い出すヤツが１人いまして・・・
それも、困ったことに、いい年した担任なのに・・・

はい、私がギックリ腰になってしまったようでした。
もう、スキー場を歩き回って、更に悪化したような気もしてくるのですが・・・


そもそも、私はスキーなんてしません。
平成も終わって令和になったこの時代に、エコだとか環境問題だとか言っているこの時代に、電気エネルギーを使って登って、ただ滑り降りてくるだけ、なんて無駄なことをしても仕方ないんじゃないのか？？
なんて言い訳をして、滑れない事をひた隠しにしています。




今日は第４問。

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正の整数 $n$ であって, $n^2$ と $n^3$ の桁数の和が $8$ であり, $n^2$ と $n^3$ の各桁合わせて $1$ 以上 $8$ 以下の整数がちょうど $1$ 個ずつ現れるようなものをすべて求めよ.





一の位について考える.
題意より, この時点で同じ数字が現れたり, $9$ が現れたら不適である.
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
n & n^2 & n^3 & \\
\hline
0 & 0 & 0 & N.G. \\
1 & 1 & 1 & N.G. \\
2 & 4 & 8 & \\
3 & 9 & 7 & N.G. \\
4 & 6 & 4 & \\
5 & 5 & 5 & N.G. \\
6 & 6 & 6 & N.G. \\
7 & 9 & 3 & N.G. \\
8 & 4 & 2 & \\
9 & 1 & 9 & N.G.
\end{array}
\]
これより, 求める整数 $n$ の一の位は $2$, $4$ または $8$ である.

$n$, $n^2$, $n^3$ の桁数について考える.
\[
\begin{array}{c|c|c}
n & n^2 & n^3 \\
\hline
1 & 1, 2 & 1, 2, 3 \\
2 & 3, 4 & 4, 5, 6 \\
3 & 5, 6 & 7, 8, 9
\end{array}
\]
これより, $n^2$ が $3$ 桁, $n^3$ が $5$ 桁のときである.
（表だけを見れば $n^2$ が $4$ 桁, $n^3$ も $4$ 桁のときもありうるが, $n$ は $2$ 桁であるのでこれは不適）

$n^2$ が $3$ 桁なので,
\[
\begin{array}{rcccl}
100 & \leqq & n^2 & < & 1000 \\
10 & \leqq & n & < & 10\sqrt{10} < 31.7
\end{array}
\]
である.

$n^3$ が $5$ 桁なので,
\[
\begin{array}{rcccl}
10000 & \leqq & n^3 & < & 100000 \\
21.5 < 10\sqrt[3]{10} & \leqq & n & < & 10\sqrt[3]{100} < 46.4
\end{array}
\]
である.

以上より, $22\leqq n<31$ である.

****************************************************************************************************
平方根や立方根の計算はザックリとやって,
\[
\begin{array}{rcccccccl}
30^2 & = & 900 & < & 1000 & < & 1024 & = & 32^2 \\
20^3 & = & 8000 & < & 10000 & & & & \\
 & & & & 100000 & < & 125000 & = & 50^3
\end{array}
\]
としても, $20\leqq n<32$ を得ることができる.
****************************************************************************************************

これらの条件を満たす候補は $22$, $24$, $28$ のみであるので, 実際に $2$ 乗, $3$ 乗をしてみる.
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
n & n^2 & n^3 & \\
\hline
22 & 484 & & N.G. \\
24 & 576 & 13824 & O.K. \\
28 & 784 & 21952 & N.G.
\end{array}
\]
より, $24$ のみである.