４次正方行列の逆行列などなど

昨日は月曜日だったのですが、土曜日に出勤だったのでその分の代休でした。
最近、疲れが溜まっていたので、気分転換にドライブに行ってきました。

特にどこに行こうとか決めてなかったのですが、
気がついたら一昨年まで住んでいた土地に・・・

そこで知り合いの店に挨拶に行ったら、すぐ目の前のラーメン屋に一緒に行ったり、
一昨年までいた職場に挨拶に行って、その後にあの宮城県ではお馴染みの
半田屋が出来てたので、そこで夕食を食べたり・・・


さて、今日も知恵袋。
線形代数の問題ですね。





$k$ を整数とし,
$A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-k\end{array}\right)$, $x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)$, $j=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)$
とおく.
以下の各問に答えよ.

(1) $A$ が正則であるための $k$ の条件を求めよ.
(2) $k=1$ のとき, 連立一次方程式 $Ax=j$ の解を求めよ.
(3) $A$ が正則行列であるとき, $A$ の逆行列の成分がすべて整数となるための必要十分条件は $k=1$ であることを示せ.





(1)
$\mathrm{det}(A)$ $=\left|\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-k\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&k&2&-1\\0&1&1&0\\0&3&3&-k\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{ccc}k&2&-1\\1&1&0\\3&3&-k\end{array}\right|$ $=-\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\k&2&-1\\3&3&-k\end{array}\right|$ $=-\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&2-k&-1\\0&0&-k\end{array}\right|$
$=-\left|\begin{array}{cc}2-k&-1\\0&-k\end{array}\right|$ $=k(2-k)$
であるので, $A$ が正則であるためには $k\neq0, 2$ である.

(2)
$k=1$ とすると,
$A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&-1&0\\0&1&2&-1\\-2&1&3&0\\3&3&0&-1\end{array}\right)$
であるので, 拡大係数行列を用いて計算すると,
$\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\-2&1&3&0&0\\3&3&0&-1&0\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&1&1&0&2\\0&3&3&-1&-3\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&0&-1&1&2\\0&0&-3&2&-3\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&0\\0&0&1&-1&-2\\0&0&-3&2&-3\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&-1&-1\\0&1&0&1&4\\0&0&1&-1&-2\\0&0&0&-1&-9\end{array}\right)$ $\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&0&8\\0&1&0&0&-5\\0&0&1&0&7\\0&0&0&1&9\end{array}\right)$
より, 解は $\left(\begin{array}{c}8\\-5\\7\\9\end{array}\right)$.

(3)
$k\neq0$, $2$ のとき,
$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
-2&1&3&0&0&0&1&0\\
3&3&0&-k&0&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&3&3&-k&-3&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&k&2&-1&0&1&0&0\\
0&3&3&-k&-3&0&0&1
\end{array}\right)$
$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&0&2-k&-1&-2k&1&-k&0\\
0&0&0&-k&-9&0&-3&1
\end{array}\right)$

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&2&0&1&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&-\frac{1}{2-k}&1-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&1&0&\frac{1}{2-k}&2+\frac{2k}{2-k}&-\frac{1}{2-k}&1+\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&-\frac{1}{2-k}&\frac{2-3k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&1&0&\frac{1}{2-k}&\frac{6-2k}{2-k}&-\frac{1}{2-k}&\frac{2}{2-k}&0\\
0&0&1&-\frac{1}{2-k}&-\frac{2k}{2-k}&\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}&0\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&-\frac{1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&0&1-\frac{2k}{2-k}+\frac{9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k}{2-k}+\frac{3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&1&0&0&2+\frac{2k}{2-k}-\frac{9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&1+\frac{k}{2-k}-\frac{3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
0&0&1&0&\frac{-2k}{2-k}+\frac{9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k}{2-k}+\frac{3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

$\Longrightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1&0&0&0&\frac{-3k^2+2k+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&1&0&0&\frac{4k-9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&\frac{2k-3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
0&0&1&0&\frac{-2k^2+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
0&0&0&1&\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

であるので, 逆行列は 

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{-3k^2+2k+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
\frac{4k-9}{k(2-k)}&\frac{-1}{2-k}&\frac{2k-3}{k(2-k)}&\frac{1}{k(2-k)}\\
\frac{-2k^2+9}{k(2-k)}&\frac{1}{2-k}&\frac{-k^2+3}{k(2-k)}&\frac{-1}{k(2-k)}\\
\frac{9}{k}&0&\frac{3}{k}&\frac{-1}{k}
\end{array}\right)$ 

である. 

この成分がすべて整数となる為には, $\frac{1}{k(2-k)}$ が整数であることが必要である.
これより, $k(2-k)=\pm1$ である.

$k(2-k)=1$ のとき
$k^2-2k+1=0$
$(k-1)^2=0$
$k=1$,

$k(2-k)=-1$ のとき
$k^2-2k-1=0$
$k=1\pm\sqrt2$

である.
$k$ は整数であるので $k=1$ であることが必要条件である.

$k=1$ とすると,
$k(2-k)=1$, $2-k=1$, $k=1$ となり, 全ての成分の分母が $1$ となるので全ての成分が整数となるので十分条件であることが分かる.

以上より, $k=1$ が必要十分条件である. 

この問題は、同じ計算を何度もしているので終わってから気がつくと思うが、(3) の計算を最初にやってから、分母を見れば (1) が得られるし、5 番目の成分だけを見て $k=1$ と代入すれば (2) が得られる。

線形写像

今日も、某質問サイトで見つけた問題。

(a) 任意の線型写像 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ に対して次を示せ. 

$f$ : 全射 $\iff$ $f$ : 単射

(b) 任意の線型写像$f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ に対して次を示せ.
$f$ : 全射 $\iff$ $f$ : 単射





(a) について, まずは以下の補題を証明する.

Lemma.1
$f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が線型写像のとき,
$f(\alpha)=0$ ならば $\alpha=0$ または $f(x)=0$ (恒等写像)である.

Proof of Lemma.1
$\forall\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ に対し, $f(\alpha)=0$ であるとすると,
$\forall\beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\exists k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, s.t. $\beta=k\alpha$ が成り立つ.
これより
$f(\beta)=f(k\alpha)=kf(\alpha)=0$
を得るので, $f(x)=0$ となる.


これを用いて (a) を証明する.

$f$ が全射であると仮定する.
このとき, $x_1$, $x_2 \in \mathbb{R}$ に対して $f(x_1)=f(x_2)$ であると仮定すると, $f$ は線型写像なので
$f(x_1) = f(x_2)$
$f(x_1)-f(x_2)=0$
$f(x_1-x_2)=0$
$f$ は全射であるので恒等写像ではない, よって
$x_1-x_2=0$
$x_1=x_2$
となるので $f$ は単射である.

$f$ が単射であると仮定する.
線型写像であるので, $f(0)=0$ である.
ここで, $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ とすると $f$ は単射であるので $f(x)\neq0$ である.
$f(x)=\alpha$ とすると, $\forall \beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ に対し $\exists k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ が存在し, $\beta=k\alpha$ となる.
これより, $\forall y\in\mathbb{R}$ に対し $\exists x\in\mathbb{R}$ が存在し, $f(x)=y$ が成り立つ.
よって $f$ は全射である.


(b) を証明する.

まず, $f$ が単射かつ線型写像のとき, $<\alpha_1, \alpha_2>=\mathbb{R}^2$  ならば $<f(\alpha_1), f(\alpha_2)>=\mathbb{R}^2$ である事を示す.

$f(\alpha_1)$, $f(\alpha_2) \in \mathbb{R}^2$ であるので, これらが一次独立であることを示す.
$k_1f(\alpha_1)+k_2f(\alpha_2)=0$ とすると, $f$ は線型写像なので
$f(k_1\alpha_1)+f(k_2\alpha_2)=0$
$f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)=0$
であり, $f$ は単射なので
$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0$,
$\alpha_1$, $\alpha_2$ は $\mathbb{R}^2$ の基底であるので一次独立, よって $k_1=k_2=0$ となるので $f(\alpha_1)$ と $f(\alpha_2)$ は一次独立である.
よって $f(\alpha_1)$, $f(\alpha_2)$ は基底である.

$\forall y\in\mathbb{R}^2=<f(\alpha_1), f(\alpha2)>$ とすると,
$\exists k_1$, $k_2\in\mathbb{R}$ が存在し,
$y=k_1f(\alpha_1)+k_2f(\alpha_2)$
と表すことができる.
$f$ は線型写像なので
$y=k_1f(\alpha_1)+k_2f(\alpha_2)$
$=f(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)$
が成り立つ.
ここで $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\in<\alpha_1, \alpha_2>$ となるので, $f$ は全射である.


$f$ が全射であると仮定する.
すると, $(1, 0), (0, 1)\in\mathbb{R}^2$ に対し $f(\beta_1)=(1, 0)$, $f(\beta_2)=(0, 1)$ となる $\beta_1$, $\beta_2\in\mathbb{R}^2$ が存在する.
このとき, $<\beta_1, \beta_2>=\mathbb{R}^2$ であることを示す.

$k_1\beta_1+k_2\beta_2=0$ とすると, $f$ は線型写像なので
$f(k_1\beta_1+k_2\beta_2)=f(0)=0$
$k_1f(\beta_1)+k_2f(\beta_2)=0$
$(k_1, k_2)=(0, 0)$
であるので, $k_1=k_2=0$ を得るので, $\beta_1$, $\beta_2$ は一次独立である,
即ち $<\beta_1, \beta_2>=\mathbb{R}^2$ である.


Lemma.2
$f(\alpha)=0$ のとき, $\alpha=0$ である.

Proof of Lemma.2
$\alpha\in\mathbb{R}^2$ に対し, $f(\alpha)=0$ とする.
ある $k_1$, $k_2\in\mathbb{R}$ に対し $\alpha=k_1\beta_1+k_2\beta_2$ と表すことができる.
これより
$f(k_1\beta_1+k_2\beta_2)=0$
$k_1f(\beta_1)+k_2f(\beta_2)=0$
$(k_1, k_2)=(0, 0)$
となるので, $k_1=k_2=0$ である.
よって, $\alpha=0$ である.


$\alpha_1$, $\alpha_2\in\mathbb{R}^2$ に対し, $f(\alpha_1)=f(\alpha_2)$ が成り立つとすると,
$f(\alpha_1)-f(\alpha_2)=0$
$f(\alpha_1-\alpha_2)=0$
Lemma.2 より
$\alpha_1-\alpha_2=0$
$\alpha_1=\alpha_2$
を得る.
よって, $f$ は単射である.





なんか、大学生のときはコレくらいの証明はサラッとできてた気がするんだけど・・・
時間が経つと、忘れるものですね・・・

でも、久しぶりに線形代数とかやってみて、楽しかった。

ベクトルの内積とは

再度、某知恵袋で見つけた質問に対する私なりの解答。




ベクトルの内積の概念がわかりません、、、、
教えてください





確かに、ベクトルを学んでいるときに、突然内積が登場し、ただただ計算だけをしているような印象を受け、内積の正体が分かりにくい。
分かりにくいというよりも、大した説明が存在していない。

そこで、私なりの考えをまとめてみた。



まず、数学的な意味について。

高校数学において, 内積の定義は $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ とすると,
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$
と定義される.
ここから導かれる定理として, $\overrightarrow{a}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\overrightarrow{b}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ に対して
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\sum_{i=1}^na_ib_i$
が成り立つことが分かる.

ただし, 数学では実際には逆に考えることが多い.
凡人には想像しにくい $n$ 次元空間を考えるとき, その空間内の $2$ つのベクトルのなす角 $\theta$ を求める為に用いる.


$4$ 次元以上の空間なんて, 基本的には分かる人はほとんどいない...
超一流の研究者の中には $6$ 次元空間くらいまでは理解できる, って人もいるみたいですが...

$4$ 次元目は縦, 横, 高さの次は何ですか ?
なんて質問も飛んできそうですが, そもそもそんな考え方をしている時点で $4$ 次元空間を見ることができない.


あまり深い考え方をしないで, $n$ 次元空間というのは, 数学では座標の個数が $n$ 個ある, というだけである.
この高次元のベクトルに対して, なす角 $\theta$ を
$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$
で定義する.


このように定義することで, Kissing Number Problem などの高次元空間に関する問題を扱うことができるようになる.



また, 平面図形では三角比で学んだ余弦定理を, 計算のみで証明することができる.
$a^2= \mathrm{BC}^2$
$=(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})^2$
$=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}$
$= |\overrightarrow{c}|^2-2|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|\cos A+|\overrightarrow{b}|^2$
$=c^2-2bc\cos A+b^2$




数学的な意味というといろいろと考えられるが, 物理学的な意味合いも少し触れておく.

床に置かれた物体に $F$ (N) の力を加えて $s$ (m) 移動させたとき, その仕事 $W$ (J) は
$W=Fs$
で得られる.
だが, この``移動方向''と``力''の向きが異なるとき, 内積を用いて``向きを揃える''ことができるので, 計算が簡単になる.

数年ぶりの知恵袋

久しぶりにブログの更新をしたと思ったら、理由があり・・・

某質問サイトを久しぶりに見てたら、久しぶりに問題を解いてしまったので・・・

昔は $\LaTeX$ で解答を作成し、PDF に変換して fc2 の無料サーバにファイルを置いていたのですが、残念ながら、パスワードを忘れてしまったので、更新できず・・・
テキストで解答を書いても、なかなか見難い（醜い？？）解答になってしまうので、 $\LaTeX$ で解答を作っていたのに・・・

と思ったとき、このブログを思い出しました。
そういえば、 $\LaTeX$ のコマンドをそのまま使えるんだった！！


って事で、入試問題に飽きて放置していたこのブログを、久しぶりに使ってみようかと思います。





正の整数 $p$ に対し, $n=2014^p$ とおく. このとき, $n$ が「桁数 $20$ 以下で, 一の位の数が $4$」となるような $p$ を全て求めよ. なお, $\log_{10}2=0.30$, $\log_{10}19=1.28$, $\log_{10}53=1.72$ として計算せよ.





$2014^p$ について,
$2014^1 \equiv 4 \pmod{10}$
$2014^2 \equiv 6 \pmod{10}$
$2014^3 \equiv 4 \pmod{10}$
であるので,
$2014^p = \begin{cases}4 & (p \equiv 1\pmod2) \\6 & (p \equiv 0\pmod2) \end{cases}$
である.
これより, 題意を満たす $p$ は奇数である.

また, 題意より
$2014^p < 10^{20}$
両辺の常用対数を取ると
$\log_{10}2014^p < \log_{10}10^{20}$
$p < \frac{20}{\log_{10}2014} = \frac{20}{0.30+1.28+1.72} = \frac{20}{3.30} \doteqdot 6.0$
である.

以上より, $p=1, 3, 5$.





追記

この解答を作ってブログに投稿して、URL を貼ろうとしたら、質問が取り消されていた・・・

とあるテストの最終問題

ここ数日、意味不明に忙しかったので、全くと言っていいほど問題演習をしていなかった・・・
土日を遊び呆けたからか、その天罰が下ったのか、特に今日は尋常じゃないくらいに忙しかった・・・
そもそも、担任をもっているのに、総合・ＬＨＲのある日に授業をフルコマで入れてほしくない・・・

まあ、ある程度は仕方ないのですが、時間割を組んでる人が、教員ではないので・・・





本日は、大きく趣向を変えて、勤務校のとあるクラスのテストに出題した問題。
ただの悪ふざけのような気もするのですが・・・



円 $C$ : $(x-5)^2+(y-5)^2=25$ と, $2$ 点 A$(9, 8)$, B$(0, -9)$ がある.

(1) 円 $C$ と $y$ 軸に関して対称な円を $D$ とする.
円 $C$ および円 $D$ の中心の座標と半径を求めよ.

(2) 点 A における円 C の接線 $\ell$ の方程式を求めよ.

(3) $x$ 軸, $y$ 軸, 原点それぞれに関して直線 $\ell$ と対称な直線 $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ の方程式を求めよ.

(4) 点 A と $x$ 軸に関して対称な点 E の座標を求めよ.

(5) $\triangle\mathrm{ABE}$ の重心 F の座標を求めよ.

(6) $y$ 軸に関して点 F と対称な点 G の座標を求めよ.

(7) 以下に, 円 $C$, 円 $D$, 直線 $\ell$, $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ および線分 BF, FG, GB を書き入れよ.

こんな問題だったのですが・・・
別に、問題自体は大した事はないのですが、最後の問題までちゃんとたどり着けると・・・

こんな解答になる、ってものでした。

まったく、悪ふざけが過ぎますよね・・・

信じられん教師だ！！！

数学オリンピック日本予選２０１２

最近、テスト期間中ということもあったので・・・

先日の土日、思いっきり遊びに出かけてやりました。


本当は来週の予定だった、私の所属している地域活動団体の収穫祭が、先週の水曜日に連絡があり、１週前倒しになった、と言われまして・・・

色々とやることがあって、本当はこの土日も予定が入っていたのですが、残念ながら優先順位というものを考えると・・・
来週末の予定でしたけど、それに向けて少しずつ用意していたものですから・・・


そんなわけで、土日に入っていた２件の用事をキャンセルし、収穫祭に行ってきました。
収穫祭なので、餅をついてそれを食べる、というのがメインなのですが、ここ数年は私が何か料理していたからか、他に何も用意されていないので・・・

で、今年もたこ焼き、餃子を焼いて、更にはかき氷も作ってみました。
特に餃子に関しては、毎年購入している某精肉店の手作り餃子で、県内一の美味しさ（当社比）です。

ただ、たこ焼きの準備の際に、一緒に行った人から言われた一言が・・・
キャベツを千切りにし、その後に短くなるように切り直すのですが、千切りの包丁音を聞いて「料理が出来ないストレスが溜まってる音ですね」と。
確かに、寮監をしている為、普段料理を全くしない生活になってしまいましたからね・・・
言われてみれば、料理をしている時間が、とても楽しかったような・・・
翌日の日曜日、炭焼き窯でのピザ焼きの際も、隣で焼きそばを作っていましたが、鉄板で合計２１玉分の焼きそばを焼いて、大変だったし熱かったですが、楽しかった・・・

日常的に、料理がしたいな・・・





今日は、先日の某高校の学園祭に行った際に話題になった、昔の数学オリンピック日本予選の問題。
整数の問題としては、典型的な問題ですね。
ただ、因数分解をしてから場合分けをして、更にそれぞれについて解いていく、というのは、数オリらしく、大学入試よりは遥かに高いレベルの問題です。





A 君と B 君が黒板に 2 つずつ正の整数を書いた. A 君の書いた数の積は B 君の書いた数の和の $2$ 倍, B 君の書いた数の積は A 君の書いた数の和の $2$ 倍であり, A 君の書いた数の和は B 君の書いた数の和以上であった. このとき, B 君の書いた数の和として考えられるものをすべて求めよ. ただし, 書かれた 4 つの数は相異なるとは限らない.





---解答例---

A 君が書いた正の整数を $a$, $b$ ($a\le b$), B 君が書いた正の整数を $c$, $d$ ($c \le d$) とする.
条件より,
$
\begin{cases}
ab = 2(c+d) & \cdots (1) \\
cd = 2(a+b) & \cdots (2) \\
a+b \ge c+d & \cdots (3)
\end{cases}
$
が成り立つ.

$(1)$, $(3)$ より,
$2(a+b) \ge ab$
$ab-2a-2b \le 0$
$(a-2)(b-2) \le 4$
を得る.
これと, $a$, $b$ が正の整数であることより,
(i) $a-2=-1$, $b-2\ge-2$
(ii) $a-2=-1$, $b-2\ge-1$
(iii) $a-2=1$, $b-2\ge0$
(iv) $a-2=2$, $b-2=2$
であることが分かる.

(i) $a=1$ のとき, $(1)$, $(2)$ より
$b = 2(c+d)$
$cd = 2(1+b)$
であるので,
$cd = 2+4(c+d)$
$cd-4c-4d = 2$
$(c-4)(d-4) = 18$
より,
$(c-4, d-4) = (1, 18), (2, 9), (3, 6)$
即ち
$(c, d) = (5, 22), (6, 13), (7, 10)$
を得る.
実際に,
$(a, b, c, d) = (1, 54, 5, 22), (1, 38, 6, 13), (1, 34, 7, 10)$
が, 題意を満たす.

(ii) $a=2$ のとき,
$cd = 4+2(c+d)$
$(c-2)(d-2) = 8$
より,
$(c-2, d-2) = (1, 8), (2, 4)$
即ち
$(c, d) = (3, 10), (4, 6)$
を得る.
実際に,
$(a, b, c, d) = (2, 13, 3, 10), (2, 10, 4, 6)$
が題意を満たす.

(iii) $a=3$ のとき, $(1)$ より
$3cd=18+4c+4d$
$3cd-4c-4d=18$
$c(3d-4)-4d=18$
$3c(3d-4)-4\times3d=54$
$(3c-4)(3d-4)=70$
より
$(3c-4, 3d-4) = (1, 70), (2, 35), (5, 14), (7, 10)$
即ち
$(c, d) = \left(\frac53, \frac{74}3\right), (2, 13), (3, 6), \left(\frac{11}3, \frac{14}3\right)$
を $4$ 組を得るが, 自然数であることに反するので $2$ 組は不適である.
よって
$(a, b, c, d)=(3, 10, 2, 13), (3, 6, 3, 6)$
を得るが, $(1, b, c, d)=(3, 10, 2, 13)$ は条件式 (3) を満たさないので不適.
よって
$(a, b, c, d)=(3, 6, 3, 6)$.

(iv) $a=4$ のとき, $(1)$, $(2)$ より
$cd = c+d+8$
$cd-c-d = 8$
$(c-1)(d-1) = 9$
より
$(c-1, d-1) = (3, 3)$
即ち
$(c, d) = (4, 4)$
を得る.
実際に,
$(a, b, c, d) = (4, 4, 4, 4)$
が題意を満たす.

以上より,
\[
8, 9, 10, 13, 17, 19, 27
\]
である.

北海道大学・理系（２０１７年）

勤務校は２期制をとっていて、昨日から前期の期末考査となっています。
当然、テスト前になったら、部活動の禁止期間があるのですが・・・
大会が近いから、っていう理由で、多くの部活が活動してるんですよね・・・

いや、大会なんかどうでもいい、なんて言うつもりはありませんが、そうなる事は予想できるのだから、最初から試験の日程を考えて設定すればいいのではないのでしょうか？？
むしろ、こんな日程になることが分かっているのだから、２期制にしている意味はあるのでしょうか？？

まだまだ出来て日が浅い学校であるけど、その学校を作る際に持ってきたシステムが、姉妹校の定時制、っていうのがそもそもの間違い。
なのに、それを決めた上層部が過ちを認めたくないから（私の勝手な予想）、このシステムの変更（教務規定とかも含めて）をしたくても、上層部がOKを出さないという・・・

私は別にいいんですけど、そんなに生徒を苦しめて、何かいい事があるのでしょうか？？

３年生の、前期中間の成績は非常に重要です。
３学期制の学校の場合は、１学期の成績です。
通常は、１学期の中間と期末が終わって、その点数を元に調整をして点数を付け、その点数を元に仮評定が出て、それを含む３年間の評定平均値が進学先や就職先に送られる数字になるのです。

なのに、この学校のシステムは、前期中間の“素点”を成績として出す、と。
調整は年度末に行うので、年間の途中には一切しない、と。
１年や２年だったらそれでもいいのですが、３年生は・・・

もし中間考査が難しくし過ぎて、平均２０点なんてなってしまったら、殆どの生徒が赤点になってしまうわけで・・・
そんな成績が、調整もされずに進学先・就職先に送られてしまう、ってのは大丈夫なのか？？


って話を教員の間でしていたら、昨日の管理職の会議で、３学期制とか、成績評価の方法とか、話が出たみたいでした。
これで少しは、まともなシステムになる・・・のかな？？

北海道大学の第５問。
なかなか旧帝大では見かけない（気がする）、図形と方程式単体の問題。
多くはここに、平面幾何やら三角比やらをかぶせてくるのですが、珍しく単体の問題。





座標平面上の $3$ 点 $A(1, 0)$, $B(3, 1)$, $C(2, 2)$ を頂点とする
$\triangle ABC$ の内部および境界を $T$ とおく.
実数 $a$ に対して, 条件
\[
AP^2+BP^2+CP^2\le a
\]
を満たす座標平面上の点 $P$ の全体を $D$ とする.
ただし, $AP$ は点 $A$ と点 $P$ の距離を表す.

(1) $D$ が少なくとも $1$ つの点 $P$ を含むような $a$ の値の範囲を求めよ.

(2) $D$ が $T$ を含むような $a$ の値の範囲を求めよ.

(3) (1) のもとで, $D$ が $T$ に含まれるような $a$ の値の範囲を求めよ.





---解答例---

(1)
$P(x, y)$ とおくと,
$AP^2 = (x-1)^2+y^2$
$BP^2 = (x-3)^2+(y-1)^2$
$CP^2 = (x-2)^2+(y-2)^2$
より,
$AP^2+BP^2+CP^2 = 3x^2-12x+3y^2-6y+19$
$= 3(x^2-4x)+3(y^2-2y)+19$
$= 3(x-2)^2+3(y-1)^2+4$,
これより
$3(x-2)^2+3(y-1)^2+4 \le a$
$(x-2)^2+(y-1)^2 \le \frac{a-4}3$
であるので, $D$ は点 $(2, 1)$ を中心とする半径 $\frac{\sqrt{3(a-4)}}3$ の円
(境界線を含む) であるので,
$\frac{\sqrt{3(a-4)}}{3} \ge 0$
$a-4 \ge 0$
$a \ge 4$.

(2)
$PA^2 = (2-1)^2+1^2 = 2$,
$PB^2 = (2-3)^2+(1-1)^2 = 1$,
$PC^2 = (2-2)^2+(1-2)^2 = 1$
より, 点 $A$ が $D$ に含まれるとき, $D$ が $T$ を含む. よって,
$\frac{\sqrt{3(a-4)}}{3} \ge \sqrt2$
$\frac{a-4}3 \ge 2$
$a \ge 10$.

(3)
点 $(2, 1)$ と直線 $AB$ との距離を $d_{AB}$ とすると, 直線 $AB$ の方程式は
$y = \frac12(x-1)$
$2y = x-1$
$x-2y-1 = 0$
であるので,
$d_{AB} = \frac{|2-2\times1-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac1{\sqrt5}$
である. 対称性から $d_{CA}=\frac1{\sqrt5}$, $d_{BC}=\frac1{\sqrt2}$ であるので,
$\frac{\sqrt{3(a-4)}}3 \le \frac1{\sqrt5}$
$\frac{a-4}3 \le \frac15$
$a-4 \le \frac35$
$a \le \frac{23}5$
であるので, $4\le a\le\frac{23}5$.