2020日本数学オリンピック予選 第８問

さて、だいぶ久しぶりの投稿です。


世間では、新型コロナウイルスの話題でもちきりですが、
勤務校もついに１３日間の休校を決定しました。

こうなると、部活もなくなり、少しは自由な時間が・・・
できるのでしょうかね・・・？

まあ、とりあえず年休消化はできるようになるかと。

そもそも、年間で５日間も年休を取らないといけない、
っていうルールがなんともやりにくいものでして・・・

そんな、年休取得を義務化する前に、年休を取りやすい
社会に変えることが優先事項なのではないでしょうか？？


まあ、なんとか今年度はクリアできそうなのでいいですが。



この土日、遠征がキャンセルになったので、久しぶりに・・・

家で料理をすることができました。


仕事が忙しくて、全くと言っていいほど料理をしてなかったので、
本当に久しぶりの料理、っていう感じで・・・

と思ったら先週、自炊合宿２泊３日で８食ほど料理をし続けました。
（８食というのは、夕夜朝昼夕夜朝昼の８食です）

そういえば先週はなんか元気に過ごせたのは、
料理してストレスを発散できたからなのでしょうか？？



本日の午後から、auショップへ。

ずっと使ってるauのフィーチャーフォン
（所謂、世間で言うガラケー）について。

あの名機、CA004を使い続けているのですが、
そろそろバッテリーが限界になってきまして・・・
完全に充電した状態で持ち出して、日中に５分弱の
通話をすると、もう電池切れになってしまう。
リチウムイオンのサイクル劣化が進んでしまったので、
こればっかりは仕方がないのでしょうけど・・・

そんなわけで、久しぶりにauショップへと行ってきました。
で、色々と話を聞いてみたのですが・・・

2年後に、3G電波が停波するので、3Gケータイからの機種変更用の
iPhone8に機種変すると、なんと9000円弱で機種変できる、
というお得なキャンペーンをやっているところでした。

ただ、見積もりをしてもらったところ、現在のガラケーで1700円／月の料金が、
5200円／月へと3倍になってしまうという恐ろしい結果が出てきました・・・

ってことで、まだまだ暫くはガラケーを使い続けることになりそうです。

でも、ちょっと考えているのは・・・
iPhone8に機種変をして、それからMNPで格安キャリアに、
ってな流れで行こうかと思うので、暫くはどこが良さそうか、
調べてみないとなんとも言えないものですね・・・





今日は第８問。

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$100$ 個の正の整数からなる数列 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{100}$ が次をみたしている.
(i) $2 \leqq k \leqq 100$ なる整数 $k$ に対し, $a_{k-1}<a_k$ である.
(ii) $6 \leqq k \leqq 100$ なる整数 $k$ に対し, $a_k$ は $2a_1$, $2a_2$, $\dots$, $2a_{k-1}$ のいずれかである.
このとき $a_{100}$ としてありうる最小の値を求めよ.

条件 (ii) より, 最小となるためには公比 $2$ の等比数列を含むときとなる.

等比数列の個数によって, それぞれの最小値が異なるので, それぞれを確認する.
\[
\begin{array}{c|cccccccccccccccc}
* & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & a_7 & a_8 & a_9 & a_{10} & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{100} \\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 12 & 24 & 48 & 96 & 192 & 384 & \cdots & 6 \times 2^{94} \\
\hline
2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 & 12 & 16 & 24 & 32 & 38 & \cdots & 6 \times 2^{47} \\
\hline
3 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 & 10 & 12 & 16 & 20 & 24 & \cdots & 4 \times 2^{32} \\
\hline
4 & 1 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 20 & 24 & \cdots & 6 \times 2^{24} \\
\hline
5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 24 & \cdots & 9 \times 2^{19}
\end{array}
\]
$*$ は等比数列の個数.

ここで, 最小の値は明らかに $9 \times 2^{19}$ である.

2020日本数学オリンピック予選 第７問

放課後に仕事をしていたら、２年生の生徒が来まして・・・
あのときに質問に来た生徒が、またもや化学を教えてくれ、って。
だから、私は理科の先生ではないのですが・・・


で、今日の問題は、この表って何、って。

周期表か？それともイオン化傾向のやつ？？

なんて思ったのですが、見てみたら・・・

問題（正確な問題文は覚えていないけど、確かこんな数字だった・・・）
$10 \%$ の希硫酸 $19.6$ g を $1$ mol$/$L の水酸化カリウムだと何 mL で中和できるか。

細かい解法とかは書きませんが、ここで注意して教えたのが“次元”のこと。

小学校で速さの問題に対して、「みはじ」とか「はじき」とか言われる特異なワードを用いた解法。

はっきり言うと、私はこのやり方が嫌いです。
次元を理解できれば、こんなものを使わなくてもちゃんと計算式が分かるのです。

例えば、$500$ m の道のりを毎分 $20$ m の速さで移動したら何分かかるか。
なんて問題のとき、速さを求めるので「みはじ」だと「速さ 分の 道のり」になるのですが・・・

次元を理解していると、毎分 $20$ m の単位は $20$ m$/$分 であるので、
m と m$/$分 を掛けたり割ったりして 分 を求めるにはどうしたらいいか。
そこを考えたら、m$\div$(m$/$分) というのが分かると思うので、計算式が出てくる。
これが分かれば、前述の問題も同様の考え方で分かってくるものなのですが・・・

で、最初に言っていた表ってのは、分子の物質量と価数を並べて、イオンの物質量を求める為に掛けてるものでした。
はっきり言って、表にする意味、まったく無いんじゃね？？





今日は第７問。

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$2 \times 1010$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $5$ 以下の整数を $1$ ずつ書き込む. 辺を共有して隣りあうどの $2$ マスについても書き込まれた数の差が $2$ または $3$
となるように書き込む方法は何通りあるか. ただし, 回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える.




隣り合うことができる組み合わせは, $(1, 3)$, $(1, 4)$, $(2, 4)$, $(2, 5)$, $(3, 5)$ である. これより, 対称性があることが分かる.


$1$ 列目の $2$ 数の選び方は $5 \times 2= 10$ 通り.

前述の通り対称性があるので, $1$ 列目を $1$, $3$ としても一般性を失わない. このとき, $2$ 列目の選び方は
\[
\begin{array}{|c|c|c}
\hline
1 & 3 & \\
\hline
3 & 1 & \\
\hline
\end{array}
~~~~~
\begin{array}{|c|c|c}
\hline
1 & 3 & \\
\hline
3 & 5 & \\
\hline
\end{array}
~~~~~
\begin{array}{|c|c|c}
\hline
1 & 4 & \\
\hline
3 & 1 & \\
\hline
\end{array}
\]
の $3$ 通りである.

$3$ 列目以降も $2$ 列目に依らず $3$ 通りであるので, 総数は $10 \times 3^{1009}$ 通りである.
（こんな値, どう考えても計算するようなものではない）

2020日本数学オリンピック予選 第６問

部活の保護者から、三送会で流す動画を作ってくれ、と依頼されている。

なので、今年も作業をし・・・ようとしているのですが・・・


○○さん、卒業おめでとうございます！
○○さんは△△で、□□が・・・

みたいなコメントが入ってる動画を後輩に撮影させて、それを編集して作る・・・


のですが、いつまで経っても送られてこない・・・

三送会は今週末で、あと４日しかないのですが・・・


ひょっとして、インスタくらいの感覚で考えてたりするんでしょうね・・・

最低でも、１０日は欲しかったのですが・・・






今日は第６問。

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２０２０日本数学オリンピック予選　第５問はこちら

平面上に $3$ つの正方形があり, 図のようにそれぞれ $4$ つの頂点のうち $2$ つの頂点を他の正方形と共有している. ここで, 最も小さい正方形の対角線を延長した直線は最も大きい正方形の左下の頂点を通っている. 最も小さい正方形と最も大きい正方形の一辺の長さがそれぞれ $1$, $3$ であるとき, 斜線部の面積を求めよ.

図のように $A \sim J$ とする.

正方形の一辺と対角線の関係より $\triangle ADE$ と $\triangle BDF$ が $1:\sqrt2$,
$\triangle BDF$ と $\triangle BCI$ が $\sqrt2:1$ の相似であるので（どちらも相似条件は「$2$ 組の辺の比が等しくその間の角が等しい」）, $\triangle ADE$ と $\triangle BCI$ は合同である.

よって, $HF \parallel BI \parallel AE$, $HF=BI=AE$ であるので,
四角形 $AEFH$ は平行四辺形である.

これより, $EF \parallel AF$ であるので, 求める面積は $\triangle AEF$ の面積と
等しい.

また, $\angle AED=\angle AEF=135^\circ$, $DE=FD$ であるので, $\triangle ADE$ と
$\triangle AFE$ は合同である.
よって, 求める面積は $\triangle ADE$ の面積と等しい.

$DJ=\frac1{\sqrt2}$ であるので, ピタゴラスの定理より 

\begin{align*}
AJ = \sqrt{3^2-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2} = \sqrt{\frac{17}2}
\end{align*}

である. 

よって, 求める面積は 

$\frac12 \times AE \times DJ = \frac12 \times \left(\sqrt{\frac{17}2}-\frac1{\sqrt2}\right) \times \frac1{\sqrt2} = \frac{\sqrt{17}-1}4. $

2020日本数学オリンピック予選 第５問

月曜日から発症している、ギックリ腰と思われる腰痛が治らない。

接骨院に行ったり、安静にしたりで、少しずつ改善しているような気もするのですが・・・


本日、勤務校の入試（２回目）だったのですが、その処理業務中に、柔道部顧問の先生と激突し、また腰痛が悪化したような気が・・・

明日は今度は部活の冬季リーグなので、出張という扱いになっていますし・・・





今日は第５問。


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２０２０日本数学オリンピック予選　第４問はこちら

正の整数 $n$ は $10$ 個の整数 $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{10}$ を用いて $(x_1^2-1)(x_2^2-2)\dots(x_{10}^2-10)$ と書ける. このような $n$ としてありうる最小の値を求めよ.

因数それぞれが $0$ に一番近い整数と, それと符号が異なる $0$ に一番近い整数を考える. 

$i=1$ のとき, $0^2-1=-1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-1=3$. 

$i=2$ のとき, $1^2-2=-1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-2=2$. 

$i=3$ のとき, $2^2-2=1$ が最小値であり, 逆符号は $1^2-3=-2$. 

$i=4$ のとき, $1^2-4=-3$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-4=5$. 

$i=5$ のとき, $2^2-5=-1$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-5=4$. 

$i=6$ のとき, $2^2-6=-2$ が最小値であり, 逆符号は $3^2-6=3$. 

$i=7$ のとき, $3^2-7=2$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-7=-3$.

$i=8$ のとき, $3^2-8=1$ が最小値であり, 逆符号は $2^2-8=-4$. 

$i=9$ のとき, $2^2-9=-5$ が最小値であり, 逆符号は $4^2-9=7$. 

$i=10$ のとき, $3^2-10=-1$ が最小値であり, 逆符号は $4^2-10=6$.  

となるので, 絶対値が最小になるようにとると, 

$n= (-1) \times (-1) \times 1 \times (-3) \times (-1) \times (-2) \times 2 \times 1 \times (-5) \times (-1) = -60$ 

となるが, 正でないので不適. 

これを解消するために, 絶対値をできるだけ大きくせずに符号を変えるとすると, 前述より $i=9$ のときを変えるのが倍率が一番小さいので,

$n = -60 \times \left(-\frac75\right) = 84$

である. 

2020日本数学オリンピック予選 第４問

昨日、今日と勤務校のウィンタースクール。
まあ、東北地方の高校ではよくある、スキー教室です。


ただ、ご存知の通り、今シーズンは異常に積雪が少なく、先週の時点で実施するかどうか、だいぶ難しい判断ではあったのですが・・・


それにしても、うちのクラスで、スキーがしたくないからか、一昨日の昼前から腰が痛くなった、とか言い出すヤツが１人いまして・・・
それも、困ったことに、いい年した担任なのに・・・

はい、私がギックリ腰になってしまったようでした。
もう、スキー場を歩き回って、更に悪化したような気もしてくるのですが・・・


そもそも、私はスキーなんてしません。
平成も終わって令和になったこの時代に、エコだとか環境問題だとか言っているこの時代に、電気エネルギーを使って登って、ただ滑り降りてくるだけ、なんて無駄なことをしても仕方ないんじゃないのか？？
なんて言い訳をして、滑れない事をひた隠しにしています。




今日は第４問。

２０２０日本数学オリンピック予選　第１問はこちら

２０２０日本数学オリンピック予選　第２問はこちら

２０２０日本数学オリンピック予選　第３問はこちら

正の整数 $n$ であって, $n^2$ と $n^3$ の桁数の和が $8$ であり, $n^2$ と $n^3$ の各桁合わせて $1$ 以上 $8$ 以下の整数がちょうど $1$ 個ずつ現れるようなものをすべて求めよ.





一の位について考える.
題意より, この時点で同じ数字が現れたり, $9$ が現れたら不適である.
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
n & n^2 & n^3 & \\
\hline
0 & 0 & 0 & N.G. \\
1 & 1 & 1 & N.G. \\
2 & 4 & 8 & \\
3 & 9 & 7 & N.G. \\
4 & 6 & 4 & \\
5 & 5 & 5 & N.G. \\
6 & 6 & 6 & N.G. \\
7 & 9 & 3 & N.G. \\
8 & 4 & 2 & \\
9 & 1 & 9 & N.G.
\end{array}
\]
これより, 求める整数 $n$ の一の位は $2$, $4$ または $8$ である.

$n$, $n^2$, $n^3$ の桁数について考える.
\[
\begin{array}{c|c|c}
n & n^2 & n^3 \\
\hline
1 & 1, 2 & 1, 2, 3 \\
2 & 3, 4 & 4, 5, 6 \\
3 & 5, 6 & 7, 8, 9
\end{array}
\]
これより, $n^2$ が $3$ 桁, $n^3$ が $5$ 桁のときである.
（表だけを見れば $n^2$ が $4$ 桁, $n^3$ も $4$ 桁のときもありうるが, $n$ は $2$ 桁であるのでこれは不適）

$n^2$ が $3$ 桁なので,
\[
\begin{array}{rcccl}
100 & \leqq & n^2 & < & 1000 \\
10 & \leqq & n & < & 10\sqrt{10} < 31.7
\end{array}
\]
である.

$n^3$ が $5$ 桁なので,
\[
\begin{array}{rcccl}
10000 & \leqq & n^3 & < & 100000 \\
21.5 < 10\sqrt[3]{10} & \leqq & n & < & 10\sqrt[3]{100} < 46.4
\end{array}
\]
である.

以上より, $22\leqq n<31$ である.

****************************************************************************************************
平方根や立方根の計算はザックリとやって,
\[
\begin{array}{rcccccccl}
30^2 & = & 900 & < & 1000 & < & 1024 & = & 32^2 \\
20^3 & = & 8000 & < & 10000 & & & & \\
 & & & & 100000 & < & 125000 & = & 50^3
\end{array}
\]
としても, $20\leqq n<32$ を得ることができる.
****************************************************************************************************

これらの条件を満たす候補は $22$, $24$, $28$ のみであるので, 実際に $2$ 乗, $3$ 乗をしてみる.
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
n & n^2 & n^3 & \\
\hline
22 & 484 & & N.G. \\
24 & 576 & 13824 & O.K. \\
28 & 784 & 21952 & N.G.
\end{array}
\]
より, $24$ のみである.

2020日本数学オリンピック予選 第３問

珍しく、連日のブログ更新です。

昨日の仕事終わりに１時間かけて移動し、ＮＰＯのメンバーと合流し、そこから高速道路をぶっ飛ばして健康ランドにチェックイン。到着して風呂に入り、２時間仮眠して、再び風呂に入って会場へ移動・・・
だったのですが、この日程で健康ランドに泊まると、必ず誰かが寝坊する、という伝説があるのですが・・・今年は・・・３人で泊まってるのに、私以外の２人が寝坊を・・・


そんなわけで、今日はニッポン全国鍋グランプリでした。

到着して３時間弱で準備をして、販売開始となりました。


今日の内容を結論から言いますと・・・なんで、こんなに売れたのか？？

通常であれば、適度にさぼｒ・・・休憩をはさみながらのんびりと販売していくのですが、今年は全くそんな余裕がなかった。原因としては、やはり昨日のこのぶろｇ・・・なんて誰も見ていないので、考えられる原因は、昨日の通りでZIP!が原因か？？なんて、そんなことを考えても何も分からないので、とりあえずはナスがママに頑張りました。

明日も１日頑張って、終わったら帰路につくわけですが・・・とりあえず、今日はしっかりと休みます





今日は数オリ予選の第３問。

２０２０日本数学オリンピック予選　第１問はこちら

２０２０日本数学オリンピック予選　第２問はこちら

$2 \times 3$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $6$ 以下の整数を重複しないように $1$ つずつ書き込む. 辺を共有して隣りあうどの $2$ マスについても書き込まれた整数が互いに素になるように書き込む方法は何通りあるか. ただし, 回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える.

配置を

ABC

DEF
と表すこととする.

回転や裏返しは一旦同一視して考える. すると, $6$ は隣接できる整数が $1$ と $5$ しかないので, 必ず角に配置される.

5BC

DEF
$5$ に隣接するのは $1$ か $5$ のみなので, 以下の $2$ 通りである.
51C　　　　　　　56C
6EF　　　　　　　1EF
残りの $2$, $3$, $4$ の中で, E にはどれでも配置できる. ところが, この $3$ つの整数のうち, $2$ と $4$ は隣接することができないので, F には $3$ が配置される.

よって, 題意を満たす配置は
512　　　514　　　562　　　564
643　　　623　　　143　　　123
の $4$ パターンを, それぞれ回転や裏返した $4$ 通りであるので,
\begin{align*}
4 \times 4 &= 16
\end{align*}
より $16$ 通りである.

2020日本数学オリンピック予選 第２問

昨日も書いたのだが、最近、眠気が取れない。
一応、夜には寝ているのだが、睡眠が浅いのか・・・

で、色々と考えてみたのだが、朝起きれない原因の１つは・・・


昨年１１月から、日本テレビのZIP!の、ZIP!deポン!のルールが変更になった。

変更前　
１日３回（６：２５、６：５０、７：５０）
２週間で２０ポイント

変更後
１日２回（６：２５、６：３０以降随時）
２週間で１０ポイント

変更前は、７：５０は出勤中なので得点できないが、１日２回のチャンスがあり、全てハズレても２週間の皆勤で応募ができるようになっていた。

ところが変更後は、１日２回のチャンスがあって、応募までのポイントが半分になった。そうなっては、皆勤を目指す必要がなくなってしまい、それで朝、起きれなくなってきたのでは・・・

なんて、恐らくは因果律はないのですが、それでも精神的にはこれが原因の１つな気がする。





さて、今日の仕事終わりから埼玉県和光市に向かいます。ニッポン全国鍋グランプリ２０２０への参戦の為です。昨年から何故か西日本との隔年開催となり、昨年は姫路開催になってしまい、そんな遠いところまで行けるか！！って事で参加を見送ったので、２年ぶりの参戦です。

某情報番組でもオススメとして紹介された、我々の最上の納豆汁をご賞味ください！！来場をお待ちしております！！





今回も数学オリンピックの日本予選の問題です。

２０２０日本数学オリンピック予選　第１問はこちら

このブログでも通常は、教科書等の記載に合わせて、点や直線なんかは、点 P とか直線 AB といったようにすべて立体で書いているのだが、数オリの問題はすべて斜体で点 $P$ とか直線 $AB$ になっているので、ここでもそれに合わせて斜体で記載します。


一辺の長さが $1$ の正六角形 $ABCDEF$ があり, 線分 $AB$ の中点を $G$ とする. 正六角形の内部に点 $H$ をとったところ, 三角形 $CGH$ は正三角形となった. このとき三角形 $EFG$ の面積を求めよ.



正六角形って事は、分割したら正三角形 $6$ 個の正三角形になる...
正三角形と正三角形が $1$ つの頂点で重なっている...
なんか, 内容としては, 高校入試で昔出てたような内容に...

って事で, とりあえず $6$ 個の正三角形で分割してみると...


$\triangle GBC$ と $\triangle HOC$ について,

$\triangle BCO$ は正三角形なので $BC=OC$, $\angle\ BCO=60^\circ$,

$\triangle GCH$ は正三角形なので $GC=GC$, $\angle\ GCH=60^\circ$,

\begin{align*}
\angle BCO &= \angle GCH \\
\angle BCG + \angle GCO &= \angle GCO + \angle OCH \\
\angle BOG &= \angle OCH
\end{align*}

以上より, $2$ 辺とその間の角がそれぞれ等しいので
$\triangle GBC \equiv \triangle HOC$ である.

よって, $H$ は線分 $OE$ の中点なので, 求める面積を $S$ とすると
\begin{align*}
S &= \frac12 \times HE \times FH \\
&= \frac12 \times \frac12 \times \frac{\sqrt3}2 \\
&= \frac{\sqrt3}8.
\end{align*}