本当は、授業を動画で作成して配信したり、色々とできることもあるようなのですが、
演習系の授業では、やり方が限られてくる、ってのも現実でして・・・
まあ、あくまでも Classroom もツールであって、それを使って学習することが目的であり、使う事を目標にしてはいけませんからね。
試してみる段階では色々とやりましたが、現在の私の頭の中にある授業には、他のツールを必要とはしていないので・・・
今日も、授業で配信した問題。
問. $2$ 次関数 $f(x)=x^2-4x+5$ について, $a$ を定数とし, $a \leqq x \leqq a+2$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M(a)$, 最小値を $m(a)$ とする.
(1) $y=m(a)$ のグラフをかけ.
(2) $M(a)-m(a)=a$ となるような $a$ の値をすべて求めよ.
典型的な, $2$ 次関数の問題です.
定数 $a$ の値によって定義域が動いたり, $2$ 次関数のグラフが動いたり, いくつかのパターンが考えられますが, 今回は定義域が動くパターンです.
まず, $2$ 次関数の最大値・最小値の問題なので, とりあえずは平方完成をしてみましょう.
$f(x)=x^2-4x+5$
$=(x-2)^2-(-2)^2+5$
$=(x-2)^2-4+5$
$=(x-2)^2+1$
より, 頂点は $(2, 1)$ となる.
今回から, グラフは $\LaTeX$ で作ったものを使う場合もありますが, 原則としてDesmosで作成したものを使っていこうかと思います.
綺麗に作成できる, というのもそうですが、編集をする必要がないので...
$\LaTeX$ で作成した場合, DVI ファイルに出力し, それを PrintScreen でコピーして, Windows の Paint に貼り付けて, 必要な部分のみをトリミングして...
なんていう作業をしていたので, Desmos を使えば, そのまま埋め込みができるので...
という理由もありますが, Desmos を使う理由は, 動的なグラフも作成することができる, ということ. 最小値とか最大値の変化の仕方は, 以下のグラフを見ると分かるかと.
紫色の線が最大値, 緑色の線が最小値を表している.
このイメージをちゃんともてれば, 場合分けも見えてくる.
(1) 最小値は,
(i) $a+2\leqq 2$ 即ち $a \leqq 0$ のとき,
(ii) $a \leqq 2 \leqq a+2$ 即ち $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
(iii) $2 \leqq a$ のとき
の $3$ つに場合分けをする.
ここで, $a=0$ と $a=2$ は場合分けの $2$ つに含まれるので, どちらか一方のみで十分である. だが, どちらも含まないような場合分けとなると減点となってしまうので, 注意が必要である. 上の動的なイメージをちゃんと持っていれば, 突然飛んだりしていないので, どちらに含んでも問題ないことが分かると思う.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$m(a)=f(a+2)$
$= (a+2)^2-4(a+2)+5$
$= a^2+1$.
(ii) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$m(a)=f(2)$
$= 1$.
(iii) $2 \leqq a$ のとき,
$m(a) = f(a)$
$= a^2-4a+5$.
以上より, グラフは以下の通り.
$y=m(a)$ を求めよ, くらいは出題されることが多いですが, そのグラフをかけ, という問題は, なかなか出題されないとは思いますが... 場合分けをして定義されたグラフをちゃんとイメージできるかを確認するために, こんな問題を出題してみました.
(2)
同様に, 最大値につても場合分けをして求める.
$M(a) =
\begin{cases}
f(a) & (a \leqq 1) \\
f(a+2) & (1 \leqq a)
\end{cases}
$
である.
最大値の場合分けの境界は $a=1$, 最小値の場合分けの境界は $a=0$, $2$ であるので, 全部で $4$ つに場合分けをする必要がある.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-(a^2+1)=a$
$-5a+4=0$
$a=-\dfrac45$
であるが, $a \leqq 0$ より不適.
実はこの場合だけ, 計算しなくても不適であることが分かる. 何故かというと,
最大値から最小値を引いているので, $M(a)-m(a)>0$ であるので, $a\leqq0$ となることはあり得ないからである.
(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-1=a$
$a^2-5a+4=0$
$(a-1)(a-4)=0$
$a=1, 4$
であるが, $0 \leqq a \leqq 1$ より $a=1$ である.
(iii) $1 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-1=a$
$a^2-a=0$
$a(a-1)=0$
$a=0, 1$
であるが, $1 \leqq a \leqq 2$ より $a=1$ である.
前述の通り, (ii) および (iii) のどちらか一方は場合分けで $a=1$ を含まないで考察することができる. その場合は, 含まない方で「$* \leqq a \leqq *$ より不適」となる.
(iv) $2 \leqq a$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-(a^2-4a+5)=a$
$3a-4=0$
$a=\dfrac43$
であるが, $2 \leqq a$ より不適.
(i), (ii), (iii), (iv) より, $a=1$ である.
受験勉強を始めたばかりの頃には難しいかも知れないが, 受験へ向かう上ではしっかりと理解しておくべき内容である.
