今日も勤務校に行ってきました。
祝日なのですが、だからこそ今日しか来れない、
なんていう保護者もいるでしょうから・・・
それにしても、合計で８時間も待っているのは辛い。
なんてことを書こうと思っていたのですが、
昨日からまとめていた Bertrand's postulate の証明の
原稿をまとめていたら、日付が変わっていました。
そんなわけで、Bertrand's postulateの証明の続き。
今日は内容が少な目です。
Lemma.2.
任意の $x \ge 1$ に対して, $R(x) \le 6^{\frac{x}2}$ が成り立つ.
Lemma.1. の証明より,
(i) $[x]$ が偶数のとき,
$R(x) \le 2^{2k} \le 2^{[x]} < 2^{x}$
であり,
$2=2^{\frac12}<6^{\frac12}$
であるので
$R(x) < 2^{x} < (6^{\frac12})^x = 6^{\frac{x}2}$
より, 成り立つ.
(ii) $[x]$ が奇数のとき, 同様に
$R(x) = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}(k+1) < 2^{2k}(k+1)$
である.
$[x]=2k+1$ より $2k=[x]-1 \le x-1$ であるので,
$2^{2k}(k+1) \le 2^{x-1}(k+1)$
である.
また,
$2^{x-1}(k+1)= 2^{x}\times\dfrac{k+1}{2}$
である.
二項定理より
$\left(1+\dfrac12\right)^k = {}_{k}\mathrm{C}_{0} \times 1^k + {}_{k}\mathrm{C}_{1} \times 1^{k-1} \times \dfrac12 + {}_{k}\mathrm{C}_{2} \times 1^{k-2} \times \left(\dfrac12\right)^2 + \cdots$
$\ge 1+\dfrac{k}{2} = \dfrac{k+2}{2} > \dfrac{k+1}{2}$
であるので,
$2^{x}\times\dfrac{k+1}{2} < 2^{x}\left(1+\dfrac12\right)^k$
である.
$[x]=2k+1$ より
$2k = [x]-1$
$2k \le x-1$
$k \le \dfrac{x-1}2 < \dfrac{x}{2}$
であるので,
$2^{x}\left(1+\dfrac12\right)^k < 2^{x}\left(1+\dfrac12\right)^{\frac{x}{2}}$
である.
あとは,
$2^{x}\left(1+\dfrac12\right)^{\frac{x}{2}} = 4^{\frac{x}{2}} \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = 6^{\frac{x}{2}}$
である.
以上より, $R(x) < 6^{\frac{x}{2}}$ が成り立つ.
続きはこちら。
Bertrand's postulateの証明 1
昨日、今日と職場に行ってきました。
というか、今週中は毎日行ってきます。
休校中ということもあり、在宅勤務になっているのですが・・・
生徒にはリクルートのスタディサプリで課題を出しています。
授業ができない分、動画を見て、ノートにまとめて、確認テストを受けて・・・
という事で、授業の代わりとして扱おう、というものです。
でも、個人的な感想として、数学に関してはいまいち・・・
本気で上の大学を目指すようなレベルの人には、はっきり言って足りないし、
下のレベルの生徒には、所詮は動画なので、分からないところは放置してしまう。
なので、ちょっと使いづらいんですよね・・・
でも、かと言って１人１人の質問にスタディサプリのメッセージ機能で答える、
なんて事はもっと現実的ではないでしょうし・・・
そんなわけで今週、保護者の送迎の上で、教科書の配布をしています。
正面玄関に車で来て、クラスを名前を聞いて、その生徒の
教科書セットを持ってきて、生徒や保護者は車から降りないで渡す、
というやり方で対応しているのですが・・・
まあ、大変ですよね。
２学年の教室は３階にあるので、そこから毎回持ってくる、
なんていうやり方で昨日はやっていました。
引き籠もり生活では、スマホの歩数計が２０歩とかなっていたのに、
昨日はそれだけで７，０００歩超え、上がった階数は３４階・・・
（どちらも iPhone のヘルスケア調べ）
流石にこれでは死んでしまう、ということで、事前に調査をして・・・
Google フォームで、事前にいつ取りに来るかを確認して、
その日に取りに来る生徒の分を台車＆エレベータを使って下ろしておく。
フォームで答えていないで突然来た人への対応のために、
３階に１人残して、確認して持ってくる。
そんなやり方に変更して、今日は昨日よりも楽でした。
なんてったって、上がった階数が１９階でしたから。
明日、昭和の日で祝日なのですが、同様に出勤します。
むしろ、祝日だからこそ来れる保護者もいるでしょうし。
もう、体がバッキバキなんですけどね・・・
しばらくは、最近勉強している内容の話。
Bertrand's Postulate（ベルトランの仮説）の証明について。
そもそも、Bertrand's Postulateとは、以下のような仮説である。
$1$ より大きい任意の実数 $x$ に対し, $x<p\le 2x$ を満たす素数 $p$ が存在する.
例えば...
$x=3$ とすると, $3<p\le6$ を満たす素数 $p=5$ が存在する.
$x=8$ とすると, $8<p\le16$ を満たす素数 $p=11$, $13$ が存在する.
この仮設は、１８５０年に Pafnuty Lvovich Chebyshev によって証明された。
ただ、これはガンマ関数
$\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{t}dt$
を用いた高度なものであり、ガンマ関数自体が高校では学ばないものであるので・・・
で、その後に Paul Erdos が高校生のときに初等的な証明を与えた、と言われている。
そこで、その証明について書かれているものを探して、その論文（レポート？）を読んでみた。その内容を覚書として、順を追ってまとめていきたいと思う。
今日は第１回。
Lemma（補題）1 の証明まで。
$[x]$ はガウス関数とする, 即ち, $[x]$ で, $x$ を超えない最大の整数とする.
具体的には
$[3] = 3, ~~~~~ [4.2] = 4, ~~~~~ [\sqrt{123}] = 11$
である.
これ以降, 多種の文字が出てくるが, $x$ 以外は特に断らない限り自然数（正の整数）とする.
Lemma.1.
$1$ より大きい $x$ に対し,
$
R(x) = \frac{[x]!}{([\frac{x}2]!)^2}
$
とすると, 以下が成り立つ :
$
\frac{2^{x-1}}{x+1} \le R(x) \le 2^{x-1}(x+1)
$
Proof.
高校の数学 II で学ぶ二項定理
$
(x+y)^n = {}_{n}\mathrm{C}_{0}x^n+{}_{n}\mathrm{C}_{1}x^{n-1}y+{}_{n}\mathrm{C}_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{r}x^{n-r}y^{r}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}x^{2}y^{n-2}+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}xy^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}y^{n}
$
において, $x=y=1$ を代入すると,
$
2^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_n\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{r}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}
$
である.
(i) $[x]$ が偶数のとき, 整数 $k$ を用いて $[x]=2k$, $\left[\dfrac{x}{2}\right]=k$ と表すことができる. これより,
$R(x) = \dfrac{[x]!}{([\frac{x}{2}]!)^2} = \dfrac{(2k)!}{(k!)^2} ={}_{2k}\mathrm{C}_{k}$
である.
ここで, ${}_{2k}\mathrm{C}_{r}$ の中で最大となるのは ${}_{2k}\mathrm{C}_{k}$ であるので,
$2^{2k}={}_{2k}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k}\mathrm{C}_{1}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{2k}\mathrm{C}_{r}+\cdots+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-2}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-1}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k} <(2k+1)_{2k}\mathrm{C}_{k}$
が成り立つ.
以上より,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le \dfrac{2^{2k}}{2k+1} < {}_{2k}\mathrm{C}_{k} = R(x)$
であるので, 左の不等号が成り立つ.
同様に, 二項係数 ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ は正なので, ${}_{n}\mathrm{C}_{r} \le 2^{n}$ である.
これより,
${}_{2k}\mathrm{C}_{k} \le 2^{2k}$
が成り立つ.
ここで, $[x]=2k$ より $2k-1 \le x-1 < 2k$ であり, また $x>1$ より $x+1>2$ であるので,
$2^{2k}=2^{2k-1} \times 2 < 2^{x-1} \times (x+1)$
である.
以上より,
$R(x) = {}_{2k}\mathrm{C}_{k} \le 2^{2k} < 2^{x-1}(x+1)$
であるので, 右の不等号が成り立つ.
(ii) $[x]$ が奇数のとき, 整数 $k$ を用いて $[x]=2k+1$, $\left[\dfrac{x}{2}\right]=k$ と表すことができる. これより,
$R(x)=\dfrac{[x]!}{([\frac{x}{2}]!)^2}
= \dfrac{(2k+1)!}{(k!)^2}
= \dfrac{(2k+1)!}{(k!)^2} \times \dfrac{k+1}{k+1}
= \dfrac{(2k+1)!}{k!(k+1)!}\times(k+1)
= {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k} (k+1)$
である.
(i) と同様に, 二項定理より
$2^{2k+1}={}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{r}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{2k}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{2k+1}$
である. ここで, 二項係数の重要な性質
${}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r}$
より,
$2^{2k+1} = 2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}$
$2^{2k} = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}$
が成り立つ.
以上より,
$R(x) < 2^{2k}(k+1) < 2^{x-1}(x+1)$
であるので, 右の不等号が成り立つ.
(i), (ii) より, Lemma.1 が成り立つ${}_{\square}$
続きはこちら。
というか、今週中は毎日行ってきます。
休校中ということもあり、在宅勤務になっているのですが・・・
生徒にはリクルートのスタディサプリで課題を出しています。
授業ができない分、動画を見て、ノートにまとめて、確認テストを受けて・・・
という事で、授業の代わりとして扱おう、というものです。
でも、個人的な感想として、数学に関してはいまいち・・・
本気で上の大学を目指すようなレベルの人には、はっきり言って足りないし、
下のレベルの生徒には、所詮は動画なので、分からないところは放置してしまう。
なので、ちょっと使いづらいんですよね・・・
でも、かと言って１人１人の質問にスタディサプリのメッセージ機能で答える、
なんて事はもっと現実的ではないでしょうし・・・
そんなわけで今週、保護者の送迎の上で、教科書の配布をしています。
正面玄関に車で来て、クラスを名前を聞いて、その生徒の
教科書セットを持ってきて、生徒や保護者は車から降りないで渡す、
というやり方で対応しているのですが・・・
まあ、大変ですよね。
２学年の教室は３階にあるので、そこから毎回持ってくる、
なんていうやり方で昨日はやっていました。
引き籠もり生活では、スマホの歩数計が２０歩とかなっていたのに、
昨日はそれだけで７，０００歩超え、上がった階数は３４階・・・
（どちらも iPhone のヘルスケア調べ）
流石にこれでは死んでしまう、ということで、事前に調査をして・・・
Google フォームで、事前にいつ取りに来るかを確認して、
その日に取りに来る生徒の分を台車＆エレベータを使って下ろしておく。
フォームで答えていないで突然来た人への対応のために、
３階に１人残して、確認して持ってくる。
そんなやり方に変更して、今日は昨日よりも楽でした。
なんてったって、上がった階数が１９階でしたから。
明日、昭和の日で祝日なのですが、同様に出勤します。
むしろ、祝日だからこそ来れる保護者もいるでしょうし。
もう、体がバッキバキなんですけどね・・・
しばらくは、最近勉強している内容の話。
Bertrand's Postulate（ベルトランの仮説）の証明について。
そもそも、Bertrand's Postulateとは、以下のような仮説である。
$1$ より大きい任意の実数 $x$ に対し, $x<p\le 2x$ を満たす素数 $p$ が存在する.
例えば...
$x=3$ とすると, $3<p\le6$ を満たす素数 $p=5$ が存在する.
$x=8$ とすると, $8<p\le16$ を満たす素数 $p=11$, $13$ が存在する.
この仮設は、１８５０年に Pafnuty Lvovich Chebyshev によって証明された。
ただ、これはガンマ関数
$\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{t}dt$
を用いた高度なものであり、ガンマ関数自体が高校では学ばないものであるので・・・
で、その後に Paul Erdos が高校生のときに初等的な証明を与えた、と言われている。
そこで、その証明について書かれているものを探して、その論文（レポート？）を読んでみた。その内容を覚書として、順を追ってまとめていきたいと思う。
今日は第１回。
Lemma（補題）1 の証明まで。
$[x]$ はガウス関数とする, 即ち, $[x]$ で, $x$ を超えない最大の整数とする.
具体的には
$[3] = 3, ~~~~~ [4.2] = 4, ~~~~~ [\sqrt{123}] = 11$
である.
これ以降, 多種の文字が出てくるが, $x$ 以外は特に断らない限り自然数（正の整数）とする.
Lemma.1.
$1$ より大きい $x$ に対し,
$
R(x) = \frac{[x]!}{([\frac{x}2]!)^2}
$
とすると, 以下が成り立つ :
$
\frac{2^{x-1}}{x+1} \le R(x) \le 2^{x-1}(x+1)
$
Proof.
高校の数学 II で学ぶ二項定理
$
(x+y)^n = {}_{n}\mathrm{C}_{0}x^n+{}_{n}\mathrm{C}_{1}x^{n-1}y+{}_{n}\mathrm{C}_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{r}x^{n-r}y^{r}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}x^{2}y^{n-2}+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}xy^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}y^{n}
$
において, $x=y=1$ を代入すると,
$
2^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_n\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{r}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}+{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n}
$
である.
(i) $[x]$ が偶数のとき, 整数 $k$ を用いて $[x]=2k$, $\left[\dfrac{x}{2}\right]=k$ と表すことができる. これより,
$R(x) = \dfrac{[x]!}{([\frac{x}{2}]!)^2} = \dfrac{(2k)!}{(k!)^2} ={}_{2k}\mathrm{C}_{k}$
である.
ここで, ${}_{2k}\mathrm{C}_{r}$ の中で最大となるのは ${}_{2k}\mathrm{C}_{k}$ であるので,
$2^{2k}={}_{2k}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k}\mathrm{C}_{1}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{2k}\mathrm{C}_{r}+\cdots+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-2}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-1}+{}_{2k}\mathrm{C}_{2k} <(2k+1)_{2k}\mathrm{C}_{k}$
であるので,
$\dfrac{2^{2k}}{2k+1}<{}_{2k}\mathrm{C}_{k}$
である.
ここで, $[x]=2k$ より $x-1 \le 2k \le x$ であるので, $2^{x-1} \le 2^{2k}$,
$\dfrac{1}{x+1}\le\dfrac{1}{2k+1}$ であるので,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le \dfrac{2^{2k}}{2k+1}$が成り立つ.
以上より,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} \le \dfrac{2^{2k}}{2k+1} < {}_{2k}\mathrm{C}_{k} = R(x)$
であるので, 左の不等号が成り立つ.
同様に, 二項係数 ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ は正なので, ${}_{n}\mathrm{C}_{r} \le 2^{n}$ である.
これより,
${}_{2k}\mathrm{C}_{k} \le 2^{2k}$
が成り立つ.
ここで, $[x]=2k$ より $2k-1 \le x-1 < 2k$ であり, また $x>1$ より $x+1>2$ であるので,
$2^{2k}=2^{2k-1} \times 2 < 2^{x-1} \times (x+1)$
である.
以上より,
$R(x) = {}_{2k}\mathrm{C}_{k} \le 2^{2k} < 2^{x-1}(x+1)$
であるので, 右の不等号が成り立つ.
(ii) $[x]$ が奇数のとき, 整数 $k$ を用いて $[x]=2k+1$, $\left[\dfrac{x}{2}\right]=k$ と表すことができる. これより,
$R(x)=\dfrac{[x]!}{([\frac{x}{2}]!)^2}
= \dfrac{(2k+1)!}{(k!)^2}
= \dfrac{(2k+1)!}{(k!)^2} \times \dfrac{k+1}{k+1}
= \dfrac{(2k+1)!}{k!(k+1)!}\times(k+1)
= {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k} (k+1)$
である.
(i) と同様に, 二項定理より
$2^{2k+1}={}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{r}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{2k}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{2k+1}$
である. ここで, 二項係数の重要な性質
${}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r}$
より,
$2^{2k+1} = 2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+2{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}$
$2^{2k} = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}$
である.
二項係数の最大値より
$2^{2k} = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k} < {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}(k+1) = R(x)$
である. また, $1<x$ より
$2<x+1$
$\dfrac{1}{x+1} < \dfrac{1}{2}$
であり, 更に $[x]=2k+1$ より
$x-1 < 2k+1 \le x$
$2^{x-1} < 2^{2k+1}$
であるので,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} = \dfrac{1}{x+1} \times 2^{x-1} < \dfrac{1}{2} \times 2^{2k+1} = 2^{2k}$
である.
以上より,
$\dfrac{2^{x-1}}{x+1} < 2^{2k} < R(x)$
であるので, 左の不等号が成り立つ.
また,
$2^{2k} = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{0}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{1}+\dots+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k-1}+{}_{2k+1}\mathrm{C}_{k} \ge {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}$
より,
$R(x) = {}_{2k+1}\mathrm{C}_{k}(k+1)<2^{2k}(k+1)$
が成り立つ.
また, $[x]=2k+1$ より $2k<[x]<x-1$, $k \le x$ より $k+1 \le x+1$ であるので,
$2^{2k}(k+1) < 2^{x-1}(x+1)$が成り立つ.
以上より,
$R(x) < 2^{2k}(k+1) < 2^{x-1}(x+1)$
であるので, 右の不等号が成り立つ.
(i), (ii) より, Lemma.1 が成り立つ${}_{\square}$
続きはこちら。
授業で出題した問題（平日課題 No.02）
アパートに引き籠もって、ずっと自炊をしているのですが・・・
流石に、食材が底をついてきてしまいまして・・・
そんなわけで、５日振りに外に出ました。
まあ、外出と言っても、日産に行って、リーフを充電している間に徒歩でスーパーマーケットに行って買い物をしてきただけなのですが・・・
ただ、明日からはまた出勤します。
学校としてはまだ、在宅勤務期間なのですが、生徒への教科書の配布を行うので・・・
保護者送迎により来校し、正面玄関に車を停めて、車内で待機してもらう。教員がクラス・氏名を聞き、トランシーバーで連絡をし、校舎内で待機している教員がその生徒の分の教科書セットを持って玄関へ行き、車の窓越しに渡す。そんな方法で、教科書を渡します。
ただ、問題なのが・・・２学年の教室、校舎の３階なんですよね・・・
まあ、引き籠もり生活での運動不足を解消するために、と考えて、学年対応で半日×２回／人なのですが、毎日行こうかと考えています。
今日も、授業の課題の解説。
平日課題 No.02 です。
今回の問題は、2006 年のセンター試験の第 2 問です。
早くもセンター試験って、もうネタ切れか？と思われそうですが、自宅勤務をしていると、手元に程よい問題集がないんですよね・・・
問題文は、前述のリンク先にあっるので省略します。
まず, $y\le0$ より $2$ 次不等式 $6x^2+11x-10 \le 0$ となるので, 左辺を因数分解すると
$6x^2+11x-10 \le 0$
$(2x+5)(3x-2) \le 0$
であるので, 解は $-\dfrac52 \le x \le \dfrac23$ である.
関数 $y=f(x)$ のグラフを, $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したものをグラフにもつ関数の方程式は $y-b=f(x-a)$ である.
これより, $G$ のグラフを表す方程式は
$y-b = 6(x-a)^2+11(x-a)-10$
$y = 6x^2-12ax+6a^2+11x-11a-10+b$
$y = 6x^2-(12a-11)x+(6a^2-11a-10+b)$
である. これが原点 $(0, 0)$ を通るので,
$6a^2-11a-10+b = 0$
$b = -6a^2+11a+10$
である. また, これを代入すると,
$y = 6x^2-(12a-11)x$ ・・・②
である.
$x=-2$ と $x=3$ に対応する $2$ 次関数 ２ の値が等しくなるので,
$6 \times (-2)^2-(12a-11)\times(-2) = 6 \times 3^2-(12a-11) \times3$
$24+24a-22 = 54-36a+33$
$a = \dfrac{85}{60} = \dfrac{17}{12}$
$a$ に代入すると, $G$ は
$y = 6x^2-6x = 6\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac32$
となるので, 最小値は $-\dfrac32$ であり, 最大値は
$24a+2 = 24 \times \dfrac{17}{12}+2 = 36$
である.
②を求めた後の別解として, $2$ 次関数の対称性より, 軸は
$x=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac12$
であるので, 方程式は
$y = 6\left(x-\dfrac12\right)^2+q = 6x^2-6x+\left(\dfrac32+q\right)$
であるので,
$\begin{cases}
-(12a-11) = -6 \\
0 = \dfrac32+q
\end{cases}$
である. これより,
$a=\dfrac{17}{12}$, $q=-\dfrac32$ であるので, 最小値は $-\dfrac32$, 最大値は
$6 \times 3^2-6 \times 3 = 36$
である.
流石に、食材が底をついてきてしまいまして・・・
そんなわけで、５日振りに外に出ました。
まあ、外出と言っても、日産に行って、リーフを充電している間に徒歩でスーパーマーケットに行って買い物をしてきただけなのですが・・・
ただ、明日からはまた出勤します。
学校としてはまだ、在宅勤務期間なのですが、生徒への教科書の配布を行うので・・・
保護者送迎により来校し、正面玄関に車を停めて、車内で待機してもらう。教員がクラス・氏名を聞き、トランシーバーで連絡をし、校舎内で待機している教員がその生徒の分の教科書セットを持って玄関へ行き、車の窓越しに渡す。そんな方法で、教科書を渡します。
ただ、問題なのが・・・２学年の教室、校舎の３階なんですよね・・・
まあ、引き籠もり生活での運動不足を解消するために、と考えて、学年対応で半日×２回／人なのですが、毎日行こうかと考えています。
今日も、授業の課題の解説。
平日課題 No.02 です。
今回の問題は、2006 年のセンター試験の第 2 問です。
早くもセンター試験って、もうネタ切れか？と思われそうですが、自宅勤務をしていると、手元に程よい問題集がないんですよね・・・
問題文は、前述のリンク先にあっるので省略します。
まず, $y\le0$ より $2$ 次不等式 $6x^2+11x-10 \le 0$ となるので, 左辺を因数分解すると
$6x^2+11x-10 \le 0$
$(2x+5)(3x-2) \le 0$
であるので, 解は $-\dfrac52 \le x \le \dfrac23$ である.
関数 $y=f(x)$ のグラフを, $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したものをグラフにもつ関数の方程式は $y-b=f(x-a)$ である.
これより, $G$ のグラフを表す方程式は
$y-b = 6(x-a)^2+11(x-a)-10$
$y = 6x^2-12ax+6a^2+11x-11a-10+b$
$y = 6x^2-(12a-11)x+(6a^2-11a-10+b)$
である. これが原点 $(0, 0)$ を通るので,
$6a^2-11a-10+b = 0$
$b = -6a^2+11a+10$
である. また, これを代入すると,
$y = 6x^2-(12a-11)x$ ・・・②
である.
$x=-2$ と $x=3$ に対応する $2$ 次関数 ２ の値が等しくなるので,
$6 \times (-2)^2-(12a-11)\times(-2) = 6 \times 3^2-(12a-11) \times3$
$24+24a-22 = 54-36a+33$
$a = \dfrac{85}{60} = \dfrac{17}{12}$
$a$ に代入すると, $G$ は
$y = 6x^2-6x = 6\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac32$
となるので, 最小値は $-\dfrac32$ であり, 最大値は
$24a+2 = 24 \times \dfrac{17}{12}+2 = 36$
である.
②を求めた後の別解として, $2$ 次関数の対称性より, 軸は
$x=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac12$
であるので, 方程式は
$y = 6\left(x-\dfrac12\right)^2+q = 6x^2-6x+\left(\dfrac32+q\right)$
であるので,
$\begin{cases}
-(12a-11) = -6 \\
0 = \dfrac32+q
\end{cases}$
である. これより,
$a=\dfrac{17}{12}$, $q=-\dfrac32$ であるので, 最小値は $-\dfrac32$, 最大値は
$6 \times 3^2-6 \times 3 = 36$
である.
授業で出題した問題（週末課題 No.02）
休校になって、教員も在宅勤務になって、私も在宅勤務をして２日が経ちました。
そんなわけで、私の状態はどうなっているかというと・・・
在宅勤務 → 時間が余る → 料理に時間をかけられる → 美味いものができる
っていう因果律と、
在宅勤務 → 同じ場所に座ったままで問題を解いたり、Classroomいじったり → 極度の運動不足
という因果律から・・・
絶対に、このままでは太りますよね・・・
今日も、授業の課題の解説を。
まずは週末課題の第１問。
$x+y=3$, $xy=-2$ のとき, 次の値を求めよ.
(1) $x^2+y^2$
(2) $(x-y)^2$
(3) $x^4+y^4$
---解答例---
(1)
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ より,
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
= 3^2-2\times(-2)
= 9+4 = 13$.
(2)
$(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy
= 13-2\times(-2)
= 13+4 = 17$.
(3)
(1) と同様に,
$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2-2x^2y^2
= 13^2-2\times(-2)^2
= 169-8 = 161$.
この (3) の別解として, 一応漸化式を使った別解もあるのですが, そこまでやるような問題でもないですかね...
続いて、週末課題の第２問。
$\sqrt{17}$ の小数部分を $a$ とするとき, 以下の値を求めよ.
(1) $a$
(2) $\dfrac1a$
(3) $a^2+8a$
(4) $a^3+9a^2+7a$
---解答例---
(1)
$4=\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$ より, $\sqrt{17}$ の整数部分は $4$ であるので, 小数部分は
$a = \sqrt{17}-4$.
(2)
$\dfrac1a = \dfrac1{\sqrt{17}-4}
= \dfrac{\sqrt{17}+4}{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}
= \dfrac{\sqrt{17}-4}{17-16} = \sqrt{17}+4$.
(3)
$a^2+8a = (\sqrt{17}-4)^2+8(\sqrt{17}-4)$
$= 17-8\sqrt{17}+16+8\sqrt{17}-32 = 1$.
(4)
$a^3+9a^2+7a = (\sqrt{17}-4)^3+9(\sqrt{17}-4)^2+7(\sqrt{17}-4)$
$= 17\sqrt{17}-204+48\sqrt{17}-64+153-72\sqrt{17}+144+7\sqrt{17}-28$
$= 1$.
なのですが...
こんな計算, 自分で回答するときはしませんね...
(3) の結果から,
$a^2+8a=1$
$a^2=-8a+1$
更に両辺に $a$ をかけて
$a^3=-8a^2+a$
が成り立つ.
これより,
$a^3+9a^2+7a = (-8a^2+a)+9a^2+7a$
$= a^2+8a$
$= (-8a+1)+8a$
$= 1$.
となります.
では, (3) がなかった場合, どうしたらいいのか.
それは, $a$ の最小多項式を求めることになります.
$a = \sqrt{17}-4$
$a+4 = \sqrt{17}$
$(a+4)^2 = 17$
$a^2+8a+16 = 17$
$a^2+8a-1=0$
を得る. (以下, 省略)
このとき, $P(x)=x^2+8x-1$ は $P(a)=0$ を満たす多項式の中で最小の次数である.
このような $P(x)$ を, $a$ の最小多項式という.
この最小多項式を理解できると, 数学 II で学ぶ多項式の割り算より
$a^3+9a^2+7a = (a^2+8a-1)(a+1)+1 = 1$
を得る.
そんなわけで、私の状態はどうなっているかというと・・・
在宅勤務 → 時間が余る → 料理に時間をかけられる → 美味いものができる
っていう因果律と、
在宅勤務 → 同じ場所に座ったままで問題を解いたり、Classroomいじったり → 極度の運動不足
という因果律から・・・
絶対に、このままでは太りますよね・・・
今日も、授業の課題の解説を。
まずは週末課題の第１問。
$x+y=3$, $xy=-2$ のとき, 次の値を求めよ.
(1) $x^2+y^2$
(2) $(x-y)^2$
(3) $x^4+y^4$
---解答例---
(1)
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ より,
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
= 3^2-2\times(-2)
= 9+4 = 13$.
(2)
$(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy
= 13-2\times(-2)
= 13+4 = 17$.
(3)
(1) と同様に,
$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2-2x^2y^2
= 13^2-2\times(-2)^2
= 169-8 = 161$.
この (3) の別解として, 一応漸化式を使った別解もあるのですが, そこまでやるような問題でもないですかね...
続いて、週末課題の第２問。
$\sqrt{17}$ の小数部分を $a$ とするとき, 以下の値を求めよ.
(1) $a$
(2) $\dfrac1a$
(3) $a^2+8a$
(4) $a^3+9a^2+7a$
---解答例---
(1)
$4=\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$ より, $\sqrt{17}$ の整数部分は $4$ であるので, 小数部分は
$a = \sqrt{17}-4$.
(2)
$\dfrac1a = \dfrac1{\sqrt{17}-4}
= \dfrac{\sqrt{17}+4}{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}
= \dfrac{\sqrt{17}-4}{17-16} = \sqrt{17}+4$.
(3)
$a^2+8a = (\sqrt{17}-4)^2+8(\sqrt{17}-4)$
$= 17-8\sqrt{17}+16+8\sqrt{17}-32 = 1$.
(4)
$a^3+9a^2+7a = (\sqrt{17}-4)^3+9(\sqrt{17}-4)^2+7(\sqrt{17}-4)$
$= 17\sqrt{17}-204+48\sqrt{17}-64+153-72\sqrt{17}+144+7\sqrt{17}-28$
$= 1$.
なのですが...
こんな計算, 自分で回答するときはしませんね...
(3) の結果から,
$a^2+8a=1$
$a^2=-8a+1$
更に両辺に $a$ をかけて
$a^3=-8a^2+a$
が成り立つ.
これより,
$a^3+9a^2+7a = (-8a^2+a)+9a^2+7a$
$= a^2+8a$
$= (-8a+1)+8a$
$= 1$.
となります.
では, (3) がなかった場合, どうしたらいいのか.
それは, $a$ の最小多項式を求めることになります.
$a = \sqrt{17}-4$
$a+4 = \sqrt{17}$
$(a+4)^2 = 17$
$a^2+8a+16 = 17$
$a^2+8a-1=0$
を得る. (以下, 省略)
このとき, $P(x)=x^2+8x-1$ は $P(a)=0$ を満たす多項式の中で最小の次数である.
このような $P(x)$ を, $a$ の最小多項式という.
この最小多項式を理解できると, 数学 II で学ぶ多項式の割り算より
$a^3+9a^2+7a = (a^2+8a-1)(a+1)+1 = 1$
を得る.
2020日本数学オリンピック予選 第１０問
ついに私の勤務先も、本日より在宅勤務になりました。
それでも、最近ここにも書いているように、Google Classroom を利用して生徒に問題を配信しています。
それもこれも、勤務校が Google の G Suite for education を使っているおかげですね。
教育機関の場合は全て無料で使え、更には DRIVE の容量が・・・
Google の無料アカウントを作ると、Googleドライブ、Gmail、Googleフォトで使える保存容量が 15 GBもらえて、その容量を増やすためには
という料金プランがありまして・・・
また、
という料金で、G Suite の Business プランを使え、しかも 5 ユーザ以上いるとドライブの容量が無制限になる、というもの。この G Suite を無料で使えるのが for education なので・・・
そう、容量無制限に使える、ということです。
しかも、Gmail の無料ユーザでは使えない、Drive File Stream も使えるのです。
似たような機能があって、無料ユーザでも使えるのは“バックアップと同期”です。これは、インストールして設定した PC の中の指定したフォルダを Google Drive に同期し、更に別の PC にも同期できる、というものです。例えば、家の PC で作業したファイルを、作業終了後に Google のサーバ上に自動でバックアップをとり、更に翌日に職場の PC を起動すると、その PC の中にも同期してくれる、というものです。
これでも十分にありがたいのですが、これだと使っていて、問題がありまして・・・
なんていう問題がありまして・・・（人によっては他の問題があるかも知れませんが、私はこれくらいでした）
それに対し、G Suite ユーザが使える Drive File Stream は、仮想ドライブを作成し、サーバ上のファイルを直接編集できる、というものです。
つまり、前述の２つの問題点を解消できるのです。
えっと、何の話だったかと言うと・・・
Google さん、ありがとうございます。
間をおいてしまいましたが、今日は数学オリンピック日本予選の第１０問。
２０２０日本数学オリンピック予選 第１問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第２問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第３問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第４問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第５問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第６問はこちら
それでも、最近ここにも書いているように、Google Classroom を利用して生徒に問題を配信しています。
それもこれも、勤務校が Google の G Suite for education を使っているおかげですね。
教育機関の場合は全て無料で使え、更には DRIVE の容量が・・・
Google の無料アカウントを作ると、Googleドライブ、Gmail、Googleフォトで使える保存容量が 15 GBもらえて、その容量を増やすためには
- 月 250 円または年 2500 円で 100 GB
- 月 380 円または年 3800 円で 200 GB
- 月 1300 円または年 13000 円で 2 TB
- 月 13000 円で 10 TB
- 月 26000 円で 20 TB
- 月 39000 円で 30 TB
という料金プランがありまして・・・
また、
- 月 1360 円で 1 TB
という料金で、G Suite の Business プランを使え、しかも 5 ユーザ以上いるとドライブの容量が無制限になる、というもの。この G Suite を無料で使えるのが for education なので・・・
そう、容量無制限に使える、ということです。
しかも、Gmail の無料ユーザでは使えない、Drive File Stream も使えるのです。
似たような機能があって、無料ユーザでも使えるのは“バックアップと同期”です。これは、インストールして設定した PC の中の指定したフォルダを Google Drive に同期し、更に別の PC にも同期できる、というものです。例えば、家の PC で作業したファイルを、作業終了後に Google のサーバ上に自動でバックアップをとり、更に翌日に職場の PC を起動すると、その PC の中にも同期してくれる、というものです。
これでも十分にありがたいのですが、これだと使っていて、問題がありまして・・・
- 同期が終わる前に作業をしてしまうと、時間差で複数のファイルが出来てしまう
- それぞれの PC に同じファイルが出来てしまうので、それだけ容量を消費してしまう
なんていう問題がありまして・・・（人によっては他の問題があるかも知れませんが、私はこれくらいでした）
それに対し、G Suite ユーザが使える Drive File Stream は、仮想ドライブを作成し、サーバ上のファイルを直接編集できる、というものです。
つまり、前述の２つの問題点を解消できるのです。
えっと、何の話だったかと言うと・・・
Google さん、ありがとうございます。
間をおいてしまいましたが、今日は数学オリンピック日本予選の第１０問。
２０２０日本数学オリンピック予選 第１問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第２問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第３問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第４問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第５問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第６問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第７問はこちら
２０２０日本数学オリンピック予選 第８問はこちら
$8 \times 8$ のマス目を図のように白と黒の $2$ 色で塗り分ける. 黒い駒 $4$ 個と白い駒 $4$ 個をそれぞれいずれかのマスに置き, 以下の条件をみたすようにする方法は何通りあるか.
$\cdot$ 各行・各列にはちょうど $1$ 個の駒が置かれており, 黒い駒は黒いマスに, 白い駒は白いマスに置かれている.
ただし, 同じ色の駒は区別せず, 回転や裏返しにより一致する置き方も異なるものとして数える.
それぞれの色の駒がどのように配置するかを考える.
黒いマスが配置されるマスは $(odd, odd)$ または $(even, even)$ であり,
白いマスが配置されるマスは $(odd, even)$ または $(even, odd)$ である.
黒い駒を $(odd, odd)$ に $x$ 個配置するとすると, $(even, even)$ に $4-x$ 個配置
することになる. すると第 $1$ 成分の個数から, 白い駒は $(even, *)$ に $x$ 個, $(odd, *)$ に $4-x$ 個配置することになるので, 第 $2$ 成分の個数から
\begin{align*}
\begin{cases}
x+x = 4 \\
(4-x)+(4-x) = 4
\end{cases}
\end{align*}
であるので, $x=2$ を得る. よって, 黒い駒は $(odd, odd)$ に $2$ 個, $(even, even)$ に $2$ 個である.
黒い駒を配置する偶数番目の行の選び方は ${}_4\mathrm{C}_2$ 通り,
奇数番目の行の選び方も ${}_4\mathrm{C}_2$ 通り,
偶数番目の行の黒い駒の $2$ 個の配置は ${}_4\mathrm{P}_2$ 通り,
奇数番目の行の黒い駒の $2$ 個の配置も ${}_4\mathrm{P}_2$ 通り,
残っている白の駒を配置する行は一意に定まっているので,
偶数番目の行の白い駒の $2$ 個の配置は $2!$ 通り,
奇数番目の行の白い駒の $2$ 個の配置も $2!$ 通りであるので,
\begin{align*}
{}_4\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{P}_2 \times {}_4\mathrm{P}_2 \times 2! \times 2! &= 20736
\end{align*}
より $20736$ 通り.
２０２０日本数学オリンピック予選 第８問はこちら
$8 \times 8$ のマス目を図のように白と黒の $2$ 色で塗り分ける. 黒い駒 $4$ 個と白い駒 $4$ 個をそれぞれいずれかのマスに置き, 以下の条件をみたすようにする方法は何通りあるか.
$\cdot$ 各行・各列にはちょうど $1$ 個の駒が置かれており, 黒い駒は黒いマスに, 白い駒は白いマスに置かれている.
ただし, 同じ色の駒は区別せず, 回転や裏返しにより一致する置き方も異なるものとして数える.
それぞれの色の駒がどのように配置するかを考える.
黒いマスが配置されるマスは $(odd, odd)$ または $(even, even)$ であり,
白いマスが配置されるマスは $(odd, even)$ または $(even, odd)$ である.
黒い駒を $(odd, odd)$ に $x$ 個配置するとすると, $(even, even)$ に $4-x$ 個配置
することになる. すると第 $1$ 成分の個数から, 白い駒は $(even, *)$ に $x$ 個, $(odd, *)$ に $4-x$ 個配置することになるので, 第 $2$ 成分の個数から
\begin{align*}
\begin{cases}
x+x = 4 \\
(4-x)+(4-x) = 4
\end{cases}
\end{align*}
であるので, $x=2$ を得る. よって, 黒い駒は $(odd, odd)$ に $2$ 個, $(even, even)$ に $2$ 個である.
黒い駒を配置する偶数番目の行の選び方は ${}_4\mathrm{C}_2$ 通り,
奇数番目の行の選び方も ${}_4\mathrm{C}_2$ 通り,
偶数番目の行の黒い駒の $2$ 個の配置は ${}_4\mathrm{P}_2$ 通り,
奇数番目の行の黒い駒の $2$ 個の配置も ${}_4\mathrm{P}_2$ 通り,
残っている白の駒を配置する行は一意に定まっているので,
偶数番目の行の白い駒の $2$ 個の配置は $2!$ 通り,
奇数番目の行の白い駒の $2$ 個の配置も $2!$ 通りであるので,
\begin{align*}
{}_4\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{P}_2 \times {}_4\mathrm{P}_2 \times 2! \times 2! &= 20736
\end{align*}
より $20736$ 通り.
授業で出題した課題（平日課題No.01）
Google Classroom を使い始めて１週間が経ったのだが、まだまだ使い方を模索している状態。
本当は、授業を動画で作成して配信したり、色々とできることもあるようなのですが、
演習系の授業では、やり方が限られてくる、ってのも現実でして・・・
まあ、あくまでも Classroom もツールであって、それを使って学習することが目的であり、使う事を目標にしてはいけませんからね。
試してみる段階では色々とやりましたが、現在の私の頭の中にある授業には、他のツールを必要とはしていないので・・・
今日も、授業で配信した問題。
問. $2$ 次関数 $f(x)=x^2-4x+5$ について, $a$ を定数とし, $a \leqq x \leqq a+2$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M(a)$, 最小値を $m(a)$ とする.
(1) $y=m(a)$ のグラフをかけ.
(2) $M(a)-m(a)=a$ となるような $a$ の値をすべて求めよ.
典型的な, $2$ 次関数の問題です.
定数 $a$ の値によって定義域が動いたり, $2$ 次関数のグラフが動いたり, いくつかのパターンが考えられますが, 今回は定義域が動くパターンです.
まず, $2$ 次関数の最大値・最小値の問題なので, とりあえずは平方完成をしてみましょう.
$f(x)=x^2-4x+5$
$=(x-2)^2-(-2)^2+5$
$=(x-2)^2-4+5$
$=(x-2)^2+1$
より, 頂点は $(2, 1)$ となる.
今回から, グラフは $\LaTeX$ で作ったものを使う場合もありますが, 原則としてDesmosで作成したものを使っていこうかと思います.
綺麗に作成できる, というのもそうですが、編集をする必要がないので...
$\LaTeX$ で作成した場合, DVI ファイルに出力し, それを PrintScreen でコピーして, Windows の Paint に貼り付けて, 必要な部分のみをトリミングして...
なんていう作業をしていたので, Desmos を使えば, そのまま埋め込みができるので...
という理由もありますが, Desmos を使う理由は, 動的なグラフも作成することができる, ということ. 最小値とか最大値の変化の仕方は, 以下のグラフを見ると分かるかと.
紫色の線が最大値, 緑色の線が最小値を表している.
このイメージをちゃんともてれば, 場合分けも見えてくる.
(1) 最小値は,
(i) $a+2\leqq 2$ 即ち $a \leqq 0$ のとき,
(ii) $a \leqq 2 \leqq a+2$ 即ち $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
(iii) $2 \leqq a$ のとき
の $3$ つに場合分けをする.
ここで, $a=0$ と $a=2$ は場合分けの $2$ つに含まれるので, どちらか一方のみで十分である. だが, どちらも含まないような場合分けとなると減点となってしまうので, 注意が必要である. 上の動的なイメージをちゃんと持っていれば, 突然飛んだりしていないので, どちらに含んでも問題ないことが分かると思う.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$m(a)=f(a+2)$
$= (a+2)^2-4(a+2)+5$
$= a^2+1$.
(ii) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$m(a)=f(2)$
$= 1$.
(iii) $2 \leqq a$ のとき,
$m(a) = f(a)$
$= a^2-4a+5$.
以上より, グラフは以下の通り.
$y=m(a)$ を求めよ, くらいは出題されることが多いですが, そのグラフをかけ, という問題は, なかなか出題されないとは思いますが... 場合分けをして定義されたグラフをちゃんとイメージできるかを確認するために, こんな問題を出題してみました.
(2)
同様に, 最大値につても場合分けをして求める.
$M(a) =
\begin{cases}
f(a) & (a \leqq 1) \\
f(a+2) & (1 \leqq a)
\end{cases}
$
である.
最大値の場合分けの境界は $a=1$, 最小値の場合分けの境界は $a=0$, $2$ であるので, 全部で $4$ つに場合分けをする必要がある.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-(a^2+1)=a$
$-5a+4=0$
$a=-\dfrac45$
であるが, $a \leqq 0$ より不適.
実はこの場合だけ, 計算しなくても不適であることが分かる. 何故かというと,
最大値から最小値を引いているので, $M(a)-m(a)>0$ であるので, $a\leqq0$ となることはあり得ないからである.
(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-1=a$
$a^2-5a+4=0$
$(a-1)(a-4)=0$
$a=1, 4$
であるが, $0 \leqq a \leqq 1$ より $a=1$ である.
(iii) $1 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-1=a$
$a^2-a=0$
$a(a-1)=0$
$a=0, 1$
であるが, $1 \leqq a \leqq 2$ より $a=1$ である.
前述の通り, (ii) および (iii) のどちらか一方は場合分けで $a=1$ を含まないで考察することができる. その場合は, 含まない方で「$* \leqq a \leqq *$ より不適」となる.
(iv) $2 \leqq a$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-(a^2-4a+5)=a$
$3a-4=0$
$a=\dfrac43$
であるが, $2 \leqq a$ より不適.
(i), (ii), (iii), (iv) より, $a=1$ である.
受験勉強を始めたばかりの頃には難しいかも知れないが, 受験へ向かう上ではしっかりと理解しておくべき内容である.
本当は、授業を動画で作成して配信したり、色々とできることもあるようなのですが、
演習系の授業では、やり方が限られてくる、ってのも現実でして・・・
まあ、あくまでも Classroom もツールであって、それを使って学習することが目的であり、使う事を目標にしてはいけませんからね。
試してみる段階では色々とやりましたが、現在の私の頭の中にある授業には、他のツールを必要とはしていないので・・・
今日も、授業で配信した問題。
問. $2$ 次関数 $f(x)=x^2-4x+5$ について, $a$ を定数とし, $a \leqq x \leqq a+2$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M(a)$, 最小値を $m(a)$ とする.
(1) $y=m(a)$ のグラフをかけ.
(2) $M(a)-m(a)=a$ となるような $a$ の値をすべて求めよ.
典型的な, $2$ 次関数の問題です.
定数 $a$ の値によって定義域が動いたり, $2$ 次関数のグラフが動いたり, いくつかのパターンが考えられますが, 今回は定義域が動くパターンです.
まず, $2$ 次関数の最大値・最小値の問題なので, とりあえずは平方完成をしてみましょう.
$f(x)=x^2-4x+5$
$=(x-2)^2-(-2)^2+5$
$=(x-2)^2-4+5$
$=(x-2)^2+1$
より, 頂点は $(2, 1)$ となる.
今回から, グラフは $\LaTeX$ で作ったものを使う場合もありますが, 原則としてDesmosで作成したものを使っていこうかと思います.
綺麗に作成できる, というのもそうですが、編集をする必要がないので...
$\LaTeX$ で作成した場合, DVI ファイルに出力し, それを PrintScreen でコピーして, Windows の Paint に貼り付けて, 必要な部分のみをトリミングして...
なんていう作業をしていたので, Desmos を使えば, そのまま埋め込みができるので...
という理由もありますが, Desmos を使う理由は, 動的なグラフも作成することができる, ということ. 最小値とか最大値の変化の仕方は, 以下のグラフを見ると分かるかと.
紫色の線が最大値, 緑色の線が最小値を表している.
このイメージをちゃんともてれば, 場合分けも見えてくる.
(1) 最小値は,
(i) $a+2\leqq 2$ 即ち $a \leqq 0$ のとき,
(ii) $a \leqq 2 \leqq a+2$ 即ち $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
(iii) $2 \leqq a$ のとき
の $3$ つに場合分けをする.
ここで, $a=0$ と $a=2$ は場合分けの $2$ つに含まれるので, どちらか一方のみで十分である. だが, どちらも含まないような場合分けとなると減点となってしまうので, 注意が必要である. 上の動的なイメージをちゃんと持っていれば, 突然飛んだりしていないので, どちらに含んでも問題ないことが分かると思う.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$m(a)=f(a+2)$
$= (a+2)^2-4(a+2)+5$
$= a^2+1$.
(ii) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$m(a)=f(2)$
$= 1$.
(iii) $2 \leqq a$ のとき,
$m(a) = f(a)$
$= a^2-4a+5$.
以上より, グラフは以下の通り.
$y=m(a)$ を求めよ, くらいは出題されることが多いですが, そのグラフをかけ, という問題は, なかなか出題されないとは思いますが... 場合分けをして定義されたグラフをちゃんとイメージできるかを確認するために, こんな問題を出題してみました.
(2)
同様に, 最大値につても場合分けをして求める.
$M(a) =
\begin{cases}
f(a) & (a \leqq 1) \\
f(a+2) & (1 \leqq a)
\end{cases}
$
である.
最大値の場合分けの境界は $a=1$, 最小値の場合分けの境界は $a=0$, $2$ であるので, 全部で $4$ つに場合分けをする必要がある.
(i) $a \leqq 0$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-(a^2+1)=a$
$-5a+4=0$
$a=-\dfrac45$
であるが, $a \leqq 0$ より不適.
実はこの場合だけ, 計算しなくても不適であることが分かる. 何故かというと,
最大値から最小値を引いているので, $M(a)-m(a)>0$ であるので, $a\leqq0$ となることはあり得ないからである.
(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2-4a+5)-1=a$
$a^2-5a+4=0$
$(a-1)(a-4)=0$
$a=1, 4$
であるが, $0 \leqq a \leqq 1$ より $a=1$ である.
(iii) $1 \leqq a \leqq 2$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-1=a$
$a^2-a=0$
$a(a-1)=0$
$a=0, 1$
であるが, $1 \leqq a \leqq 2$ より $a=1$ である.
前述の通り, (ii) および (iii) のどちらか一方は場合分けで $a=1$ を含まないで考察することができる. その場合は, 含まない方で「$* \leqq a \leqq *$ より不適」となる.
(iv) $2 \leqq a$ のとき,
$M(a)-m(a)=a$
$(a^2+1)-(a^2-4a+5)=a$
$3a-4=0$
$a=\dfrac43$
であるが, $2 \leqq a$ より不適.
(i), (ii), (iii), (iv) より, $a=1$ である.
受験勉強を始めたばかりの頃には難しいかも知れないが, 受験へ向かう上ではしっかりと理解しておくべき内容である.
授業で出題した問題（週末課題No.01）
世間では、新型コロナウィルスで大騒ぎなんですよね。
で、私の勤務校でも、休校になって、その対応で右往左往しているところです。
休校が続いているので、授業が始められない。
でも、そんな状況なのに、今年度から大学入学共通テストが始まる。
色々と分からない状況なのに、授業時間も少なくなってしまう・・・
こんな騒動がなくても使ってみようと思っていた Google Classroom を、
この機会に本格導入をしてみることにしました。
初期設定では、同じドメインからなら問題なく入れるのですが、
セキュリティ面から考えて、生徒に学校のドメインのアカウントを・・・
というのは少しむずかしいかと思いまして・・・
で、色々といじっていたら、なんとか Gmail で登録できるようになりました。
で、課題を配信してみました。
週末課題と、平日課題と、です。
週末課題は基本となる小問くらいの問題、
平日課題は内容をしっかりと理解してないと解けないしっかりとした問題。
$\LaTeX$ で問題の PDF ファイルを作成し、それを課題として配信する。
それを生徒がスマートフォン等で閲覧し、解答を作成する。
ノートやレポート用紙に手書きで作成したものを写真に撮影し、
それをそのまま Classroom で投稿したものを採点する。
そんな方法で、授業を少しずつでもしていこうかと考えています。
で、今日の問題。
「授業で出題した問題」というか、前述の通り Classroom で出題した問題。
週末課題
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$ を因数分解せよ.
第 $2$ 問
次の式の分母を有理化せよ.
(1) $\dfrac{3}{2\sqrt3}$
(2) $\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
(3) $\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$
まあ、これくらいの問題であれば、教科書レベルなので、
誰でも出来るような問題、と言えるでしょう。
第 $2$ 問の (3) くらいの問題が載っている教科書なんて
なかなか見ることもないとは思いますが・・・
解答例
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$
$= x^2+(5y-1)x+(6y^2+y-12)$
$= x^2+(5y-1)x+(2y+3)(3y-4)$
$= (x+2y+3)(x+3y-4)$.
第 $2$ 問 (1)
$\dfrac{3}{2\sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt3 \times \sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{6}$
$= \dfrac{\sqrt3}{2}$.
第 $2$ 問 (2)
$\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{4}$
$=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$.
第 $2$ 問 (3)
ここで別解を.
第 $1$ 問の因数分解ですが、これをそのまま解くのは、
数学（因数分解, たすき掛け）が苦手な人には難しい.
また, 入試問題でも見ることもないが,
更に変数が増えた問題が出題されたら...
例 $2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$ を因数分解せよ.
$2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+(-2y^2+7yz-3z^2+5y-10z-3)$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+\{-2y^2+(7z+5)y+(-3z^2-10z-3)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-\{2y^2-(7z+5)y+(z+3)(3z+1)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-(2y-z-3)(y-3z-1)$
$= (2x-y+3z+1)(x+2y-z-3)$.
もう, たすき掛けが苦手な人にはもう, 吐き気がしてくる...
$1$ 回目のたすき掛けだけでも出来るようになれば,
この問題を解くことができるようになる別解がある.
第 $1$ 問で, $6$ 個の項の中から以下のように抜き出して因数分解をする.
$x$, $y$ の $2$ 次式
これらの右辺を見比べて, 答えを導き出す.
最終的な解答は $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ という形であり,
それらの部分的な解答が $(ax+by)(dx+ey)$ だったり,
$(ax+c)(dx+f)$ だったり, $(by+c)(ey+f)$ だったり.
そう考えると, 自ずと解答として
$(x+2y+3)(x+3y-4)$ が得られる.
この解法を用いると, 前述の例は...
$x$, $y$ の $2$ 次式
$2x^2+3xy-2y^2 = (2x-y)(x+2y)$
$y$, $z$ の $2$ 次式
$-2y^2+7yz-3z^2 = -(2y-z)(y-3z)$
$z$ の $2$ 次式
$-3z^2-10z-3 = -(3z+1)(z+3)$
で、私の勤務校でも、休校になって、その対応で右往左往しているところです。
休校が続いているので、授業が始められない。
でも、そんな状況なのに、今年度から大学入学共通テストが始まる。
色々と分からない状況なのに、授業時間も少なくなってしまう・・・
こんな騒動がなくても使ってみようと思っていた Google Classroom を、
この機会に本格導入をしてみることにしました。
初期設定では、同じドメインからなら問題なく入れるのですが、
セキュリティ面から考えて、生徒に学校のドメインのアカウントを・・・
というのは少しむずかしいかと思いまして・・・
で、色々といじっていたら、なんとか Gmail で登録できるようになりました。
で、課題を配信してみました。
週末課題と、平日課題と、です。
週末課題は基本となる小問くらいの問題、
平日課題は内容をしっかりと理解してないと解けないしっかりとした問題。
$\LaTeX$ で問題の PDF ファイルを作成し、それを課題として配信する。
それを生徒がスマートフォン等で閲覧し、解答を作成する。
ノートやレポート用紙に手書きで作成したものを写真に撮影し、
それをそのまま Classroom で投稿したものを採点する。
そんな方法で、授業を少しずつでもしていこうかと考えています。
で、今日の問題。
「授業で出題した問題」というか、前述の通り Classroom で出題した問題。
週末課題
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$ を因数分解せよ.
第 $2$ 問
次の式の分母を有理化せよ.
(1) $\dfrac{3}{2\sqrt3}$
(2) $\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
(3) $\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$
まあ、これくらいの問題であれば、教科書レベルなので、
誰でも出来るような問題、と言えるでしょう。
第 $2$ 問の (3) くらいの問題が載っている教科書なんて
なかなか見ることもないとは思いますが・・・
解答例
第 $1$ 問
$x^2+5xy+6y^2-x+y-12$
$= x^2+(5y-1)x+(6y^2+y-12)$
$= x^2+(5y-1)x+(2y+3)(3y-4)$
$= (x+2y+3)(x+3y-4)$.
第 $2$ 問 (1)
$\dfrac{3}{2\sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt3 \times \sqrt3}$
$= \dfrac{3\sqrt3}{6}$
$= \dfrac{\sqrt3}{2}$.
第 $2$ 問 (2)
$\dfrac{2}{\sqrt5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}$
$=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{4}$
$=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$.
第 $2$ 問 (3)
$\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$
$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{(1+\sqrt2+\sqrt3)(1+\sqrt2-\sqrt3)}$
$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{1+2\sqrt2+2-3}$
$=\dfrac{4(1+\sqrt2-\sqrt3)}{2\sqrt2}$
$=\sqrt2(1+\sqrt2-\sqrt3)$
$=\sqrt2+2-\sqrt6$.
ここで別解を.
第 $1$ 問の因数分解ですが、これをそのまま解くのは、
数学（因数分解, たすき掛け）が苦手な人には難しい.
また, 入試問題でも見ることもないが,
更に変数が増えた問題が出題されたら...
例 $2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$ を因数分解せよ.
$2x^2-2y^2-3z^2+3xy+7yz+zx-4x+5y-10z-3$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+(-2y^2+7yz-3z^2+5y-10z-3)$
$= 2x^2+(3y+z-4)x+\{-2y^2+(7z+5)y+(-3z^2-10z-3)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-\{2y^2-(7z+5)y+(z+3)(3z+1)\}$
$= 2x^2+(3y+z-4)x-(2y-z-3)(y-3z-1)$
$= (2x-y+3z+1)(x+2y-z-3)$.
もう, たすき掛けが苦手な人にはもう, 吐き気がしてくる...
$1$ 回目のたすき掛けだけでも出来るようになれば,
この問題を解くことができるようになる別解がある.
第 $1$ 問で, $6$ 個の項の中から以下のように抜き出して因数分解をする.
$x$, $y$ の $2$ 次式
$x^2+5xy+6y^2 = (x+2y)(x+3y)$
$x$ の $2$ 次式 ($x$ 以外の文字を含まない)
$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$
$y$ の $2$ 次式 $(y$ 以外の文字を含まない)
$6y^2+y-12 = (2y+3)(3y-4)$
最終的な解答は $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ という形であり,
それらの部分的な解答が $(ax+by)(dx+ey)$ だったり,
$(ax+c)(dx+f)$ だったり, $(by+c)(ey+f)$ だったり.
そう考えると, 自ずと解答として
$(x+2y+3)(x+3y-4)$ が得られる.
この解法を用いると, 前述の例は...
$x$, $y$ の $2$ 次式
$2x^2+3xy-2y^2 = (2x-y)(x+2y)$
$y$, $z$ の $2$ 次式
$-2y^2+7yz-3z^2 = -(2y-z)(y-3z)$
$z$ の $2$ 次式
$-3z^2-10z-3 = -(3z+1)(z+3)$
これらの右辺を見て, 符号を揃えるために $-$ をかける.
$-(2y-z)(y-3z) = (2y-z)(-y+3z)$
$-(3z+1)(z+3) = (3z+1)(-z-3)$
以上より, $(2x-y+3z+1)(x+2y-z-3)$ を得る.
登録:
投稿 (Atom)