京都大学・理系（２０１７年）

分掌をいくつか割り当てられているのですが、その中の１つに進路指導部があります。
以前の勤務校でタンニンをしていたときの経験を活かしての指導にあたっているのですが・・・

前の学校のときよりも、素直な生徒が多い。
別に、前の学校が言うことを聞かない、というわけではなく、イジメ甲斐がないのです。

イジメ、と言っても本当にイジメてるわけではなく、正当な指導です。
書いてきた調査書を見て、「ここが変だ」「ここの日本語が可怪しい」などの指摘をして、何度も書き直しをさせる。
わざと何度も書き直させているわけではなく、直させる度に変なところがあるもので、仕方がなく指摘していたのです。

それが、今の勤務校では、良くも悪くも指導が少ない。
以前の勤務校では、細かいところまで完成度を上げる為に生徒も教員も最後まで妥協せずにやっていましたが、現在の勤務校ではそこまでを求めていない。
確かに、そこまでのクオリティは必要ではないのですが、私はこういったところでメンタルを鍛えないと、面接指導についてこれなくなることがあるんですよね・・・

とは言っても今の勤務校は、だいぶ部活で頑張ってきた生徒ばかりの就職希望なので、そこら辺は問題ないんですかね・・・





京都大学の第６問。
確率と数列の複合問題、ってのはよくあるパターンですね。





$n$ を自然数とする.
$n$ 個の箱すべてに, $\fbox{1}$, $\fbox{2}$, $\fbox{3}$, $\fbox{4}$, $\fbox{5}$
の $5$ 種類のカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ計 $5$ 枚入っている.
各々の箱から $1$ 枚ずつカードを取り出し, 取り出した順に左から並べて $n$ 桁の
数 $X$ を作る.
このとき, $X$ が $3$ で割り切れる確率を求めよ.





$n$ 個の箱から取り出したとき, $X$ が $3$ の倍数となる確率を $p_n$ とすると, $p_1=\frac15$ であり,
$p_{n+1}$
$= \frac15p_n+\frac25(1-p_n)$
$= -\frac15p_n+\frac25$
が成り立つ. ここで, この漸化式の特性方程式 $\alpha=-\frac15\alpha+\frac25$ を解くと,
$\alpha = -\frac15\alpha+\frac25$
$\alpha = \frac13$
を得るので, 漸化式は
$p_{n+1}-\frac13 = -\frac15\left(p_n-\frac13\right)$
と表すことができる. これと
$p_1-\frac13$
$= \frac15-\frac13$
$= -\frac2{15}$
より, 数列 $\left\{p_n-\frac13\right\}$ は初項 $-\frac{2}{15}$, 公比 $-\frac15$
の等比数列である. よって,
$p_n-\frac13$
$= -\frac2{15}\left(-\frac15\right)^{n-1}$
$= \frac23\left(-\frac15\right)^n$

$p_n$
$= \frac23\left(-\frac15\right)^n+\frac13$.

京都大学・理系（２０１７年）

昨日、寮に帰ってきたら、生徒から渡されたアンケート。
留学生の授業で、説明の日本語が分からないので何の為のアンケートか分かりませんが、Stanford大学と一緒に何かやってる関係のものらしいです。

アンケートくらいは別に問題なく答えるのですが、困ったことが・・・


Do you like American food?
アメリカの料理は好きですか？

はい→どんな料理が好きですか？


そんな、改めて聞かれると、アメリカ料理って何がそうなんでしょうかね？？

ドーナツとかベーグルとかパンケーキとか？
私はパンと呼ばれる類のものはあまり好きではない・・・

カリフォルニアロール？
これって、正確にアメリカ発祥なのか、自信はない・・・

ホットドッグとかピッツァ？
これもパンなので、あまり・・・

フライドポテト？
まあ、好きですけど、向こうではフレンチフライ、フレンチって・・・

って考えていった結果、１つの答えにたどり着きました。
ステーキがあるじゃないか！
安いステーキを食べるなら、アメリカの赤身のステーキの方が美味かった！！







で、今日は京都大学の第５問。
数IIIの微積の、典型的な問題、ではないでしょうか？
面積の最小値っていう事は、積分と微分と、両方使う問題ですね。
指数関数が入ってくると対数関数が入ってきて、その積の微分とかやり始めると計算が面倒になるので、私はあまり好きではないのですが・・・






$a\ge 0$ とする. $0\le x\le\sqrt2$ の範囲で曲線 $y=xe^{-x}$, 直線 $y=ax$, 直線 $x=\sqrt2$ によって囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする. このとき, $S(a)$ の最小値を求めよ. （ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち $2$ つ以上で囲まれた部分を意味するものとする. ）





(1)
共有点を調べる.
$
\begin{cases}
y=xe^{-x} \\
y=ax
\end{cases}
$
とすると,
$xe^{-x} = ax$
$x(e^{-x}-a) = 0$
$x = 0, -\log a$
である.

$-\log a=\sqrt2$ とすると
$-\log a = \sqrt2$
$\log a = -\sqrt2$
$a = e^{-\sqrt2}$,
$-\log a=0$ とすると
$-\log a = 0$
$\log a = 0$
$a = 1$
である.

$0\le a<e^{-\sqrt2}$ のとき, グラフは以下の通り.

この範囲では, $S(a)$ は単調減少であるので, $S(a)$ の最小値となることはない.

$1<a$ のとき, グラフは以下の通り.

この範囲では, $S(a)$ は単調増加であるので, $S(a)$ の最小値となることはない.

$e^{-\sqrt2}\le a\le 1$ のとき, グラフは以下の通り.

よって,
$S(a)$
$= \int_0^{-\log a}(xe^{-x}-ax)dx+\int_{-\log a}^{\sqrt2}(ax-xe^{-x})dx$
$= \biggl[-xe^{-x}-e^{-x}-\frac12ax^2\biggr]_0^{-\log a}-\biggl[-xe^{-x}-e^{-x}-\frac12ax^2\biggr]_{-\log a}^{\sqrt2}$
$= -a\{(\log a)^2-2\log a+1\}+(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}+1$
$= -a(\log a-1)^2+(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}+1$
を得る.
$\frac{d}{da}S(a)$
$= -(\log a-1)^2-2a(\log a-1)\times \frac1a$
$= -(\log a-1)^2-2(\log a-1)$
$= -(\log a-1)(\log a+1)$
より, $\frac{d}{da}S(a)=0$ となるのは
$\log a+1 = 0$
$a = e^{-1}$
である. これより, 増減表は以下の通り.

\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
\hline
a & e^{-\sqrt2} & \cdots & e^{-1} & \cdots & 1 \\
\hline
\frac{d}{da}S(a) & & - & & + & \\
\hline
S(a) & & \searrow & S(e^{-1}) & \nearrow & \\
\hline
\end{array}
\]
よって, 最小値は
$S(e^{-1})$
$= -e^{-1}(\log e^{-1}-1)^2+(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}+1$
$= -4e^{-1}+(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}+1$.

京都大学・理系（２０１７年）

今朝、携帯電話に警報が。
北朝鮮のミサイル発射を知らせる警報でした。

そろそろ国が本気になって威嚇なりなんなりしないといけないと思うのは私だけでしょうか？
今までは“ナイフをちらつかせている”だったり“当たらない範囲で振り回している”だったのが、ここ最近は“当たらない範囲”だけどこっちに向かって突きつけて来てる、っていう感じでしょうか。

知り合いでは、もう北朝鮮にミサイルを撃ち込んで壊滅させろ、なんて言う人もいますけど、どこまで必要かは私には分かりませんね・・・






京都大学の４問目、幾何と三角比の複合問題です。
問題自体はオーソドックスな感じでしょうか。
(1) なんかは教科書レベルの内容ですし・・・




$\triangle ABC$ は鋭角三角形であり, $\angle A=\frac{\pi}3$ であるとする.
また $\triangle ABC$ の外接円の半径は $1$ であるとする.

(1) $\triangle ABC$ の内心を $P$ とするとき, $\angle BPC$ を求めよ.

(2) $\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ の取りうる値の範囲を求めよ.




(1)
三角形の内角の和より
$\angle ABC+\angle ACB$
$= \pi-\angle BAC$
$= \frac23\pi$
であり, $P$ は $\triangle ABC$ の内心なので
$\angle ABC = 2\angle PBC$
$\angle ACB = 2\angle PCB$
が成り立つ. これより
$2\angle PBC+2\angle PCB = \frac23\pi$
$\angle PBC+\angle PCB = \frac13\pi$
であるので,
$\angle BPC$
$= \pi-(\angle PBC+\angle PCB)$
$= \frac23\pi$.

(2)
正弦定理より
$\frac{BC}{\sin\angle BAC} = 2$
$BC = \sqrt3$
である.

(1) より, 点 $P$ は $B$, $C$ を両端とする円弧の一部の上を動くことが分かる.
$\angle PBC=\theta$ とおくと, $\triangle ABC$ は鋭角三角形であるので
$\frac{\pi}{12}<\theta<\frac{\pi}4$ であり,
$r$
$= PB \sin\angle PBC$
$= 2 \sin\angle PBC \sin\angle PCB$
$= 2\sin\theta\sin\left(\frac13\pi-\theta\right)$
$= \cos\left\{\theta-\left(\frac13\pi-\theta\right)\right\}-\cos\left\{\theta+\left(\frac13\pi-\theta\right)\right\}$
$= \cos\left(2\theta-\frac13\pi\right)-\cos\frac13\pi$
$= \cos\left(2\theta-\frac13\pi\right)-\frac12$
である.

$
\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{12} < & \theta & < \frac{\pi}4 \\
\frac{\pi}6 < & 2\theta & < \frac{\pi}2 \\
-\frac{\pi}6 < & 2\theta-\frac{\pi}3 & < \frac{\pi}6
\end{array}
$

より, この範囲での増減は以下の通り.

$
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
\phi & -\frac{\pi}6 & \dots & 0 & \dots & \frac{\pi}6 \\
\hline
\cos\phi & \frac{\sqrt3}2 & \nearrow & 1 & \searrow & \frac{\sqrt3}2
\end{array}
$

であるので,

$
\begin{array}{rcl}
\frac{\sqrt3}2 < & \cos\left(2\theta-\frac{\pi}3\right) & \le 1 \\
\frac{\sqrt3}2-\frac12 < & r & \le \frac12
\end{array}
$

を得る.

京都大学・理系（２０１７年）

昨日、某民放の２４時間やってる慈善番組の、募金のボランティアをしてきました。
どこぞのイオンの入り口で、募金をしてくれた方に「ありがとうございました」と声をかけ、番組ロゴの入った紙製の貯金箱を渡す。
そんな活動を１日、してきたのですが・・・

生徒会のボランティアと同じ活動をしましたけど、私の場合は仕事ですのでボランティアとは言えない感もありますが・・・



そういえば先日、ドローンを買ってみました。
まだ開けて、充電しただけで飛ばしていませんが。

何に使うの、とか問われると困るのですが、何かに使う機会があればいいかと思いまして・・・
仕事柄、なんだかんだで動画を撮ったり編集したりって、やろうと思えばいくらでもやる機会があるんですよね。
そんなわけでそのうち、色々と使ってみたいと思います。





で、今日は京都大学の問題の第３問。
三角関数からスタートして、後半はガッツリと整数の問題。
整数がカリキュラムに入ってきたときに整数の問題を大量にやったからか、私は整数の問題が比較的得意になったのですが、生徒にはだいぶ難しいんでしょうね・・・



$p$, $q$ を自然数, $\alpha$, $\beta$ を
$\tan\alpha = \frac1p$, $\tan\beta = \frac1q$
を満たす実数とする. このとき
$\tan(\alpha+2\beta) = 2$
を満たす $p$, $q$ の組 $(p, q)$ をすべて求めよ.





加法定理より
$\tan2\beta$
$= \frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}$
$= \frac{\frac2q}{1-\frac1{q^2}}$
$= \frac{2q}{q^2-1}$

$\tan(\alpha+2\beta)$
$= \frac{\tan\alpha+\tan2\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta}$
$= \frac{\frac1p+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac1p\times\frac{2q}{q^2-1}}$
$= \frac{q^2-1+2pq}{pq^2-p-2q}$
である. これより
$\frac{q^2-1+2pq}{pq^2-p-2q} = 2$
$q^2-1+2pq = 2pq^2-2p-4q$
$-2pq^2+q^2+2pq+2p+4q-1 = 0$
$2pq^2-q^2-2pq-2p-4q+1 = 0$
$2p(q^2-q-1)-(q^2+4q-1) = 0$
$2p(q^2-q-1) = q^2+4q-1$
$p = \frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}$
が成り立つ.

$p$ が自然数であるので, $q^2+4q-1$ は偶数, $q^2+4q$ は奇数である.
$q^2+4q = q(q+4)$
より, $q$ と $q+4$ の偶奇は一致するので, $q$ も奇数である.

$2$ 次関数 $f(x)=x^2+4x-1$, $g(x)=2(x^2-x-1)$ について,
$f(x) = (x+2)^2-5$
$g(x) = 2\left(x-\frac12\right)^2-\frac52$
であり, 共有点は
$2(x^2-x-1) = x^2+4x-1$
$2x^2-2x-2 = x^2+4x-1$
$x^2-6x-1 = 0$
$x = 3\pm\sqrt{10}$
である.

$p=\frac{f(q)}{g(q)}$ であるので, $p$ が自然数である為には $f(q)\ge g(q)$
である必要があるので, 必要条件としては $3-\sqrt{10}<q<3+\sqrt{10}$ である.

$q=1$ のとき,
$p$
$= \frac{1^2+4 \times 1-1}{2(1^2-1-1)}$
$= \frac{4}{-2}$
$= -2$
となるが, $p$ は自然数であるので不適.

$q=3$ のとき
$p$
$= \frac{3^2+4 \times 3-1}{2(3^2-3-1)}$
$= \frac{20}{10}$
$= 2$
より成り立つ.

$q=5$ のとき
$p$
$= \frac{5^2+4 \times 5-1}{2(5^2-5-1)}$
$= \frac{44}{38}$
$= \frac{22}{19}$
となるが, $p$ は自然数であるので不適.

以上より, $(p, q) = (2, 3)$ である.

京都大学・理系（２０１７年）

私は職務として寮監をやっているのですが・・・

昨晩、２２時に部屋をノックされ、出ると生徒がいました。
同室の生徒が、お腹が痛い、嘔吐もしている、ということで呼ばれて見に行くと・・・

明らかに、ただ事ではないような真っ白な顔をしている生徒がいまして・・・
これは私も経験がある、胃腸炎系の症状だと思われまして・・・

そんなわけで、夜間外来をやってる近くの病院へと連れて行くことに。
近く、と言っても車で３０分くらいかかるので、後部座席で生徒は苦しそうにしていましたが・・・


結論としては、急性胃腸炎でした。
お医者さんに何度も確認したのが、“感染性ではない”ということ。
寮に住んでて、これが感染性だったとしたら、もう翌日（今日）には蔓延している可能性が非常に高いので・・・

で、感染性ではない、ということだったので、寮に連れて帰ってきました。
帰宅したのが午前２時、起床したのが午前５時、それから本日は出勤です。

いやーっ、眠いんですけど・・・




って事で、今日は京都大学の２問目です。
空間ベクトルの問題なので、高校生の中には苦手な人がとても多いと思います。
図がイメージできない、図が描けない、ってのが原因のようですが・・・

私の場合、このような問題だったら、図は書かずに式だけでやってしまった方が楽な気がするんですよね。
もちろん、イメージする為に要所要所（直線上の点の位置関係）は図で考えますけど、全体の図は書かない事が多いですね。
まあ、大学・大学院と専門が代数だった、ってのもあるのかも知れませんけど。



四面体 $OABC$ を考える. 点 $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ は, それぞれ辺 $OA$, $AB$, $BC$, $CO$, $OB$, $AC$ 上にあり, 頂点ではないとする. このとき, 次の問に答えよ.

(1) $\overrightarrow{DG}$ と $\overrightarrow{EF}$ が平行ならば $AE:EB=CF:FB$ であることを示せ.

(2) $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ が正八面体の頂点となっているとき, これらの点は $OABC$ の各辺の中点であり, $OABC$ は正四面体であることを示せ.



(1)
位置ベクトルを $O(\overrightarrow{0})$, $A(\overrightarrow{a})$, $B(\overrightarrow{b})$, $C(\overrightarrow{c})$ とし,
$OD:DA = d:1-d$
$OG:GC = g:1-g$
$AE:EB = s:1-s$
$CF:FB = t:1-t$
とする. これより
$\overrightarrow{OD} = d\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{OG} = g\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{OE} = (1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{OF} = t\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}$
と表せる. これより
$\overrightarrow{DG} = -d\overrightarrow{a}+g\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{EF} = -(1-s)\overrightarrow{a}+(t-s)\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}$
である. ここで $\overrightarrow{DG}$ と $\overrightarrow{EF}$ が並行であるので $\overrightarrow{DG}=k\overrightarrow{EF}$ を満たす実数 $k(\neq0)$ が存在する. よって
$k (t-s) = 0$
$t = s$
が成り立つ. よって,
$AE:EB$
$= s:1-s$
$= t:1-t$
$= CF:FB$
が成り立つ.

(2)
正八面体の各対辺は平行なので,
$\overrightarrow{DE} \parallel \overrightarrow{GF}$
$\overrightarrow{DH} \parallel \overrightarrow{IF}$
$\overrightarrow{EH} \parallel \overrightarrow{IG}$
が成り立つ. (1) と対称性より
$AD:DO = AE:EB$
$CG:GO = CF:FB$
$OD:DA = OH:HB$
$CI:IA = CF:FB$
$BE:EA = BH:HO$
$CI:IA = CG:GO$
が成り立つ. これより,
$OD:DA$
$= OH:HB$
$= AE:EB$
$= AD:DO$
となるので,
$OD:DA = 1:1$,
即ち点 $D$ は辺 $OA$ の中点であることが分かる. 更に対称性より $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ も各辺の中点であることが分かる.

正八面体の一辺の長さを $a$ とすると,
$OD:OA = OH:OB = 1:2$
より $\triangle ODH$ と $\triangle OAB$ は相似であるので,
$AB = 2DH = 2a$,
対称性より, 四面体 $OABC$ の各辺は同様に $2a$ であるので,
四面体 $OABC$ は正四面体である.

京都大学・理系（２０１７年）

昨日で夏休みが終わり、本日より授業が始まりました。

先日、とある模試があって、それを３学年分、LaTeXに入力して解答を作ろうと、昨日から悪戦苦闘しているのですが・・・

１年生の分から、全く先に進みません。
この問題の解決方法が、全く思いつきません。
無理やり逃げようと思えば、なんとかなるものなのですが、それは面白くないので、なんとか解決できないのか・・・


一応言っておきますが、数学の問題ではなく、LaTeXの問題です。
他の方が作ってくれたstyleファイルを使っているので、そのファイルを調べないといけない状態でして・・・

そのファイル自体は問題なく使えているのですが、ちょっと変えたいところがありまして・・・
小問の問題番号の振り方を、現在の“1.”から“(i)”に変えたいのですが、どうしたらいいのか・・・

そんなところに悪戦苦闘し、まだまだ解決できていません。

片手間にやってる問題の方は、ちゃんと解けていますのでご心配なく。







では、今日から京都大学の理系の問題です。



$w$ を $0$ でない複素数, $x$, $y$ を $w+\frac1w=x+yi$ を満たす実数とする.

(1) 実数 $R$ は $R>1$ を満たす定数とする. $w$ が絶対値 $R$ の複素数全体を動くとき, $xy$ 平面上の点 $(x, y)$ の軌跡を求めよ.

(2) 実数 $\alpha$ は $0<\alpha<\frac{\pi}2$ を満たす定数とする. $w$ が偏角 $\alpha$ の複素数全体を動くとき, $xy$ 平面上の点 $(x, y)$ の軌跡を求めよ.



(1)
$w$ の偏角を $\theta$ とすると,
$w = R(\cos\theta+i\sin\theta)$
と表される. これより,
$w+\frac1w$
$= R(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac1R\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}$
$= \left(R+\frac1R\right)\cos\theta+i\left(R-\frac1R\right)\sin\theta$
と表させるので,
$x = \left(R+\frac1R\right)\cos\theta$
$\frac{x}{R+\frac1R} = \cos\theta$

$y = \left(R-\frac1R\right)\sin\theta$
$\frac{y}{R-\frac1R} = \sin\theta$
が成り立つ. これより,
$\cos^2\theta+\sin\theta = 1$
$\left(\frac{x}{R+\frac1R}\right)^2+\left(\frac{y}{R-\frac1R}\right)^2 = 1$
$\frac{x^2}{\left(R+\frac1R\right)^2}+\frac{y^2}{\left(R-\frac1R\right)^2} = 1$
を得るので, 点 $(x, y)$ の軌跡は楕円
$\frac{x^2}{\left(R+\frac1R\right)^2}+\frac{y^2}{\left(R-\frac1R\right)^2} = 1$
である.

(2)
$|w|=r>0$ とすると,
$w = r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$
と表される. これより,
$w+\frac1w$
$= r(\cos\alpha+i\sin\alpha)+\frac1r\{\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha)\}$
$= \left(r+\frac1r\right)\cos\alpha+i\left(r-\frac1r\right)\sin\alpha$
と表させるので,
$x = \left(r+\frac1r\right)\cos\alpha$
$\frac{x}{\cos\alpha} = r+\frac1r$
$\frac{x^2}{\cos^2\alpha} = r^2+2+\frac1{r^2}$

$y = \left(r-\frac1r\right)\sin\alpha$
$\frac{y}{\sin\alpha} = r-\frac1r$
$\frac{y^2}{\sin^2\alpha} = r^2-2+\frac1{r^2}$
が成り立つ.
この $2$ 式の差をとると,
$\frac{x^2}{\cos^2\alpha}-\frac{y^2}{\sin^2\alpha} = 4$
$\frac{x^2}{4\cos^2\alpha}-\frac{y^2}{4\sin^2\alpha} = 1$
を得る.

$0<\alpha<\frac{\pi}2$ より $\cos\alpha>0$ であり, $r>0$ より相加平均と相乗平均の関係より
$r+\frac1r \ge 2\sqrt{r \times \frac1r} = 2$
であるので,
$x = \left(r+\frac1r\right)\cos\alpha > 0$
である.

以上より, 求める軌跡は双曲線
$\frac{x^2}{4\cos^2\alpha}-\frac{y^2}{4\sin^2\alpha} = 1$  ($x>0$)
である.





高校生のときに、あまりこういう複素数の問題ってやった記憶がないんですよね・・・
それは気の所為なんですかね？
それとも私がサボタージュしてたのですかね？？

東京大学・理系（２０１７年）

ここ数ヶ月の間に、Y!mobileからsoftbankに乗り換えて、新生銀行の口座を作った。

Y!mobileは、今や懐かしいPHSだったのですが、ほんの僅かながら安くなるってことでsoftbankにMNPで乗り換えました。
一応、PHSだと高速移動中の通話に難がある、ってのも理由の１つなのですが。

新生銀行の方は、TVCMでもやってる通り、ATMでの手数料が0円なので。
日常生活のお金は住信SBIネット銀行を使っていたのですが、むか～し、セブン銀行（セブンイレブンのATM）での手数料無料、って言ってた気がしたのに、よく調べたら無料の回数が決まっていて、毎月３回くらい手数料が発生していたようでして・・・

で、どちらも、Tポイントが貯まる、ってことで、Tポイントのカードを登録しようとしたのですが、考えてみたらTポイントカード、持ってなかった・・・
正確には大学院生のとき、山の下にあるローソンに毎日のように通っていたので、そのときに持ってたような気もするのですが・・・

ってことで、新しくTポイントカードを作るにあたり、調べました。
どのカードがいいのかな、と。
色々と比較しているサイトも多く、その人その人で違う結果なのですが、私はもう面倒になったので、Yahooカードにしました。
クレジット機能が付いてしまうのが難点ですが、会費等無料だし、使わないのでいいでしょう。



で、今日の問題。
長かった東京大学の問題も今回で最後。
東京大学の得意な、空間の回転体の体積の問題ですね。



点 $O$ を原点とする座標空間内で, 一辺の長さが $1$ の正三角形 $OPQ$ を動かす.
また, 点 $A(1, 0, 0)$ に対して, $\angle AOP$ を $\theta$ とおく.
ただし, $0^\circ\le\theta\le180^\circ$ とする.

(1) 点 $Q$ が $(0, 0, 1)$ にあるとき, 点 $P$ の $x$ 座標がとりうる値の範囲と, $\theta$ がとりうる値の範囲を求めよ.

(2) 点 $Q$ が平面 $x=0$ 上を動くとき, 辺 $OP$ が通過しうる範囲を $K$ とする. $K$ の体積を求めよ.




---解答例---

(1)
条件より, 点 $P$ の $z$ 座標は $\frac12$ である.
これより, 点 $P$ の $x$ 座標と $y$ 座標は
$x^2+y^2+\left(\frac12\right)^2 = 1$
$x^2+y^2 = \frac34$
が成り立つので, 点 $P$ の座標は $0^\circ\le\phi\le360^\circ$ である
角 $\phi$ を用いて
$\left(\frac{\sqrt3}2\cos\phi, \frac{\sqrt3}2\sin\phi, \frac12\right)$ と表すことができる.
これより, $x$ 座標のとりうる値の範囲は
$-\frac{\sqrt3}2\le x\le\frac{\sqrt3}2$ であり,
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP} = (1, 0, 0)\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\cos\phi, \frac{\sqrt3}2\sin\phi, \frac12\right)$
$1 \times 1 \times \cos\theta = \frac{\sqrt3}2\cos\phi$
$\cos\theta = \frac{\sqrt3}2\cos\phi$
である.
$-1\le\phi\le1$ より
$-\frac{\sqrt3}2\le\cos\theta\le\frac{\sqrt3}2$ であり,
$0^\circ\le\theta\le180^\circ$ であるので
$30^\circ\le\theta\le150^\circ$ である.

(2)
題意より, $K$ は以下の図形を $x$ 軸を中心に回転させた立体である.

よって, 求める体積を $V$ とすると,
$V = 2 \times \pi \int_0^{\frac{\sqrt3}2} \left\{\sqrt{1-x^2}^2-\left(\frac1{\sqrt3}x\right)^2\right\}dx$
$= 2\pi\int_0^{\frac{\sqrt3}2}\left(-\frac43x^2+1\right)dx$
$= 2\pi\biggl[-\frac49x^3+x\biggr]_0^{\frac{\sqrt3}2}$
$= 2\pi \left(-\frac{\sqrt3}6+\frac{\sqrt3}2\right)$
$= \frac23\sqrt3\pi$.

東京大学・理系（２０１７年）

職場の食堂のメニューを見てて、ずっと前から気になってた事がありまして・・・
昼食が“ご飯”ではないご飯物のとき、ハヤシライスとか炊き込みご飯とかのとき、
謎の“２８０”が付いているのですが、コレは何なのか？？
今月後半だけ見ても・・・
・大根菜飯２８０
・ハヤシライス２８０
・オムライス２８０

１人分の分量（２８０ｇ）ですかね？
でも、各自で盛り付けしてるのに、こんな一概には言えないので・・・

１人分のカロリーですかね？
でも、前述の通りなので、一概には言えない・・・

１人分の値段ですかね？
でも、ハヤシライスも大根菜飯も同じ値段になるのか？？

どれだとしても、他のメニューに表記されてないのも・・・





$k$ を実数とし, 座標平面上で次の $2$ つの放物線 $C$, $D$ の共通接線について考える.

$C: y=x^2+k$
$D: x=y^2+k$

(1) 直線 $y=ax+b$ が共通接線であるとき, $a$ を用いて $k$ と $b$ を表せ.
ただし $a\neq-1$ とする.

(2) 傾きが $2$ の共通接線が存在するように $k$ の値を定める. このとき, 共通接線が $3$ 本存在することを示し, それらの傾きと $y$ 切片を求めよ.




(1)
直線 $y=ax+b$ が $C$ に接するので,
$x^2+k = ax+b$
が重解をもつ.
この判別式を $D_C$ とすると,
$D_C = (-a)^2-4(k-b) = 0$
$a^2+4b = 4k$
が成り立つ.
同様に, $D$ に接するので,
$y^2+k = \frac1ay-\frac{b}a$
が重解をもつので,
$\left(-\frac1a\right)^2-4\left(k+\frac{b}a\right) = 0$
$1-4a^2k-4ab = 0$
$4a^2k+4ab = 1$
が成り立つ.

これらを連立する.
$
\begin{cases}
a^2+4b=4k \\
4a^2k+4ab=1
\end{cases}
$
$4a^2k+a(4k-a^2) = 1$
$a^3-4ka^2-4ka+1 = 0$
$(a+1)(a^2-a+1)-4ka(a+1) = 0$
$(a+1)\{a^2-(1+4k)a+1\} = 0$
これを解くと, $a\neq-1$ であるので
$a^2-(1+4k)a+1 = 0$
$4ak = a^2-a+1$
$k = \frac{a^2-a+1}{4a}$,
また,
$b$
$= k-\frac14a^2$
$= \frac{a^2-a+1}{4a}-\frac14a^2$
$= \frac{(a^2-a+1)-a^3}{4a}$
$= \frac{-a^3+a^2-a+1}{4a}$.

(2)
$a=2$ より
$k$
$= \frac{2^2-2+1}{4\times2}$
$= \frac38$
である.
これより, 共通接線は $a=-1$ と
$a^2-\left(1+4\times\frac38\right)a+1 = 0$
$2a^2-5a+2 = 0$
$(2a-1)(a-2) = 0$
$a = 2, \frac12$
である.
$a^2+4b = \frac32$
$b = \frac38-\frac14a^2$
より,
$a = -1 \Rightarrow b = \frac18$
$a = 2 \Rightarrow b = -\frac58$
$a = \frac12 \Rightarrow b = \frac5{16}$
となるので, 共通接線が $3$ 本存在し,
それらの傾き $m$ と $y$ 切片 $n$ は
$(m, n) = \left(-1, \frac18\right), \left(2, -\frac58\right), \left(\frac12, \frac5{16}\right)$
である.

東京大学・理系（２０１７年）

今日も東京大学の問題を解いたのですが・・・

今のカリキュラムになるときに整数が追加された（んだったっけかな・・・？）からか、ここ数年で整数の問題が面白くなってきました（当社比）。

この問題も、整数列（Fibonacci数列の類似）で、なかなか面白い性質を証明していますね。





$p=2+\sqrt5$ とおき, 自然数 $n=1, 2, 3, \dots$ に対して
$a_n=p^n+\left(-\frac1p\right)^n$
と定める. 以下の問いに答えよ. ただし設問 (1) は結論のみを書けばよい.

(1) $a_1$, $a_2$ の値を求めよ.

(2) $n \ge 2$ とする. 積 $a_1a_n$ を, $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ.

(3) $a_n$ は自然数であることを示せ.

(4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数を求めよ.



(1)
まず,
$-\frac1p$
$= -\frac1{2+\sqrt5}$
$= -\frac{2-\sqrt5}{(2+\sqrt5)(2-\sqrt5)}$
$= -\frac{2-\sqrt5}{4-5}$
$= 2-\sqrt5$
である.
定義式より
$a_1$
$= (2+\sqrt5)^1-(2-\sqrt5)^1$
$= 4$,

$a_2$
$= (2+\sqrt5)^2+(2-\sqrt5)^2$
$= 9+4\sqrt5+9-4\sqrt5$
$= 18$.

(2)
$n\ge2$ のとき,
$a_1a_n$
$= \left\{p+\left(-\frac1p\right)\right\}\left\{p^n+\left(-\frac1p\right)\right\}^n$
$= p^{n+1}+p\left(-\frac1p\right)^n+p^n\left(-\frac1p\right)+\left(-\frac1p\right)^{n+1}$
$= p^{n+1}+\left(-\frac1p\right)^{n+1} - \left\{p^{n-1}+\left(-\frac1p\right)^{n-1}\right\}$
$= a_{n+1}-a_{n-1}$.

(3)
(1) より, $a_1$, $a_2$ は自然数である.

自然数 $k$ に対し, $a_1$, $a_2$, \dots, $a_k$ が自然数であると仮定する.
$n\ge2$ のとき, (2) より
$a_{k+1} = a_1a_k+a_{k-1}$
が成り立つ.
また, 自然数と自然数の積は自然数であり, 自然数と自然数の和も自然数であるので,
$a_{k+1}$ も自然数であることが分かる.

以上より, $a_n$ は自然数であることが分かる.

(4)
(2) より,
$a_{n+1} = 4a_n+a_{n-1}$
$a_n = 4a_{n-1}+a_{n-2}$
$\vdots$
$a_3 = 4a_2+a_1$
であり,
$a_2 = 4a_1 +2$
$a_1 = 2\times2$
である.
ユークリッドの互除法より, $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数は $2$ である.

東京大学・理系（２０１７年）

土曜日、夏休みの疲れが溜まってたからか、１８時間ほど寝て過ごしました。
日曜日、私が愛用しているオーダーメイド枕のメンテナンスに行って、そのままヨドバシカメラで空気清浄機を購入してきました。
部屋の中が少々埃っぽかったので、これで少しは環境が改善されるでしょう・・・かね？？

では、本日も東京大学の問題でいきましょう。




複素数平面上の原点以外の点 $z$ に対して, $w=\frac1z$ とする.

(1) $\alpha$ を $0$ でない複素数とし, 点 $\alpha$ と原点 $O$ を結ぶ線分の
垂直二等分線を $L$ とする. 点 $z$ が直線 $L$ 上を動くとき, 点 $w$ の軌跡は円から $1$ 点を除いたものになる. この円の中心と半径を求めよ.

(2) $1$ の $3$ 乗根のうち, 虚部が正であるものを $\beta$ とする. 点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を結ぶ線分上を点 $z$ が動くときの点 $w$ の軌跡を求め, 複素数平面上に図示せよ.





(1)
点 $z$ は直線 $L$, 即ち点 $\alpha$ と原点 $O$ を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くので,
$|z-\alpha| = |z-0|$
$|z-\alpha| = |z|$
が成り立つ.
また, 定義より
$w = \frac1z  (z\neq0)$
$z = \frac1w  (w\neq0)$
であるので, $\alpha\neq0$ より
$\left|\frac1w-\alpha\right| = \left|\frac1w\right|$
$|1-w\alpha| = 1$
$|w\alpha-1| = 1$
$\left|w-\frac1\alpha\right| = \left|\frac1\alpha\right|$
を得るので, 中心 $\frac1\alpha$, 半径 $\left|\frac1\alpha\right|$ の円のうち, $w\neq0$ の部分である.

(2)
$\beta$, $\beta^2$ を通る直線上を $z$ が動くときは, (1) において
$\alpha=-1$ としたものの一部となるので,
中心 $-1$, 半径 $1$ の円の一部である.

点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を結ぶ線分上を動くとき,
$\mathrm{Re}(z) = -\frac12$
$\mathrm{Im}(z) = \sin\theta$  $\left(\frac23\pi\le\theta\le\frac43\pi\right)$
と表すことができる.
これより,
$\arg(z) = \theta$  $\left(\frac23\pi\le\theta\le\frac43\pi\right)$
$\arg(w) = \arg\left(\frac1z\right)$
$= -\theta$
であるので,
$-\frac43\pi\le\arg(w)\le-\frac23\pi$
である.

以上より, 下図の太線の部分（両端を含む）である.

東京大学・理系（２０１７年）

本日、部活の大会の引率で、１日出張でした。
何の競技かは伏せておきますが、会場では丸１日、暇で暇で・・・
そんなわけで、今日も昨年の東京大学の問題です。





座標平面上で $x$ 座標と $y$ 座標がいずれも整数である点を格子点という.
格子点上を次の規則に従って動く点 $P$ を考える.

(a) 最初に, 点 $P$ は原点 $O$ にある.
(b) ある時刻で点 $P$ が格子点 $(m, n)$ にあるとき, その $1$ 秒後の点 $P$ の位置は, 隣接する格子点 $(m+1, n)$, $(m, n+1)$, $(m-1, n)$, $(m, n-1)$ のいずれかであり, また, これらの点に移動する確率は, それぞれ $\frac14$ である.

(1) 点 $P$ が, 最初から $6$ 秒後に直線 $y=x$ 上にある確率を求めよ.

(2) 点 $P$ が, 最初から $6$ 秒後に原点 $O$ にある確率を求めよ.





(1)
直線 $y=x+b$ を $L_b$ と呼ぶことにする.

点 $P$ が直線 $L_n$ 上にあるとき, その $1$ 秒後に $L_{n+1}$ 上,
$L_{n-1}$ 上にある確率はそれぞれ $\frac12$, $\frac12$ である.

$6$ 秒後に直線 $y=x$, 即ち $L_0$ 上にある為には, $6$ 回の移動のうち $3$ 回は
添字が増え, 残りの $3$ 回は添字が減るということなので, 求める確率は

${}_6\mathrm{C}_3 \times \left(\frac12\right)^3 \times \left(\frac12\right)^3$
$= \frac{5}{16}$.


(2)
同様に, $6$ 秒後に直線 $y=-x$ 上にある確率も $\frac{5}{16}$ である. $6$ 秒後に原点 $O$ にいるということは $y=x$ 上かつ $y=-x$ 上にあるということであり, $y=x$ に平行な直線についてと $y=-x$ に平行な直線についての移動は独立なので, 求める確率は
$\frac{5}{16} \times \frac{5}{16} = \frac{25}{256}$.




単純に考えると、とても簡単な問題でしたね。
(2) を求める際に、(1) の結果をこんな風に使えるか、厳密な証明をしなくてはいけないとは思うのですが、ここら辺は曖昧な感じでもいいのかな、なんて思います。

一応、独立っていう考え方をしてやれば、証明も自明ですけどね・・・

東京大学・理系（２０１７年）

予定通り、東京大学の問題です。
更新ペースも予定通りです。

$\sin$ とか $\cos$ とか出てきて、数学 III の微積の問題、のように見えますが、数学 II までの内容で十分に解けますね。




実数 $a$, $b$ に対して
$f(\theta) = \cos3\theta+a\cos2\theta+b\cos\theta$
とし, $0<\theta<\pi$ で定義された関数
$g(\theta) = \frac{f(\theta)-f(0)}{\cos\theta-1} $
を考える.

(1) $f(\theta)$ と $g(\theta)$ を $x=\cos\theta$ の整式で表せ.

(2) $g(\theta)$ が $0<\theta<\pi$ の範囲で最小値 $0$ をとるための $a$, $b$ についての条件を求めよ.
また, 条件をみたす点 $(a, b)$ が描く図形を座標平面上に図示せよ.




---解答例---
(1)
加法定理より
$\cos2\theta = 2\cos^2\theta-1$,

$\cos3\theta = \cos(\theta+2\theta)$
$= \cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta$
$= \cos\theta(2\cos^2\theta-1)-2\cos\theta(1-\cos^2\theta)$
$= 4\cos^3\theta-3\cos\theta$
より,
$f(\theta) = 4\cos^3\theta-3\cos\theta+a(2\cos^2\theta-1)+b\cos\theta$
$= 4x^3+2ax^2+(b-3)x-a$,

$g(\theta) = \frac{4x^3+2ax^2+(b-3)x-a-\{4+2a+(b-3)-a\}}{x-1}$
$= \frac{4(x^3-1)+2a(x^2-1)+(b-3)(x-1)}{x-1}$
$= 4(x^2+x+1)+2a(x+1)+(b-3)$
$= 4x^2+(2a+4)x+(2a+b+1)$.

(2)
$h(x)=g(\theta)$ とする.
$\begin{array}{c|ccc}
\theta & 0 & \rightarrow & \pi \\
\hline
x & 1 & \rightarrow & -1
\end{array}
$
より, $-1<x<1$ における $h(x)$ の最小値が $0$ となるときを考える.

$\frac{d}{dx}h(x) = 8x+(2a+4)$ より, $\frac{d}{dx}h(x)=0$ となるのは
$8x+(2a+4) = 0$
$8x = -2a-4$
$x = \frac{-a-2}4$
のときである.

case.1. $\frac{-a-2}4\le-1$ のとき, 即ち $a\ge2$ のとき, $-1<x<1$ において $h(x)$ は単調増加となるので最小値はない.
case.2. $-1<\frac{-a-2}4<1$ のとき, 即ち $-6<a<2$ のとき,
最小値は $h\left(\frac{-a-2}4\right)$ であるので,
$h\left(\frac{-a-2}4\right) = 0$
$(-a-2)^2+(2a+4)(-a-2)+4(2a+b+1) = 0$
$4b = a^2-4a$
case.3. $1\le\frac{-a-2}4$ のとき, 即ち $a\le-6$ のとき, $-1<x<1$ において $h(x)$ は単調減少となるので最小値はない.

以上より,
$b = \frac14a^2-a  (-6<a<2)$
$= \frac14(a-2)^2-1$
であり, 以下のとおり.

椙山女学園大学（２０１６年）

世間では、お盆休みと呼ばれる期間に入っており、私もそれに合わせて・・・

遊び歩いており、全然家にいない状況であります。

まあ、遊び歩いていると言っても、某高校の遠征の手伝いをしているのですが・・・
とはいえ、勤務校ではないので、仕事ではない、ってことで、遊びだと判断しています。


さて、今回は確率の問題です。




$6$ つの回答欄がある試験問題があった. この問題は, $6$ 個の選択肢から成る解答群の中から適切なものを選ぶ問題であった. しかも, すべての選択肢を一度ずつ使わなくてはならないことが問題文に明記されている.
A さんはどれが正答か全く分からなかったので, すべての選択肢を一度ずつ使い, でたらめに解答欄を埋めた.

(1) $6$ つの解答欄すべてが正解である確率は□である.

(2) $6$ つの解答欄のうち, $1$ つの解答だけが誤りである確率は□である.

(3) $6$ つの解答欄のうち, $2$ つの解答だけが誤りである確率は□である.

(4) $6$ つの解答欄のうち, $3$ つ以上の解答が正しい確率は□である.




(1)
$\frac1{6!}=\frac1{720}$.

(2)
$0$.

(3)
${}_6\mathrm{C}_4 \times \frac16 \times \frac15 \times \frac14 \times \frac13 \times \left(1-\frac12 \times \frac11\right)$
$= \frac1{48}$.

(4)
$3$ 問正解する確率は
${}_6\mathrm{C}_3 \times \frac16 \times \frac15 \times \frac14 \times \frac23 \times \frac12 \times \frac11 = \frac1{18}$
であるので,
$\frac1{720}+\frac1{48}+\frac1{18}$
$= \frac{1+15+40}{720}$
$= \frac{7}{90}$.



特に説明する程の問題でもなかったので、式だけで終わらせてしまいました・・・

ちょっと面白くなかったので、次回は昨年度の東京大学の問題でもやってみますか。

大阪市立大学・文系（２０１６年）

ちょくちょくと問題を問いています。

今回は、整数と数列の融合問題です。
整数として解いていけそうにも思いますが、最初に思いついたのは数学的帰納法による証明だったので・・・


２０１６年の、大阪市立大学の文系の問題です。


$x$, $y$ を整数とするとき, 次の問いに答えよ.
(1) $x^2+y^2$ が $3$ で割り切れるとき, $x$ と $y$ はともに $3$ の倍数であることを示せ.
(2) $x^2+y^2$ が $27$ で割り切れるとき, $x$ と $y$ はともに $9$ の倍数であることを示せ.
(3) $n$ を正の整数とする. $x^2+y^2$ が $3^{2n-1}$ で割り切れるとき, $x$ と $y$ はともに $3^n$ の倍数であることを示せ.

(1) 

整数 $n$ に対し, 

$n \equiv 0 \pmod3$ 

$\Longrightarrow n=3k$ 

$\Longrightarrow n^2 = 3 \times 3k^2$ 

$\Longrightarrow n^2 \equiv 0 \pmod3$ 

$n \not\equiv 0 \pmod3$ 

$\Longrightarrow n=3k\pm1$ 

$\Longrightarrow n^2 = 3(3k^2\pm2k)+1$ 

$\Longrightarrow n^2 \equiv 1 \pmod3$ 

であるので, 

$x^2+y^2 \equiv 0 \pmod3$ 

$\iff x^2 \equiv 0$ かつ $y^2 \equiv 0 \pmod3$ 

$\iff x \equiv 0$ かつ $y \equiv 0 \pmod3$ 

より成り立つ${}_{\square}$ 

(2) 

$x^2+y^2$ が $27$ で割り切れるとき, $3$ で割り切れるので (1) より $x$, $y$ は $3$ の倍数である. 

これより整数 $x_0$, $y_0$ を用いて $x=3x_0$, $y=3y_0$ と表すことができる. 

よって, 

$x^2+y^2 \equiv 0 \pmod{27}$ 

$(3x_0)^2+(3y_0)^2 \equiv 0 \pmod{27}$ 

$9x_0^2+9y_0^2 \equiv 0 \pmod{27}$ 

$x_0^2+y_0^2 \equiv 0 \pmod3$ 

である. 

再び (1) より, $x_0$, $y_0$ は $3$ の倍数であるので, $x$, $y$ は共に $9$ の倍数である${}_{\square}$ 

(3) 

$n=k$ のとき成り立つと仮定する. 

「$x^2+y^2$ が $3^{2k-1}$ で割り切れるとき, $x$ と $y$ はともに $3^k$ の倍数である」が成り立つ. 

$x^2+y^2$ が $3^{2k+1}$ で割り切れるとき, $3^{2k-1}$ で割り切れるので, $x$, $y$ はともに $3^k$ の倍数である. 

このとき, 整数 $x_0$, $y_0$ を用いて $x=3^kx_0$, $y=3^ky_0$ と表すことができる. 

これより, 

$x^2+y^2 \equiv 0 \pmod{3^{2k+1}}$ 

$(3^kx_0)^2+(3^ky_0)^2 \equiv 0 \pmod{3^{2k+1}}$ 

$3^{2k}x_0^2+3^{2k}y_0^2 \equiv 0 \pmod{3^{2k+1}}$ 

$x_0^2+y_0^2 \equiv 0 \pmod3$ 

であり, (1) より $x_0$, $y_0$ ともに $3$ の倍数である. 

よって, $x$, $y$ はともに $3^{k+1}$ の倍数であるので, $n=k+1$ のときも成り立つ. 

$n=1$ のときは (1) より成り立つ. 

以上より, 全ての正の整数 $n$ に対して成り立つ${}_{\square}$ 

徳島大・医（医）、歯、薬（２０１６年）

日々、というタイトルをつけて置きながら、初期から不定期更新となっているこのブログですが・・・

気長に見ていってください。


今日は徳島大学の理系の問題、今回も整数の問題です。




整式 $P(x)$ が条件「$x$ が整数ならば, $P(x)$ の値は整数となる」を満たすとき, $P(x)$ を整数値整式という. また, $a$, $b$, $c$, $d$ を定数とし, $f_1(x)=x$, $f_2(x)=\displaystyle\frac12x(x-1)$, $f_3(x)=\displaystyle\frac16x(x-1)(x-2)$ とする.

(1)
$P(x)=ax^2+bx+c$ が整数値整式であるための必要十分条件は, 次の (A) であることを示せ.

(A)　$P(x)$ は整数 $m_0$, $m_1$, $m_2$ を用いて $m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$ という形に表せる.

(2)
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ が整数値整式であるための必要十分条件は, 次の条件 (B) であることを示せ.
(B)　$P(x)$ は整数 $m_0$, $m_1$, $m_2$, $m_3$ を用いて $m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$ という形に表せる.

(1) 

$x$ が整数のとき $f_1(x)$ は整数である. 

$x$ が整数のとき, $x$, $x-1$ は連続する $2$ つの整数であるので, $x(x-1)$ は $2$ の倍数である. 

よって, $x$ が整数のとき $f_2(x)$ は整数である. 

以上より, $P(x)=m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$ は整数値整式である. 

$P(x)$ が整数値整式であるとき, $P(0)$, $P(1)$, $P(2)$ は整数である. 

また, 

$f_1(0) = 0$, $f_1(1) = 1$, $f_1(2) = 2$, 

$f_2(0) = 0$, $f_2(1) = 0$, $f_2(2) = 1$ 

である. 

$P(x)=m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$ とおくとき, $m_0$, $m_1$, $m_2$ が整数であることを示す. 

定義より 

$P(0) = m_0+m_1f_1(0)+m_2f_2(0)$ 

$m_0 = P(0)$, 

$P(1) = m_0+m_1f_1(1)+m_2f_2(1)$ 

$m_1 = P(1)-m_0 = P(1)-P(0)$, 

$P(2) = m_0+m_1f_1(2)+m_2f_2(2)$ 

$m_2 = P(2)-2m_1-m_0 = P(2)-2P(1)+P(0)$ 

と表せるので, $m_0$, $m_1$, $m_2$ は整数である. 

以上より, 必要十分条件であることが示された${}_{\square}$ 

(2)

$x$ が整数のとき $f_1(x)$ は整数である. 

$x$ が整数のとき, $x$, $x-1$ は連続する $2$ つの整数であるので, $x(x-1)$ は $2$ の倍数である. 

よって, $x$ が整数のとき $f_2(x)$ は整数である. 

$x$ が整数のとき, $x$, $x-1$, $x-2$ は連続する $3$ つの整数であるので, $x(x-1)(x-2)$ は $2$ の倍数かつ $3$ の倍数である. 

よって, $x$ が整数のとき $f_3(x)$ は整数である. 

以上より, $P(x)=m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$ は整数値整式である. 

$P(x)=m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$ とおくとき, $m_0$, $m_1$, $m_2$, $m_3$ が整数であることを示す. 定義より 

$P(0) = m_0+m_1f_1(0)+m_2f_2(0)+m_3f_3(0)$ 

$m_0 = P(0)$, 

$P(1) = m_0+m_1f_1(1)+m_2f_2(1)+m_3f_3(1)$ 

$m_1 = P(1)-P(0)$, 

$P(2) = m_0+m_1f_1(2)+m_2f_2(2)+m_3f_3(2)$ 

$m_2 = P(2)-2P(1)+P(0)$, 

$P(3) = m_0+m_1f_1(3)+m_2f_2(3)+m_3f_3(3)$ 

$m_3 = P(3)-3P(2)+3P(1)-P(0)$ 

と表せるので, $m_0$, $m_1$, $m_2$, $m_3$ は整数である. 

以上より, 必要十分条件であることが示された${}_{\square}$ 

大阪教育大（２０１６年・後期）

最初にブログを作ってから、しばらく設定の方法とか調べたり、仕事が忙しかったりで、放置してました。

気が向いたので、更新します。

今日は大阪教育大の、分野としては整数の問題ですね。




自然数 $n$ に対して, $a_n=3n^2+28n+30$, $b_n=3n+24$ とする.
$a_n$ と $b_n$ の最大公約数を $D_n$ とい, $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^nD_k$ とする.

(1) $D_1$, $D_2$, $D_3$ と $D_6$ を求めよ.

(2) $S_{12}$ と $S_{20}$ を求めよ.

(3) $S_n$ が $60$ の倍数となる, $100$ 以下の自然数 $n$ をすべて求めよ.

(1) 

自然数 $x$, $y$ に対し, $x$ と $y$ の最小公倍数を $\gcd(x, y)$ と表す. 

定義より, 

$D_n = \gcd(a_n, b_n)$ 

$= \gcd(3n^2+28n+30, 3n+24)$

$= \gcd(4n+30, 3n+24)$ 

$= \gcd(3n+24, n+6)$ 

$= \gcd(n+6, 6)$ 

$= \gcd(n, 6)$ 

であるので, 

$D_1 = 1$, 

$D_2 = 2$, 

$D_3 = 3$, 

$D_4 = 2$, 

$D_5 = 1$, 

$D_6 = 6$ 

を得る. 

(2) 

(1) より, $D_n$ は長さ $6$ で循環することが分かるので, 

$S_6 = 1+2+3+2+1+9 = 15$, 

$S_{12} = S_6 \times 2 = 15 \times 2 = 30$, 

$S_{20} = S_6 \times 3 + D_1 + D_2 = 15 \times 3 + 1 + 2 = 48$. 

(3) 

$k$ を非負整数とすると, 

$S_{6k} = 15k ~~ (k \neq 0)$ 

$S_{6k+1} = 15k+1$ 

$S_{6k+2} = 15k+3$ 

$S_{6k+3} = 15k+6$ 

$S_{6k+4} = 15k+8$ 

$S_{6k+5} = 15k+9$ 

であるので, $S_n$ が $60$ の倍数になる為には $n=6k$ かつ $k$ は $4$ の倍数のときであるので, $n$ は $24$ の倍数である. 

よって, 求める自然数 $n$ は $n=24$, $48$, $72$, $96$.